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注册工程师高数公式


一、

空间解析几何 1. 垂直和平行

a ⊥ b 的充分必要条件是 a .b =0
a//b 的充分必要条件是 b= ?a

两向量垂直,则上式等于 0 2.向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下:

3.直线、平面方程 求过两点 M 1( 3 , -2,1)和 M2( -1, 0, 2) 的直线方程。 【解 】 取 得所求直线方程为 = (- 4 , 2 , 1 ) 为直线的方向向量,由直线的对称式方程

【 解 】

直线 L1 和 L 2 的方向向量依次为 s1= (1,-4, 1)、s2=(2,-2,-1).

设直线 L1 和 L2 的夹角为 ? ,则

所以 (1)点法式 求过三点 Ml ( 2 , -1,4)、M2 (-l , 3 ,-2 )和 M3( 0 , 2 , 3 )的平面的方 程。

由平面的点法式方程,得所求平面方程为

(2)截距式 设一平面与 x、y、z 轴的交点依次为 P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点,求平面方程其中 a、

x y z ? ? ?1 a b c 如,在方程 Ax +By+ Cz + D = 0 中,当 D = 0 时,方程表示一个通过原点的 平面;当 A = 0 时,方程表示一个平行于 x 轴的平面;当 A = B = 0 时,方程表示 一个平行于 x Oy 的平面。类似地,可得其他情形的结论。
b、c 均不为 0,则平面方程为 4.平面与平面 两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角 (通常指锐角) 。 设有平面 Ⅱ1, : Al x+ B1y + Clz + D1 = 0 和平面 Ⅱ2 : A2 x+ B2y+ C2z + D2 = 0,则Ⅱ1 和Ⅱ2 的夹角θ 由下式 确定:

由此可得 Ⅱ1 与Ⅱ2 互相垂直相当于 A1A2+B1B2+C1C2=0 Ⅱ1 与Ⅱ2 平行相当于

空间一点 P 0( x 0,y0, z 0)到平面 的距离,有以下公式:

5、二次曲面 旋转曲面 柱面 (一)二次曲面 三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。 例如 球面:

椭球面:

椭圆抛物面:

双曲抛物面:

单叶双曲面:

双叶双曲面:

注意:以上方程是二次曲面的标准方程,还应该知道它们的各种变形。 (二)旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,旋转曲 线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。例如,顶点在坐标原点 O,旋转轴为 z 轴, 半顶角为α 的圆锥面

以 x 轴为旋转轴的旋转双曲面

已知旋转曲面的母线 C 的方程为

2 2 旋转轴为 z 轴,只要将母线的方程 f ( y ,z)=0 中的 y 换成 ? x ? y ,便得

曲线 c 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程,即

同理,可得其他情形的旋转曲面的方程。 (三)柱面 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面,定曲线 C 叫做柱面 的准线,动直线 L 叫做柱面的母线。例如,以 xOy 平面上的圆 x2+y2= R2 为准线,平 行于 z 轴的直线为母线的圆柱面

以 xOy 平面上的抛物线 y2=2x 为准线,平行于 z 轴的直线为母线的抛物柱面

在空间直角坐标系中,如果曲面方程 F ( x , y ,z)= 0 中,缺少某个变量,那 么该方程一般表示一个柱面。 例如, 方程 F ( x , y)=0 一般表示一个母线平行于 z 轴 的柱面,方程 G ( x , z )=0 , H ( y , z ) =0 一般表示一个母线平行于 y 轴,x 轴的柱面。 二、 微分学 函数可微分的充分必要条件 函数 y = f (x) 在点 x0 可微分的充分必要条件是 f ( x ) 在点 x0 可导, 且当 f ( x ) 在点 x0 可导时,其微分一定是

函数的微分是 基本微分公式与微分法则 1 .基本微分公式 2 .函数和、差、积、商的微分法则 设函数 u = u ( x ) 、v= v ( x )均可微,则

3 .复合函数的微分法则 设 y ? f (u ) 、 u ? ? ( x) 均可微,则 y ? f [? ( x)] 也可微,且

【 例 】 [解]

【 例】 [解]

4、中值定理与导数的应用 (一)罗尔中值定理 1 . 若函数 f ( x ) 在闭区间[ a , b]上连续, 在开区间 ( a,b ) 内可导, 且 f( a ) = f ( b ) ,则至少有一点ξ ∈( a, b ) ,使得 f ' (ξ )= 0。

2 .拉格朗日中值定理 若函数 f ( x )在闭区间[ a ,b]上连续,在开区间( a , b )内可导,则至少 有一 点ξ ∈( a, b ) ,使得下式成立

5、求未定式的值的方法 : 罗必达法则

1 .未定式 与 关于 的情形:

0 0

? 的情形 ?

