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数列4 数列综合练习题


数列四 数列综合练习
一、选择题 1 1.在等比数列{an} (n∈N*)中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10 项和为( 8 1 1 1 1 A.2- 8 B.2- 9 C.2- 10 D.2- 11 2 2 2 2 2.若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为( A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1

+n2-2 ) ) D.2n+n-2 ) )

3.已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lg an,b3=18, b6=12,则数列{bn}的前 n 项和的最大值等于( A.126 A.200 B.130 B.-200 C.132 C.400 D.134 D.-400 )

4. 数列{an}的通项公式为 an=(-1)n-1·(4n-3), 则它的前 100 项之和 S100 等于( 5.数列 1·n,2(n-1),3(n-2),…,n·1 的和为( 1 1 A. n(n+1)(n+2) B. n(n+1)(2n+1) 6 6 1 1 C. n(n+2)(n+3) D. n(n+1)(n+2) 3 3

二、填空题 6.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2+a2+…+a2=________. 1 2 n 7.已知数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn 之间满足关系式 Sn =2-3an ,则 an = __________. 8.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列? 前 n 项和 Sn=________. 9.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 10、设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |?
项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? 设数列 {an } 是首
? ? ? ? ?的 bnbn+1? ? ? ?

1

三、解答题 1.已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N*满 足关系式 2Sn=3an-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的通项公式是 bn= 1 ,前 n 项和为 Tn,求证:对于任意的正数 n,总有 Tn<1. log3an·log3an+1

1

2.已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差 1 中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 2 Sn+n·2n+1>50 成立的最小正整数 n 的值.

3、已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是 一个等比数列的第二项、第三项、第四项.(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 (n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数 t,使得 n(an+3)

对任意的 n 均有 Sn>

t
36

总成立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由.

2

2 4、设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an?1 ? 4n ? 1,n ? N ? ,且

a2 , a5 , a14 构成等比数列.(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ;(2) 求数列 ?an ? 的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

5、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3 (1)求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

3

答案

1.B

2.C 7.

3.C 1?3?n-1 ? ? 2?4?

4.B 8.

5.A

1 6. (4n-1) 3 10. (1)解

n n+1
(n≥2).

9.10 100

?2Sn=3an-3, 由已知得? ?2Sn-1=3an-1-3

故 2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1,即 an=3an-1 (n≥2). 故数列{an}为等比数列,且公比 q=3. 又当 n=1 时,2a1=3a1-3,∴a1=3.∴an=3n. (2)证明 ∵bn= 1

n(n+1) n n+1

1 1 = - .

∴Tn=b1+b2+…+bn 1? ?1 1? 1 ? ? ?1 ? =?1- ?+? - ?+…+? - 2? ?2 3? ? ?n n+1? =1- 11 解 1 <1. n+1

(1)设此等比数列为 a1,a1q,a1q2,a1q3,…,其中 a1≠0,q≠0. ① ②

由题意知:a1q+a1q2+a1q3=28, a1q+a1q3=2(a1q2+2). ②×7-①得 6a1q3-15a1q2+6a1q=0, 1 即 2q2-5q+2=0,解得 q=2 或 q= . 2 ∵等比数列{an}单调递增,∴a1=2,q=2,∴an=2n. (2)由(1)得 bn=-n·2n, ∴Sn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×22+…+n·2n). 设 Tn=1×2+2×22+…+n·2n,③ 则 2Tn=1×22+2×23+…+n·2n+1.④ 由③-④,得-Tn=1×2+1×22+…+1·2n-n·2n+1 =2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2, ∴-Tn=-(n-1)·2n+1-2. ∴Sn=-(n-1)·2n+1-2. 要使 Sn+n·2n+1>50 成立,

4

即-(n-1)·2n+1-2+n·2n+1>50,即 2n>26. ∵24=16<26,25=32>26,且 y=2x 是单调递增函数, ∴满足条件的 n 的最小值为 5. 12 解 (1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,

整理得 2a1d=d2. ∵a1=1,解得 d=2,d=0(舍). ∴an=2n-1 (n∈N*). (2)bn= 1 ? 1 1 1?1 ?, = = ? - n(an+3) 2n(n+1) 2?n n+1?

∴Sn=b1+b2+…+bn 1? ?1 1? ?1 1 ?? 1?? ?? = ??1- ?+? - ?+? - 2? ?2 3? ?n n+1?? 2?? 1 ? 1? n ?= = ?1- . n+1? 2(n+1) 2? 假设存在整数 t 满足 Sn> 又 Sn+1-Sn=

t
36

总成立,

n+1 n 1 - = >0, 2(n+2) 2(n+1) 2(n+2)(n+1)

∴数列{Sn}是单调递增的. 1 t 1 ∴S1= 为 Sn 的最小值,故 < ,即 t<9. 4 36 4 又∵t∈Z,∴适合条件的 t 的最大值为 8.

5


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