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函数奇偶性


函数奇偶性
一、主要知识:

1. 函数的奇偶性的定义: 设 y ? f ( x) ,x ? A , 如果对于任意 x ? A , 都有 f (? x) ? ? f ( x) ,
则 称 函 数 y ? f ( x) 为 奇 函 数 ; 如 果 对 于 任 意 x ? A , 都 有 f (? x) ? f ( x), 则 称 函 数

/>
y ? f ( x) 为偶函数;
2. 奇偶函数的性质:

?1? 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称; ? 2?
f ( x) 是偶函数 ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称;

f ( x) 是奇函数 ? f ( x) 的图象关于原点对称;

? 3? 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的
单调性.

3. f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? f (| x |) . 4. 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

二、主要方法: 1. 判断函数的奇偶性的方法: 定义法: 首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称, 则为非奇非偶函数; 若对称, 则再判断 f ( x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的恒等式; 图象法; 性质法:①设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域 D ? D1 上:

D2

奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,奇 ? 偶=非奇非偶; (同不变,异为非。 ) 奇×÷奇=偶,偶 ? ÷偶 ? 偶,奇 ? ÷偶 ? 奇; (奇为负,偶为正。 ) 复合函数奇偶性; (一偶则偶,同奇则奇。 ) ②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数;

2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 . f (? x)

例 1.下列函数,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(
A.y=x+x3(x∈R) B.y=3x(x∈R) C.y=-log2x(x>0,x∈R) 1 D.y=- (x∈R,x≠0) x [答案] A

)

[解析]首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称,排除 C,若 x=0 在定义域内,则应有 f(0)=0,排除 B;又函数在定义域内单调递增,排除 D,故选 A.

例 2.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是(
A.f(x)=sinx 1 C.f(x)= (ax+a-x) 2 [答案] D B.f(x)=-|x+1| 2-x D.f(x)=ln 2+x

)

2-x 1 - [解析]y=sinx 与 y=ln 为奇函数,而 y= (ax+a x)为偶函数,y=-|x+1|是非奇非偶函 2 2+x 数.y=sinx 在[-1,1]上为增函数.故选 D.

例 3.(2010· 安徽理,4)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2, 则 f(3)-f(4)=(
A.-1 C.-2 [答案] A [解析] f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1,故选 A.

)
B.1 D.2

例 4.(2010· 河北唐山)已知 f(x)与 g(x)分别是定义在 R 上奇函数与偶函数,若 f(x) +g(x)=log2(x2+x+2),则 f(1)等于(
1 A.- 2 C.1 [答案] B
? ?f?1?+g?1?=2 [解析] 由条件知,? , ?f?-1?+g?-1?=1 ?

)

1 B. 2 3 D. 2

∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.
?f?1?+g?1?=2 ? 1 ∴? ,∴f(1)= . 2 ? g ? 1 ? - f ? 1 ? = 1 ?

例 5.(文)(2010· 北京崇文区)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并满足 f(x+2)=- 1 ,当 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,则 f(6.5)=( f?x?
A.4.5 C.0.5 [答案] D B.-4.5 D.-0.5

)

1 1 [解析] ∵f(x+2)=- , ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=- =f(x), ∴f(x)周期为 4, ∴f(6.5) f?x? f?x+2? =f(6.5-8)=f(-1.5)=f(1.5)=1.5-2=-0.5.

例 6.(2010· 山东日照)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+2)=f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函数,则 f(x)在[2,3]上是(
A.增函数 C.先增后减的函数 [答案] A [解析] 由 f(x+2)=f(x)得出周期 T=2, ∵f(x)在[-1,0]上为减函数, B.减函数 D.先减后增的函数

)

又 f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,1]上为增函数,从而 f(x)在[2,3]上为增函数.

例 7.(2010· 辽宁锦州)已知函数 f(x)是定义在区间[-a,a](a>0)上的奇函数,且存 在最大值与最小值.若 g(x)=f(x)+2,则 g(x)的最大值与最小值之和为(
A.0 C.4 [答案] C [解析]∵f(x)是定义在[-a,a]上的奇函数,∴f(x)的最大值与最小值之和为 0,又 g(x)=f(x) +2 是将 f(x)的图象向上平移 2 个单位得到的, 故 g(x)的最大值与最小值比 f(x)的最大值与最 小值都大 2,故其和为 4. B.2 D.不能确定

)

例 8.定义两种运算:a?b=

a2-b2,a⊕b=|a-b|,则函数 f(x)=

( ?x⊕2?-2

2?x

)

A.是偶函数

B.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B 4-x2 [解析] f(x)= , |x-2|-2 ∵x2≤4,∴-2≤x≤2,

又∵x≠0,∴x∈[-2,0)∪(0,2].