0 0

设( 1 )当 x → a (或 x→∞)时, f (x)→0 且 F ( x ) → 0 , ( 2 ) 在点 a 的某去心邻域内(或当|X|> N 时) , f ' ( x )及 F ' ( x ) 都存在且 F ' (x) ? 0 ,

则 若 仍属

0 型 ,且 f ' ( x ) 、 F ' (x)满足上述三个条件,则可继 0

续运用罗必塔法则,即

对于

? 型,也有相应的洛比达法则 ?

【解】

属 型, 运用罗必塔法则,得

0 0

【 解 】 属

? 型,运用罗必塔法则,得 ?

【 解 】

属 0· ? 型,通过变形化为

? ,然后运用罗必塔法则,得 ?

2 .其他形式的未定式的情形 其他尚有 0 · ? 、 ? - ? 、 00 、 1 ? 、 ? 0 型的未定式,它们均可通过变形化成

0 ? 0 ? 或 的情形。如 0 · ? 型可变形成 或 , ? - ? 型通过通分,00、1 ? 、 ? 0 通过 1 1 0 ? ? 0
取对数变形。 (三)函数性态的判别 1 .函数单调性的判定 利用一阶导数的符号判定,如表 1-2-1 所示。

2 .函数极值的判定

一阶导数为零的点称为驻点,对于连续函数,极值点必定是驻点,驻点不一定是极 值点。 3 .曲线凹、凸及其拐点的判定

连续曲线 y = f ( x )上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果 f " (x0) =0,而 f " ( x )在 x0 的左右两侧邻近异号,则点(x0, f ( xo ) )就是一个拐点。 4 .曲线的渐近线 若 lim f ( x) =y0,则曲线 y = f ( x )有水平渐近线 y = y0 ;
x ??

若 lim f ( x) = ? ,则曲线 y =f ( x ) 有铅直渐近线 x = x 0;
x ? x0

5.最大值最小值问题 设 f ( x )在闭区间 [ a , b] 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点 处导数为零,求 f (x)在 [ a ,b]上的最大值与最小值的一般方法: 设 f ( x )在( a , b )内的驻点及不可导点为 x1,… , xn,则比较

的大小,其中最大的便是最大值,最小的便是最小值。 【例】 已知函数 y = f ( x )对一切 x 满足 xf’’ ( x ) + 3x [ f ' ( x ) ]2 = 1 - l ? x ,若 f ' ( x 0) = 0 (x0 ? 0 ) ,则 ( A ) f ( xo )是 f ( x )的极大值( B )f( xo )是 f (x)的极小值 ( C ) ( xo , f (x0) )是曲线 y= f ( x )的拐点 ( D ) f (x0)不是 f ( x )的极值, (x0 , f ( xo ) )也不是曲线 y =f ( x ) 的拐点 【 解 】 x= x 0 是 f ( x ) 的驻点, 又 f ' ' ( x 0) =

1 (1 ? l ? x0 ) > x0

0, 故 f (x0)是 f ( x )的极小值,应选( B ) 。 3 2 【例】 求函数 y = 2 x + 3 x - 12x + 14 在[ -3 , 4 ] 上的最大值与最小值。 【解】 f ( x )=2x3 + 3x2 – 12x +14 , f’ (x ) = 6x 2+6x – 12 = 6 (x + 2) ( x -1) 。 令 f’ (x) = 0, 得 x1= -2, x 2= 1. 算出 f ( -3 ) = 23, f ( - 2 ) = 34 , f ( 1 ) = 7 , f (4) = 142, 故最 大值为 f (4 ) = 142 ,最小值为 f (1) = 7 。 【例】 若 f (x)在( a , b )内满足 f '( x ) < 0 , f " ( x ) > 0 ,则 曲线 y = f (x)在( a , b )内是 ( A )单调上升且是凹的 ( B )单调下降且是凹的 ( C )单调上升且是凹的 ( D )单调下降且是凸的 【 解 】 由 f ' (x )<0 及函数单调性的判定法, 知曲线是单调下降的。 又由 f " (x) > 0 及曲线凹凸性的判定法,知曲线是凹的,故选( B ) 6、函数的几个特性 ( 1 )函数的有界性:设函数 f (x)的定义域为 D ,数集 X ? D ,若存在正 数 M ,使 f ( x) ≤ M ,x ? X,则称 f( x )在 X 上是有界的,如果对于任何正数 M,总 存在 x1 ? X,使 f ( x1 ) >M,则称函数 f(x)在 X 上无界。 (2)函数的单调性:设函数 f(x)的定义域为 D,区间 I ? D,如果对于区间 I 上任 意两点 xl 和 x2 , ,当 xl <x2 时,恒有 f (xl ) < f (x2 ) ,则称函数 f ( x )在 区间 I 上是单调增加的,如果对于区间 I 上任意两点 x1 和 x2,当 x1<x2 时,恒有 f (xl ) > f ( x2) ,则称函数 f (x)在区间上是单调减少的。 ( 3 )函数的奇偶性:设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称,如果对于任一 x ,则称 f ( x ) 为偶函数。如果对于任一 x ? D ,恒 ? D ,恒有 f (- x ) = f (x) 有 f (- x ) =- f (x) ,则称 f ( x ) 为奇函数。 (4)函数的周期性:设函数 f (x)的定义域为 D ,如果存在一个不为零的数 l,

