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高考专题复习--数列求和的基本方法和技巧(学生版)


数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n ? a a q ( 1 ? ) a q 2、等比数列求和公式: S n ? ? 1 n ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1
n

n

n

4、 S n ?

?k
k ?1

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2 ?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3

[例 1] 已知 log 3 x ?

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n?1

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3 x ? 5 x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? ( 2n ? 1) x n ?1

1

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序 ) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 ( a1 ? an ) . [例 5] 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 6] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

[例 7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.

2

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n ? f ( n ? 1) ? f ( n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? ? ? cos n cos(n ? 1) 1 1 1 ( 2 n) 2 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? , 则S n ? 1 ? ? n ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

(6) a n ?

[例 8] 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

[例 9] 在数列{an}中, an ?

2 1 2 n ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. ? ? ??? ? n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

1 1 1 cos1? [例 10] 求证: ? ? ??? ? ? cos 0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos 88 ? cos 89 ? sin 2 1?

3

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. · ·+ cos178°+ cos179°的值. [例 11] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+·

[例 12]

数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an ? 2 ? an ?1 ? an ,求 S2002.

[例 13]

在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a 6 ? 9, 求 log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a10 的值.

七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

[例 14]

求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ??
n个1

[例 15]

已知数列{an}: a n ?

? 8 , 求? (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) n ?1

4

练习 1. 求和 S n ? x ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? ... ? nx n

Sn ?

n(n ? 1) ( x ? 1) 2

x nx n ?1 ? (n ? 1) x n ? 1 ( x ? 1) (1 ? x) 2

?

?

2. 已知数列{an}是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12. (1)求数列{an}的通项公式 (2)令 bn ? an ? 3n ,求数列{bn}前 n 项和的公式

an ? 2n

Sn ?

3(1 ? 3n ) ? n ? 3n ?1 2

3. (1)求和 S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ... ? n a a a a

(2)求数列 ?

?n? n? ?2 ?

n(n ? 1) Sn ? ,a ?1 2 Sn ? 2 ? n?2 2n

a(a n ? 1) ? n(a ? 1) ,a ?1 a n (a ? 1) 2

3. 设数列{an}满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 3 ? 2 2 n ?1 (1)求数列{an}的通项公式 (2)令 bn ? an ? n ,求数列{bn}前 n 项和的公式

an ? 2 2 n?1

Sn ?

1 (3n ? 1)2 2n ?1 ? 2 9

?

?

5. 等差数列{an}的各项均为正数,a1 ? 3. 前 n 项和为 S n , {bn}为等比数列,b1 ? 1, 且b2 S 2 ? 64, b3 S3 ? 960 (1)求 an与bn (2)求

1 1 1 ? ? ... ? S1 S 2 Sn

a n ? 2n ? 1, bn ? 8n?1

3 2n ? 3 ? 4 2(n ? 1)(n ? 2)

6. 求和:

1 1 1 ? 2 ? ... ? 2 2 ?1 3 ?1 n ?1
2

3 2n ? 1 ? 4 2n(n ? 1)

5


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