则 f(x)=

4-x2 , -x

f(x)+f(-x)=0,故选 B.

例 9.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 1 a=f(log47),b=f(log 3),c=f(0.20.6),则 a、b、c 的大小关系是( 2
A.c<b<a C.b<a<c [答案] C [解析] 由题意知 f(x)=f(|x|). 1 ∵log47=log2 7>1,|log 3|=log23>log2 7,0<0.20.6<1, 2 1 ∴|log 3|>|log47|>|0.20.6|. 2 又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且 f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. ∴b<a<c.故选 C. B.b<c<a D.a<b<c

)

1+f?x? 例 10.已知函数 f(x)满足:f(1)=2,f(x+1)= ,则 f(2011)等于( 1-f?x?
A.2 1 C.- 2 [答案] C B.-3 1 D. 3

)

1 1 [解析]由条件知,f(2)=-3,f(3)=- ,f(4)= ,f(5)=f(1)=2,故 f(x+4)=f(x) (x∈N*). 2 3 ∴f(x)的周期为 4, 1 故 f(2011)=f(3)=- . 2 [点评] 严格推证如下: 1+f?x+1? 1 f(x+2)= =- , 1-f?x+1? f?x? ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f(x).即 f(x)周期为 4. 故 f(4k+x)=f(x),(x∈N*,k∈N*),

? 2 ? 例 11.设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ? ?
A.(-1,0) C.(-∞,0) [答案] A [解析]∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴a=-1. x+1 ∴f(x)=lg ,由 f(x)<0 得 1-x x+1 0< <1,∴-1<x<0,故选 A. 1-x B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

)

2-x 例 12.(文)(09· 全国Ⅱ)函数 y=log2 的图象( 2+x
A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 [答案] A [解析] log2 首先由

)

2-x 2-x 2- x >0 得,-2<x<2,其次令 f(x)=log2 ,则 f(x)+f(-x)=log2 + 2+x 2+x 2+ x

2+x =log21=0.故 f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故选 A. 2-x

例 13.(理)函数 y=

x ,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的( sinx

)

[答案] C

x [解析] ∵y= 是偶函数,排除 A, sinx 当 x=2 时,y= 2 >2,排除 D, sin2

π 6 π π 当 x= 时,y= = >1,排除 B,故选 C. 6 π 3 sin 6

?x<0? ?sinπx ? 例 14.( 文 ) 已知 f(x) = ? ,则 ? ?f?x-1?-1 ?x>0? ________.
[答案] -2 [解析] =

f

? 11? ?- 6 ? + ? ?

f

?11? ? 6 ? 的值为 ? ?

f

?11?= ?6?

f

?5?-1= ?6?

f

?-1?-2 ? 6?

π? 5 sin??-6 ?-2=-2, ?=sin?-11π?=sinπ=1,∴原式=-2. f ??-11 6? ? 6 ? 6 2

1 例 15.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则 2 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________.
[答案] 0 1 [解析] ∵f(x)的图象关于直线 x= 对称, 2 ∴

f

?1+x?= ?2 ?

f

?1-x?,对任意 x∈R 都成立, ?2 ?

∴f(x)=f(1-x),又 f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-f(1+x) =f(-1-x)=f(2+x), ∴周期 T=2 ∴f(0)=f(2)=f(4)=0 1 又 f(1)与 f(0)关于 x= 对称 2 ∴f(1)=0 ∴f(3)=f(5)=0 填 0.

例 16.(2010· 深圳中学)已知函数 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义 域都是[-π,π],且它们在 x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式 是________. f?x? <0 的解集 g?x?

π ? ?π ? [答案] ? ?-3,0?∪?3,π? [解析] 依据偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称,先补全 f(x)、g(x)
?f?x?<0 ?f?x?>0 ? ? f?x? 的图象,∵ <0,∴? ,或? ,观察两函数的图象,其中一个在 x 轴上方, g?x? ?g?x?>0 ?g?x?<0 ? ?