使得对于任一 x ? D ,有 x 士 l ? D 且恒有 f (x 士 l)= f ( x ) ,则称 f ( x ) 是以 l 为周期的周期函数,这里通常取最小正周期.
7、函数 f ( x )当 x ? x0 (或 x ?? )时的极限存在的充分必要条件,是函数

的左、右极限均存在且相等,即

函数的间断点 由函数在一点连续的定义可知,函数 f ( x )在一点 x 0 处连续的条件是: ( 1 ) f ( xo )有定义; ( 2 ) lim f ( x) 存在;
x ? x0

( 3 ) lim f ( x ) ? f ( x0 )
x ? x0

若上述条件中任何一条不满足, 则 f ( x )在 x 0 处就不连续,不连续的点就称 函数的间断点。间断点分成以下两类: 第一类间断点: x0 是 f ( x )的间断点,但 f (x0-)及 f (x0+)均存在; 第二类间断点:不是第一类的间断点。 在第一类间断点中, 若 lim? f ( x ) ` lim? f ( x) 均存在但不相等,则称这种间断点为跳
x ? x0 x ? x0

跃间断点;若 f ( x0-) , f ( xo

+

)均存在而且相等,则称这种间断点为可去间断

8、闭区间上连续函数的性质 设函数 f ( x )在闭区间 [a ,b]上连续,则 ( l ) f ( x )在[ a ,b]上有界(有界性定理) ; ( 2 ) f ( x )在[ a ,b]上必有最大值和最小值(最大值最小值定理) ; ( 3 )当 f ( a ) f (b) < 0 时,在( a ,b)内至少有一点ξ ,使得 f (ξ ) = 0 (零点定理; ( 4 )对介于 f ( a ) = A 及 f ( b ) = B 之间的任一数值 C ,在( a , b ) 内至少有一点ξ ,使得 f (ξ )=C (介值定理) 。
9、极限存在准则和两个重要极限

1 .夹逼准则和极限 准则 I (数列情形) 若数列且 xn、 yn、 及 zn 满足条件:yn ? xn ? zn (n= 1 , 2 , 3 , …) 且 lim yn ? lim zn ? a 则数列 xn 的极限存在且 lim xn ? a
n ?? n ?? n ??

准则 I’(函数情形)若函数 f ( x ) 、 g ( x )及 h ( x )满足条件:

利用准则 I’ ,可得一个重要极限

2 .单调有界准则和极限 准则 II 单调有界的数列(或函数)必有极限。 利用准则 II,可得另一个重要极限

10、无穷小的比较

设 a 及 ? 都是在同一个自变量变化过程中的无穷小,且 ? ? 0, lim 化过程中的极限。 若 lim

? 也是在这个变 ?

? =0,就称 ? 是比 a 高阶的无穷小,记作 ? = ? (a) ; ? ? 若 lim = ? ,就称 ? 是比 a 低阶的无穷小; ? ? 若 lim =C ? 0,就称 ? 是与 a 同阶的无穷小; ?? 若 lim =1, 就称 ? 是与 a 等阶的无穷小 ?? 若 lim k ? c ? 0 ,就称 ? 是关于 a 的 k 阶低阶的无穷小 ? 当 x ? 0 时,有以下常用的等价无穷小:

【例1-2-6】

求 lim
x ?0

1 ? cos x 。 x2

【例1-2-7】

? 1? 求 lim ? 1 ? ? x ?? ? x?

x

【 解 】 令 x=- t ,则当 x ? ? 时,t ? ? 。于是

【例1-2-8】

? 1? x ? 求 lim ? ? 。 x ?? ? x ?

