高中必修2单元测试卷(空间几何、直线与方程)

A． 30

0

B． 90

0

C． 60

0

D．随 P 点的变化而变化

数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分 钟,满分 150 分.

6．三棱锥

的高为 PH ，若三个侧面两两垂直，则 H 为△ ABC 的 （ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 7．已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点， SA ? 平面ABC ，

AB ? BC ， SA ? AB ? 1 ， BC ? 2 ，则球 O 的表面积等于

第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题 给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下面命题中正确的是( )

（

） A．4 ?

13. 如图所示，在正三角形 ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点， AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D、H、G 为垂足，若将正三角形 ABC 绕 AD 旋转一周所得的圆锥的体积为 V，则其中有阴影部 分所产生的旋转体的体积与 V 的比是 ．

B．3 ?

C．2 ?

D． ?

8．如图所示，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC=90°，BC1 ⊥AC， 则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 （ ） A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部

14. 圆柱形容器内盛有高度为 8cm 的水，若放入三个 相同的珠 （球的半径与圆柱的底面半径相同） 后， 水恰好淹没最上面的球 （如图所示） ， 则球的半径 是____cm. 15. 在三棱锥 O ? ABC 中，三条棱 OA ， OB ， OC 两两垂直， 且 OA > OB > OC ,分别经过三条棱 OA ，OB ，OC 作一个截 面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 S1 ， S2 ， S3 ，则 S1 ，

A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 2.已知高为 3 的直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底是边长为 1 的正三角 形,则三棱锥 B1—ABC 的体积为( ) A. )

9．如图所示，定点 A、B 都在平面 α 内，定 点 P ? α，PB⊥α，C 是 α 内异于 A 和 B 的动点，且 PC⊥AC。 那么，动点 C 在平面 α 内的轨迹是（ A.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点 C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点 10. .如图所示，在单位正方体 ABCD－A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P， 使得 AP+D1P 最短， 则 AP+D1P 的最小值为 （ A. 2 ? 2 C. 2 ? 2 B. D.2 （ ） ）

1 4

B.

1 2

C.

3 6

D.

3 . 4

S2 ， S3 的大小关系为
明过程或演算步骤)

．

三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分,解答应写出文字说明、证

3.直线过点(－1,2)且与直线 2x－3y＋4＝0 垂直，则直线的方程 是( ) A．3x＋2y－1＝0 C．2x－3y＋5＝0 B．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0

16．(本小题满分 13 分) 如图所示， 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， AB ? AD ? 1 ， AA 1 ? 2 ， M 是棱 CC1 的中点. （Ⅰ）求异面直线 A1M 和 C1 D1 所成的角的正切值； （Ⅱ）求证：平面 ABM ⊥平面 A1 B1M .

? 4.一条直线与一个平面所成的角等于 ，另一直线与这个平面 3 ? 所成的角是 . 则这两条直线的位置关系( ) 6
A．必定相交 C．必定异面 B．平行 D．不可能平行
V

2? 6 2
）

第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在

5.如右图所示，正三棱锥 V ? ABC （顶点在 底面的射影是底面正三角形的中心）中，
E F A P B C D

题中横线处) 11. 已知 m ? 0 ，则过点(1，－1)的直线 ax ? 3m y ? 2a ? 0 ，则

D, E, F 分别是 VC,VA, AC 的中点， P
为 VB 上任意一点， 则直线 DE 与 PF 所成 的角的大小（ ）

ax＋3my＋2a＝0 的斜率为________．
12.如图，若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则 其表面积等于 ．
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17．(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩 如图 1 所示，墩的上半部分是正四棱锥 P ? EFGH ，下半部分是 长方体 ABCD ? EFGH .图 2、图 3 分别是该标识墩的正视图和 俯视图． （Ⅰ）请画出该安全标识 墩的侧视图； （Ⅱ）求该安全标识墩的 体积．

19 ．( 本小题满分 12 分 ) 如图，在四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是矩形 PA ? 平面ABCD ， AP ? AB ， BP ? BC ? 2 ， E , F 分别是 PB , PC 的中点. (Ⅰ)求证： EF // 平面PAD ； (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABC 的体积 V .

21． (本小题满分 12 分) 如图所示， 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， E 是 DD1 的中点. （Ⅰ）求直线 BE 与平面 ABA1 B1 所成角； （Ⅱ）在 C1 D1 上是否存在一点 F ，使得 B1F / / 平面A 1BE ?证明 你的结论.

18． (本小题满分 13 分) 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， PD⊥平面 ABCD， PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90 ． （Ⅰ）求证：PC⊥BC； （Ⅱ）求点 A 到平面 PBC 的距离．
0

20 ． ( 本小题满 分 12 分 ) 如图， 在平行四边形 ABCD 中 ， AB ? 2 BC ，∠ABC=120°, E 为线段 AB 的中点，将△ ADE 沿 直线 DE 翻折成△ A DE ，使平面 A DE ⊥平面 BCD ， F 为线 段 A C 的中点。 （Ⅰ）求证： BF ∥平面 A DE ； （Ⅱ）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 A DE 所成 角的余弦值.
' ' ' '

'

数学试题卷（参考答案）
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题
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给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的) 1-5 DDADB 6-10 CAABA 18. （1）证明：因为 PD⊥平面 ABCD，BC ? 平面 ABCD，所以 PD⊥BC。 由∠BCD=90 ，得 CD⊥BC，
0

∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥ PA 交 AB 于点 G, 则 BG⊥平面 ABCD,且 EG=

二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在 题中横线处) 1 11 － 3

1 PA. 2

12 6 ? 2 3
15 S 3 ? S 2 ? S1

13

5 8

又 PD

DC=D，PD、DC ? 平面 PCD，

在△PAB 中，AD=AB, ? PAB°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG= ∴S△ABC=

所以 BC⊥平面 PCD。 因为 PC ? 平面 PCD，故 PC⊥BC。 （2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则： 易证 DE∥CB，DE∥平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相 等。 20.

2 . 2

14 4

15.考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力， 通过补形， 借 助长方体验证结论，特殊化，令边长为 1，2，3 得 S3 ? S2 ? S1 。 三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 16.

1 1 AB·BC= × 2 ×2= 2 , 2 2 1 1 2 1 ∴VE-ABC= S△ABC·EG= × 2 × = . 3 3 2 3

又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由（1）知：BC⊥平面 PCD，所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC， 因为 PD=DC，PF=FC，所以 DF⊥PC，所以 DF⊥平面 PBC 于 F。 易知 DF=

2 ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2

（方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 从而 AB=2，BC=1，得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1 。 由 PD ⊥ 平 面 ABCD 及 PD=1 ， 得 三 棱 锥 P-ABC 的 体 积

1 1 V ? S?ABC ? PD ? 。 3 3
因为 PD⊥平面 ABCD，DC ? 平面 ABCD，所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1，所以 PC ? 17. 解：

PD2 ? DC2 ? 2 。
2 。 2

(1)侧视图同正视图，如图所示：

由 PC⊥BC，BC=1，得 ?PBC 的面积 S?PBC ? 由 VA? PBC ? VP? ABC ，

(2)该安全标识墩的体积为

V＝VPEFGH＋VABCDEFGH
1 ＝ ×402×60＋402×20 3 ＝64 000(cm3)．
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1 S 3

PBC

1 ? h ? V ? ，得 h ? 2 ， 3

故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 19.解 (Ⅰ)在△PBC 中， E， F 分别是 PB， PC 的中点， ∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,
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21.

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