π π 一个在 x 轴下方的,即满足要求,∴- <x<0 或 <x<π. 3 3

例 17.(文)若 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 其图象关于直线 x=2 对称, 且当 x∈(- 2,2)时,f(x)=-x2+1.则 f(-5)=________.
[答案] 0 [解析] 由题意知 f(-5)=f(5)=f(2+3)=f(2-3)=f(-1)=-(-1)2+1=0.

例 18.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当-1≤x≤1 时,f(x)=a,当 x≥1 时,f(x)=(x+b)2,则 f(-3)+f(5)=________.
[答案] 12 [解析]∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0, ∵-1≤x≤1 时,f(x)=a,∴a=0.

∴f(1)=(1+b)2=0,∴b=-1. ∴当 x≤-1 时,-x≥1,f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2, ∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-(x+1)2, -?x+1? x≤-1 ? ? ∴f(x)=?0 -1≤x≤1 ? ??x-1?2 x≥1 ∴f(-3)+f(5)=-(-3+1)2+(5-1)2=12. [点评] 求得 b=-1 后, 可直接由奇函数的性质得 f(-3)+f(5)=-f(3)+f(5)=-(3-1)2+(5 -1)2=12.
2

? 2x ? 例 19.( 文 )(2010· 山东枣庄模拟 ) 若 f(x) = lg ?1+x+a? (a ∈ R) 是奇函数,则 a = ? ? ________.
[答案] -1 2x [解析]∵f(x)=lg?1+x+a?是奇函数,

?

?

∴f(-x)+f(x)=0 恒成立, 2x ?-2x+a? 即 lg?1+x+a?+lg? ? ? ? ?1-x ? 2x 2x =lg?1+x+a??x-1+a?=0.

?

??

?

2x 2x ∴?1+x+a??x-1+a?=1,

?

??

?

∴(a2+4a+3)x2-(a2-1)=0, ∵上式对定义内的任意 x 都成立,
2 ? ?a +4a+3=0 ∴? 2 ,∴a=-1. ?a -1=0 ?

[点评] ①可以先将真数通分,再利用 f(-x)=-f(x)恒成立求解,运算过程稍简单些. ②如果利用奇函数定义域的特点考虑,则问题变得比较简单.f(x)=lg ?a+2?x+a 为奇函数, 1+x

a 显然 x=-1 不在 f(x)的定义域内,故 x=1 也不在 f(x)的定义域内,令 x=- =1,得 a a+2 =-1.故平时解题中要多思少算,培养观察、分析、捕捉信息的能力.

a ? ? 例 19.(2010· 吉林长春质检)已知函数 f(x)=lg?-1+2+x?为奇函数,则使不等式 ? ? f(x)<-1 成立的 x 的取值范围是________.
[答案] 18 <x<2 11

a a [解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0 恒成立,∴lg?-1+2-x?+lg?-1+2+x?

?

?

?

?

a a =lg?-1+2-x??-1+2+x?=0,

?

??

?

a a ∴?-1+2-x??-1+2+x?=1,

?

??

?

4-a ∵a≠0,∴ 2 =0,∴a=4, x -4 4 2-x ∴f(x)=lg?-1+2+x?=lg , ? ? x+2 2-x 由 f(x)<-1 得,lg <-1, 2+x 2-x 1 2-x ∴0< < ,由 >0 得,-2<x<2, 2+x 10 2+x 由 2-x 1 18 18 < 得,x<-2 或 x> ,∴ <x<2. 11 11 2+x 10

例 20.(2010· 杭州外国语学校)已知 f(x)=x2+bx+c 为偶函数,曲线 y=f(x)过点 (2,5),g(x)=(x+a)f(x).
(1)若曲线 y=g(x)有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x=-1 时函数 y=g(x)取得极值, 且方程 g(x)+b=0 有三个不同的实数解, 求实 数 b 的取值范围. [解析] (1)由 f(x)为偶函数知 b=0, 又 f(2)=5,得 c=1,∴f(x)=x2+1. ∴g(x)=(x+a)(x2+1)=x3+ax2+x+a, 因为曲线 y=g(x)有斜率为 0 的切线,