2x

11、导数 设函数 f ( x )在 x 0 的某邻域内有定义,若极限

存在,则称函数 f( x )在 xo 处可导,并称此极限为 f ( x )在 x 0 处的导数。 (2) f ( x )在 x0 处的导数 f ' ( x 0) ,在几何上表示曲线 y = f ( x ) 在点( x 0, f ( x 0) )处的切线的斜率。由此可知曲线 y =f ( x )在点( x 0, f ( x0) )处的切线方程为 其中 y 0= f ( x 0) 。若 f ' ( x 0)≠0 ,则曲线 y = f ( x )在点( x 0, f (x0) )处的法线方程为

(3 )基本求导公式(略) 函数的和、差、积、商的求导法则 设 u = u( x ) 、 v = v ( x )均可导,则 ’ ’ (u±v) =u’±v (Cu)’=Cu’(C 是常数) (uv)’=u’ v+u v’

? u ? u v ? uv ' ? ? ? v2 ?v?
'

'

3 .反函数的求导法则 若 x =φ (y)在区间 Iy 内单调、可导且φ ’(y)≠0 ,则它的反函数 y =f( x )在 对应的区间 Ix 内也可导,且

即 4 .复合函数的求导法则 设 y = f ( u ) 、 u =φ ( x )均可导,则复合函数 y = f [φ ( x ) ] 也可 导,且

5 .隐函数的求导法则 设方程 F ( x ,y)= 0 确定一个隐函数 y = y ( x ) ,Fx、 Fy ,连续且 Fy ≠0,则隐函数 y = y ( x )可导,且

6 .由参数方程所确定的函数的求导法则 若函数 y = y ( x )由参数方程

所确定,且 x =φ ( t ) 、 y =ψ ( t 〕 都可导,φ



( t )≠ 0,则

【例】求方程 x – y +

1 siny =0 所确定的隐函数 y = y ( x )的导数 2

【 解 】 方法 1.按复合函数求导法,注意 y 是 x 的函数, 方程两边对 x 求导,得

于是 方法 2.按隐函数求导公式

【 例】设 u( x ) 、 v ( x )均可导且 u (x)> 0 , v(x) 求 y = u ( x ) 的导数。 【 解 】 两边取对数,得

上式两边对 x 求导,注意 y 是 x 的函数,得

一元函数,可导肯定连续,连续不一定可导。 可导,左右导数相等。 12. 偏导数与全微分 1 .偏导数概念

2 .多元复合函数的求导法则 设 u = ? ( x ,y) 、 v =? ( x ,y)均具有偏导数,而 z=f(u , v )具 有连续偏导数,则复合函数 z =f [ ? ( x ,y) ,? ( x ,y) ]的偏导数存在,且

由此可见,掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构,哪些是 中间变量,哪些是自变量。 3 .隐函数求导法则 设方程 F ( x , y , z ) = 0 确定一个隐函数 z = f ( x ,y) ,函数 F ( x , y , z )具有连续偏导数且 Fz ≠0 ,则有

4 .高阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称高阶偏导数,如 z = f (x 求导次序不同有下列四个:

,y)的二阶偏导数按

5 .全微分概念 若函数 z = f ( x ,y)的全增量

2 ? (?y ) 2 ,则称函数 z= f ( x , 其中 A 、 B 仅与 x, y 有关,而 ? ? (?x)

y)在点 ( x ,y)可微分,并称 A?x ? B?y 为函数 z = f(x, y)的全微分,记作 dz , 即

函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。 习惯上,记 ?x ? dx, ?y ? dy ,故

6.偏导数的应用 (1) 空间曲线的切线与法平面 空间曲线 ? :

在对应参数 t = t0 的点( x0 , y0,z0)处的切线方程为

法平面方程为

(2)曲面的切平面与法线 曲面∑: F (x,y , z ) = 0 在其上一点 M ( x0 , y0 , z0 )处的切平面方 程为 法线方程是

(4)多元函数的极值 设 z = f ( x ,y)在点( x0 , y0 )具有偏导数,则它在点( x0, y0 )取得 极值的必要条件是 设 z = f ( x ,y)在点( x0 , y0 )的某邻域内具有二阶连续偏导数,且

则有 (1)当 AC-B2 > 0 时,具有极值 f(x0,y0) ,且当 A < 0 时,f(x0,y0)为极大 值,当 A > 0 时, f(x0,y0)为极小值; (2)当 AC-B 2< 0 时,f(x0,y0)不是极值。

【例】 求曲线 x = t , y=t2, z=t3 在点( 1 , 1 , 1 )处的切线及法平面方 程。 【 解 】 因 x ' t = 1 , y' t = 2t , z 't= 3t2,点(1, 1 ,1)所对应的参数 t = 1 ,故曲线的切向量: τ = ( 1 , 2 , 3 ) 。于是,切线方程为

法平面方程为 ( x - 1 ) + 2(y - 1 ) + 3 ( z - 1 ) = 0 即 x+2 y+3z - 6 =0 【 例】 球面 x2 + y2 + z2 = 14 在点( 1 , 2 , 3 )处的切平面方程是 ( A ) ( x - l ) + 2(y - 2 )-( z - 3 ) = 0 ( B ) (x + 1 ) + 2 ( y + 2 ) + 3 ( z + 3 ) = 0 ( C ) ( x - 1 ) + 2 (y - 2 ) + 3 ( z - 3 ) = 0 ( D ) ( x + l ) + 2 (y+2 )- ( z + 3 ) = 0 【 解 】 F(x,y,z)=x2 +y2+z2 - 14 ,曲面的法向量 n= ( Fx,Fy,Fz)=( 2x, 2y , 2z ) , n|( 1, 2 , 3 ) = ( 2 , 4 , 6 ) ,故曲面在点( 1 , 2 , 3 )处的切平 面方程是 ( C ) 第三节 积分学 1.不定积分与定积分

不定积分具有如下性质:

对定积分还有两点补充规定:

定积分具有如下性质:

(二)积分表(略) 2 .换元积分法 对不定积分,有第一类换元法:

第二类换元法: 其中? ?1 ( x) 是 x ? ? (t ) 的反函数,且? ' (t ) ? 0 。

对定积分,有 其中 ? (? ) ? a, ? ( ? ) ? b 。
2 2 2 2 2 2 当被积函数含有 a ? x 、 x ? a 、 x ? a 时,可采用第二类换元法,依次令

x ? aa sin t、x ? a tan t、x ? a sec t ,可消去被积函数中的根号。
3 .分部积分法

4 .微积分基本公式 若 f ( x )在[ a , b ] 上连续,则

?

x

a

f (t )dt 是 f ( x )在[ a , b ]上的

一个原函数,即 由此可得微积分基本公式: 若在[ a , b ] 上有 F’( x )=f(x ) ,则

几个常用的定积分公式

( l )若 f (x)在[ - a , a ] ( a > 0 )连续且为偶函数,则

( 2 )若 f (x)在[- a , a ]( a > 0 )上连续且为奇函数,则

5 二重三重积分

利用极坐标直角坐标和极坐标的关系是

(2)利用直角坐标计算三重积分

利用柱面坐标计算三重积分 直角坐标与柱面坐标的关系是

利用球面坐标计算三重积分 直角坐标与球面坐标的关系是

(1)计算

?? xyd? ,其中 D 是由抛物线,y = x 及直线 y = x - 2
2

所围成的闭区域。

D

【 解 】 两曲线的交点是( 1,- 1 ) 、 ( 4 , 2 ) 。积分区域 D (图 1-3-4 ) 可表成 从而

(2)计算三重积分 成的闭区域。 【 解 】 积分区域 而 于是

??? xdxdydz ,其中Ω 为三个坐标面及平面 x + 2y + z =1
D

所围

6. 四、平面曲线积分格林公式 (1)对弧长的曲线积分的概念与性质 第一类曲线积分的计算法 设 f ( x ,y)在曲线弧 L 上连续,L 的参数方程为

在[a,β ]上具有一阶连续导数,且

【例】 计算半径为 R 、 中心角为 2a 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (线 密度μ = 1 ) 。 【解】 取圆弧的圆心为原点,对称轴为 x 轴,并使圆弧位于 y 轴的右侧(图 1 一 36 ) ,则

L 的参数方程为

于是

2 第二类曲线积分的计算法

设函数 P(x, y ) , Q ( x ,y)在有向曲线弧 L 上连续, L 的参数方程为

? x ? ? (t ) ? ? y ? ? (t )

.

当 t 单调地由 a 变到β 时,点 M 从起点 A 沿 L 运动到终点 B , ? (t ),? (t ) 在[ a , β ]或 [ β ,α ]上具有一阶连续导数,

如果有向曲线 L 由方程 y = y (x )给出(x: a → b ) ,则有

定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数 P( x ,y)及 Q ( x ,y)在 D 上具有一阶连续偏导数,则有

其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。 上述公式称格林公式。 这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边 界曲线 L 上的曲线积分之间的联系, 利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。 四 无穷级数

1.( l )收敛准则:正项级数收敛的充分必要条件是其部分和有界。 ( 2 )比较审敛法:设

? un 、 ? vn 为正项级数,对某个 N > 0 ,当 n> N 时,
n ?1 n ?1

?

?

0 ? un ? Cvn( C > 0 为常数) 。若 发散。

?
n ?1

?

vn 收敛,则

?u
n ?1

?

n

收敛;若

?u
n ?1

?

n

发散,则

?
n ?1

?

vn

比较审敛法的极限形式:若 lim
?