所以 g′(x)=3x2+2ax+1=0 有实数解. ∴Δ=4a2-12≥0,解得 a≥ 3或 a≤- 3. (2)由题意得 g′(-1)=0,得 a=2. ∴g(x)=x3+2x2+x+2, g′(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1). 1 令 g′(x)=0,得 x1=-1,x2=- . 3 1 1 ∵当 x∈(-∞,-1)时,g′(x)>0,当 x∈(-1,- )时,g′(x)<0,当 x∈(- ,+∞) 3 3 时,g′(x)>0, 1 ∴g(x)在 x=-1 处取得极大值,在 x=- 处取得极小值. 3 1 50 50 又∵g(-1)=2, g(- )= , 且方程 g(x)+b=0 即 g(x)=-b 有三个不同的实数解, ∴ 3 27 27 <-b<2, 50 解得-2<b<- . 27

例 21.(2010· 揭阳模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x +2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011). [分析] 由 f(x+2)=-f(x)可得 f(x+4)与 f(x)关系,由 f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可 求 f(x)在[-2,0]上的解析式,进而可得 f(x)在[2,4]上的解析式. [解析] (1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],

∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4) =x2-6x+8. 从而求得 x∈[2,4]时, f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011) =0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011)=0.

例 22.(文)已知函数 f(x)=1- 数.
(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的值域;

4 (a>0 且 a≠1)是定义在(-∞, +∞)上的奇函 2a +a
x

(3)当 x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2 恒成立,求实数 t 的取值范围. [解析](1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0. 即 1- 4 =0, 2×a0+a

解得 a=2. 2x-1 1+y (2)∵y= x ,∴2x= , 2 +1 1-y 1+y 由 2x>0 知 >0, 1-y ∴-1<y<1,即 f(x)的值域为(-1,1). t· 2x-t x (3)不等式 tf(x)≥2x-2 即为 x ≥2 -2. 2 +1 即:(2x)2-(t+1)· 2x+t-2≤0.设 2x=u, ∵x∈(0,1],∴u∈(1,2]. ∵u∈(1,2]时 u2-(t+1)· u+t-2≤0 恒成立.
2 ? ?1 -?t+1?×1+t-2≤0 ? ∴ 2 ,解得 t≥0. ?2 -?t+1?×2+t-2≤0 ?

? ?f?x? 例 23.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a、b、c 为实数,且 a≠0),F(x)=? ?-f?x? ?

x>0 x<0 .

(1)若 f(-1)=0,曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-1,1]时,g(x)=kx-f(x)是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)为偶函数,证明 F(m)+F(n)>0. [解析] (1)因为 f(x)=ax2+bx+c,所以 f ′(x)=2ax+b. 又曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ′(-1)=0, 即-2a+b=0,因此 b=2a.① 因为 f(-1)=0,所以 b=a+c.② 又因为曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3), 所以 c=2a+3.③ 解由①,②,③组成的方程组得,a=-3,b=-6,c=-3. 从而 f(x)=-3x2-6x-3.
?-3?x+1?2 x>0 ? 所以 F(x)=? . 2 ? x<0 ?3?x+1?

(2)由(1)知 f(x)=-3x2-6x-3, 所以 g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3. 由 g(x)在[-1,1]上是单调函数知: - k+6 k+6 ≤-1 或- ≥1,得 k≤-12 或 k≥0. 6 6

(3)因为 f(x)是偶函数,可知 b=0. 因此 f(x)=ax2+c. 又因为 mn<0,m+n>0, 可知 m,n 异号. 若 m>0,则 n<0. 则 F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+c-an2-c =a(m+n)(m-n)>0. 若 m<0,则 n>0. 同理可得 F(m)+F(n)>0. 综上可知 F(m)+F(n)>0.

1 例 24.已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( 2 )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且
x? y 对任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f( 1 ? xy ),试证明:
(1) f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

x? y x?x 2 证明: (1)由 f(x)+f(y)=f( 1 ? xy ),令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f( 1 ? x )=f(0)=0.
∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减.

令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f(

x 2 ? x1 1 ? x1 x 2

)

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴ 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1,

x 2 ? x1 1 ? x 2 x1

>0,

∴0<

x 2 ? x1 1 ? x 2 x1

<1,由题意知 f(

x 2 ? x1 1 ? x1 x 2

)<0

即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数.


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