? un =l(vn ? 0 ) ,则当 0< l <十 ? 时, ? un n ?? v n ?1 n



?
n ?1

vn 同时收敛或同时发散。
?

( 3 )比值审敛法:设

?u
n ?1

n

n ?1 为正项级数,若 lim = l ,则当 l < l 时, n ?? u n

u

级数收敛;当 l > 1 或 l = + ? 时,级数发散;当 l = 1 时,级数可能收敛也可能 发散。 ( 4) 根值审敛法:设

?u
n ?1

?

n

为正项级数,若 lim n ??

n

u n = l,则当 l < l 时,级数收敛;

当 l > 1 或 l = + ? 时,级数发散;当 l = 1 时,级数可能收敛也可能发散 (5)若级数
?

?u
n ?1

?

n

为任意项级数,而级数
?

?
n ?1 ? n ?1

?

un

收敛,则称级数

?u
n ?1

?

n

绝对收敛;



? un 收敛,而 ?
n ?1 n ?1

un

发散,则称级数
?

?u

n

条件收敛。

( 6 )莱布尼兹判别法:若交错级数

?
n ?1
n

(- l ) n u n( u n> 0 )满足: 1 )u n ?
?

u

n+1

(n= 1 , 2 … ) ; 2 ) lim u n ??

= 0 ,则级数

?
n ?1

(- 1 )nun 收敛,且有余

项 rn

? u

n+1

(n= 1 , 2, …)

( 7 )若任意项级数
?

?u
n ?1

?

n

绝对收敛,则该级数收敛。

( 8 )设

?u
n ?1

n

为任意项级数,若 lim n ??

u n ?1 = l (或 lim n ?? un

n

u n = l ) ,则当

l < 1 时,级数绝对收敛;当 l > 1 或 l = + ? 时,级数发散;当 l = 1 时,级数

可能收敛也可能发散。 【 例】 判别级数

?
n ?1

?

sin

1 的收敛性。 n

【解】 级数
?

?
n ?1

?

sin

1 为正项级数,因为 n

而级数

?
n ?1

1 发散(p-级数,p=1 的情形, ,根据比较审敛法的极限形式知此级数 n

发散 . 【 例】 判别级数

的收敛性。 【 解 】 所给级数为正项级数,因为

根据比值审敛法知所给级数发散。 【 例】 判别级数 【 解 】

?
n ?1

?

1 的收敛性。 nn

所给级数为正项级数,因为

根据根值审敛法知所给级数收敛。 注意对正项级数来说,部分和数列有界是级数收敛的充分必要条件,而对一般的非 正项级数来说,部分和数列有界仅是级数收敛的必要条件,而不是充分条件。 【 例】级数

的收敛性是 ( A )发散

( B )条件收敛

( C )绝对收敛

( D )无法判定

【 解 】 按莱布尼兹判别法知,级数收敛;级数 p < 1 ,故级数发散,因此应选( B ) 。 2 .幂级数的收敛半径及其求法 若幂级数

?
n ?1

?

1 n
1 2

是 p -级数 p ?

1 的情形, 2

?a x
n?0 n

?

n

在某些点收敛,在某些点发散,则必存在唯一的正数 R ,使当

x ? R 时,级数绝对收敛,当 x ? R 时,级数发散。这个 R 称为幂级数的收敛半径;
若幂级数只在 x = 0 处收敛,则规定收敛半径 R = 0 ;若幂级数对一切 x 都收敛, 则规定收敛半径 R ? ??

对幂级数

?a x
n?0 n

?

n



则它的收敛半径

3 .幂级数的性质 若幂级数 " 根据幂级数在 x =± R 处的收敛情况,可以决定幂级数的收敛域(即收敛点的全 体)是四个区间: (- R , R ) 、 [- R , R ) 、 (- R , R ] 、[- R , R ]之一。 幂级数具有以下性质: ( l )幂级数

?a x
n?0 n

?

n

的收敛半径为 R ,则称开区间(- R , R )为幂级数的收敛区间,

?a x
n?0 ? n

?

n

的和函数在其收敛域上连续;

( 2 )幂级数 式

?a x
n?0 n

n

的和函数在其收敛区间内可导,且有逐项求导、逐项积分公

逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 4.泰勒级数 (1 )泰勒级数的概念 若 f ( x )在点 x0 处具有各阶导数,则幂级数
?

? n! f
n ?0

?

1

(n)

( x0 )( x ? x0 ) n 称为函数 f

( x ) 在点 x0 处的泰勒级数, 特别当 x0 = 0 时, 级数 的麦克劳林级数。 (2 )函数展开成泰勒级数的条件

? n! f
n?0

1

(n)

(0)( x) n 称为函数 f( a )

设函数 f (x)在点 x0 的某邻域 U ( x0)内具有各阶导数,则 f ( x)在该邻 域内能展开成泰勒级数(即 f ( x )的泰勒级数收敛于 f ( x )本身)的充分必要 条件是 f ( x ) 的泰勒公式中的余项

(其中 ? ? x0 ? ? ( x ? x0 ), 0 ? ? ? 1) (3) 常用函数的幂级数展开式

【例】 幂级数

的收敛域是

( A ) (- 1 ,l ) ( B ) (- l , 1 ) ( C ) (- l , l ) ( D ) (- l , 1 ] 【 解 】 易知级数收敛半径 R = l ,当 x =- 1 时,级数
?

? ? ,当 ?? ? n?
n ?1

?

? 1?

x = 1

时,级数

? (?1)
n ?1

n ?1

1 收敛,故应选( D ) 。 n

( ( ( (

A B C D

)条件收敛 )绝对收敛 )发散 )收敛性不能确定

【 解 】 由

? a ( x ? 1)
n ?1 n

?

n

的结构知其收敛区间的中心为 x = 1,已知 x = -1 为此

级数的一个收敛点,设其收敛半径为 R ,则 R ? ( ?1) ? 1 ? 2 ,而 x = 2 与收敛区间

中心 x= 1 的距离为 1 , 1 < R ,由幂级数的收敛性(阿贝尔定理)知,此级数在 x = 2 处绝对收敛,故应选( B ) 。 【 例】将函数 【 解 】 因为

1 展开成(x— 3 )的幂级数。 x



因此

5、傅立叶级数 1 .傅立叶系数和傅立叶级数 设 f ( x )是周期为 2π 的周期函数,则下面公式中出现的积分

都存在,则系数 a0,a1, ,bl… 叫做函数 f ( x )的傅立叶系数,级数

叫做函数 f ( x )的傅立叶级数。 2 .狄利克雷收敛定理 设 f ( x )是周期为 2 π 的周期函数,如果它满足条件: ( 1 )在一个周期内连续,或只有有限个第一类间断点; ( 2 )在一个周期内至多只有有限个极值点,则 f ( x )的傅立叶级数收敛, 且当 x 是 f ( x )的连续点时,级数收敛于 f( x ) ;当 x 是 f( x )的间断点 时,级数收敛于 [ f ( x ? ) ? f ( x ? )] (二)正弦级数和余弦级数 1 .正弦级数 若 f ( x )是周期为 2 π 的奇函数,则它的傅立叶系数为

1 2

它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数

2 .余弦级数 若 f ( x )是周期为 2 π 的偶函数,则它的傅立叶系数为

它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数

(三)周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数 设 f ( x )是周期为 2l 的周期函数,则它的傅立叶系数为

而它的傅立叶级数为

(四)例题 【 例 1 - 4 – 14 】 设 f( x )是周期为 2 π 的周期函数,它在 上的表达式为

[-π ,π ) ,

问 f ( x )的傅立叶级数在 x =-π 处收敛于何值。 【 解】所给函数满足狄利克雷收敛定理的条件,x =-π 是函数的间断点,按收敛 定理它的傅立叶级数在 x =-π 处收敛于

【 例 1- 4 – 15】 将函数

展开成傅立叶级数。 【 解 】 将函数 f ( x) ? ? 2 ? x 2 在 [?? , ? ] 外作周期延拓,注意到 f ( x )是偶函数, 故

由于 f 在区间[-π ,π ]满足收敛定理的条件,在 [-π ,π ]上连续,且 f (π ) = f -(π ) ,因此在区间[-π ,π ]上,有

第五节

微分方程

1.微分方程的解、通解 微分方程的解是一个函数,把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。确切地 说,对于 n 阶微分方程

那么函数 y ? ? ( x) 就称为微分方程( 1 - 5 - l )在区间 I 上的解。 如果二元代数方程 ?( x, y) ? 0 所确定的隐函数是某微分方程的解, 那么 ?( x, y) ? 0 称为该微分方程的隐式解。 含有 n 个独立的任意常数的微分方程的解,称为 n 阶微分方程的通解。 2.初始条件与特解 能用来确定通解中的任意常数的条件称为初始条件。通常一阶微分方程的初始条件

?。 为 y |x ? x0 ? y0 ;二阶微分方程的初始条件为 y |x ? x0 ? y0 , y? |x ? x0 ? y0
通解中的任意常数全都确定后,就得到一个确定的解,称为微分方程的特解。 【 例】验证函数 y ? C1e ? x ? C2e 2 x 是微分方程 y?? ? y? ? 2 y ? 0 的通解。 【 证 】 代入方程有 所 给 方 程 是 二 阶 的 , 所 给 函 数 中 恰 好 含 Cl 、 C2 两 个 任 意 常 数 , 且 因

e2 x / e? x ? e3 x ? 常数,故这两个任意常数不能合并成一个,即它们是相互独立的,因此
所给函数是所给方程的通解。 二、可分离变量的方程

一阶微分方程 称为可分离变量的方程。把式中的 y 和 dy 归入方程的一端,x 和 dx 归入另一端, 成为 这一步骤称为分离变量。分离变量后,两端可分别积分

设 g (y) 、 f ( x )的原函数依次为 G (y)与 F(x) ,即得方程( 1-5 - 2 )的 通解 【 例】xOy 平面上一条曲线通过点( 2, 3 ) ,它在两坐标轴间的任一切线段均 被切点所平分,求它的方程。

【 解 】 设曲线上任一点为( x ,y) ,依题意,曲线在点(x,y)的切线在两坐 标轴上的截距应为 2x 及 2y , (图 1-5-1 ) ,切线斜率为

dy ,因此有 dx

初始条件为 x= 2 时 y = 3 。

分离变量得 积分得

以初始条件代入得 C1 = 6 ,故所求曲线方程为

3.齐次方程

4、一阶线性方程 方程 (1-53)

称为一阶线性方程。 当 Q( x) ? 0 时, 式 ( 1 - 53 ) 称为线性齐次方程; 当 Q( x) ? 0 时,式( 1 - 53 )称为线性非齐次方程。 线性齐次方程 y? ? P( x) y ? 0 是一个变量可分离的方程。经分离变量并积分,即得 通解

? P ( x ) dx 为解非齐次方程( 1-5-3 ) ,可作变换 y ? ue ? ,代入方程得

整理得 积分得 于是得方程( 1-5-3 )的通解

1.求方程 ( x ? 1) y? ? 2 y ? ( x ? 1) 4 的通解。 【解 】 利用一阶线性方程的通解公式( 1-5-4 )来求解,为此,把所给方程写

成标准形式 这里

代入公式,得

求方程 ( x ? 1) y? ? 2 y ? ( x ? 1) 4 的通解。

积分因子法

( x ? 1) ?2 ( y? ?

2y ) ? ( x ? 1) x ?1

? ?2 ? ?( x ? 1) y ? ? ? ( x ? 1) ( x ? 1) 2 ( x ? 1) ?2 y ? ?C 2
5 7 2 2 * 2 2.已知微分方程 y? ? y ? ( x ? 1) 的一个特解为 y ? ( x ? 1) 2 ,则此微分方程 x ?1 3

的通解是

【解 】 原方程对应的齐次方程的通解为

根据线性方程解的结构可知原微分方程的通解为 故应选( C ) 。 全微分方程

例题:

几种可降阶的方程

这类方程可直接积分,积分一次得

即把原方程降低一阶。积分 n 次,即可得通解

这是不显含 y 的二阶方程,令 y? ? p ,则 y?? ? p? ,代入即得

这样就把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为 p ? ? ( x, C1 ) ,则原 方程的通解为

这是不显含 x 的二阶方程,令 y? ? p ,则

代入方程得

即 把 二 阶 方 程 降 为 一 阶 方 程 。 设 求 得 此 一 阶 方 程 的 通 解 为 p ? ? ( y, C1 ) , 即

dy ? ? ( y, C1 ) ,分离变量并积分得原方程的通解为 dx

(四)例题 1.求方程 的通解。

【 解 】 这是不显含 y 的方程,令 y? ? p ,则 y?? ? p? ,代入方程,得一阶线性方 程

利用通解公式( 1-5-4 ) ,有

积分得

2.求微分方程

满足初始条件 y |x ?0 ? 1, y? |x ?0 ? 2 的解。

【 解 】这是不显含 x 的方程。令 y? ? p ,则 y?? ? p

dp ,代入方程得 dy

积分得

由 y = 1 时 p = 2 ,得 Cl = 0 ,且知负号不合,故

积分得

由 y |x ?0 ? 1, 得 C2 = 4 ,于是所求特解为

线性微分方程解的性质及解的结构定理 设有二阶齐次线性方程

则有

例题 写出该方程的通解

二阶常系数线性齐次方程 二阶常系数线性齐次方程的一般形式是

称为微分方程的特征方程,特征方程的根称为特征根。 按特征根的情况,可直接写出方程的通解如下:

例题 1.

例题 2.


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