tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013理科二模-上海市虹口区高三数学


2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科)

2013 年上海市虹口区高三年级二模试卷——数学(理科)
2013 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、函数 f ( x ) ? ( 2k ? 1) x ? 1 在 R 上单调递减,则 k 的

取值范围是 2、已知复数 z ? .

(1 ? i ) 3 1? i
sin ? cos ? ?

,则 z ?



3、已知

cos ? sin ?

1 3

,则 cos 2(? ? ? ) ?



4、设 (1 ? 2 x) n 展开式中二项式系数之和为 a n ,各项系数之和为 b n ,则 lim

a n ? bn a n ? bn

n??

?



5、已知双曲线与椭圆 为

x2 16

?


y2 6

? 1 有相同的焦点,且渐近线方程为 y ? ?

1 2

x ,则此双曲线方程

6、如果 log a 4b ? ?1 ,则 a ? b 的最小值为 7、数列 ?a n ? 的通项 a n ? n ? sin 8、设 F1 、 F2 是椭圆 积等于 9、从集合 ? , 1

. .

n? 2

,前 n 项和为 S n ,则 S 13 ?

x2 4

? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且满足 ? F1 PF2 ?

?
2

,则 ?F1 PF2 的面



2, 3? 的所有非空子集中,等可能地取出一个,记取出的非空子集中元素个数为 ? ,则
. . .

? 的数学期望 E? ?

2 10、对于 x ? R ,不等式 2 ? x ? 1 ? x ? a ? 2 a 恒成立,则实数 a 的取值范围是

11、在 ?ABC 中, AB ? 1 , AC ? 2 , ( AB ? AC ) ? AB ? 2 ,则 ?ABC 面积等于

12、将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起,以 A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体积最大值等 于 .

13、设 a n ? log n ?1 ( n ? 2) ( n ? N ? ) ,称 a1 a 2 a 3 ? a k 为整数的 k 为“希望数” ,则在 (1,
望数”的个数为

2013 ) 内所有“希



虹口区 2013 高三数学二模(理科)

第1页

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科)

14、 已知函数 f ( x ) ?

x 2 ? ( a ? 1) x ? 2 a ? 2 的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合, 如果对于定义域 2 x 2 ? ax ? 2 a


内的任意实数 x ,函数值均为正,则实数 a 的取值范围是

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、直线 ?

? x ? 1 ? 2t ?y ? 1? t

的倾斜角等于(



A.

? 6

B.

? 3

C . arctan

1 2

D. arctan 2
1 2
相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为

16、已知函数 y ? 2 sin( x ?

?
2

) cos(x ?

?
2

) 与直线 y ?

M 1 , M 2 , M 3 ,??,则 M 1 M 13 等于( )

A. 6?
17、若 ?

B. 7?

C . 12?

D. 13?

?
2

?? ?

?
2

, 0 ? ? ? ? , m ? R ,如果有 ? 3 ? sin ? ? m ? 0 , ( ) .

?
2

? ? ) 3 ? cos ? ? m ? 0 ,

则 cos(? ? ? ) 值为(

A. ? 1

B. 0

C.

1 2

D. 1


18、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱上到异面直线 AB , CC 1 的距离相等的点的个数为( ..

A. 2.

B. 3.

C . 4.

D. 5.

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分)如图, PA ? 平面 ABCD ,矩形 ABCD 的边 长 AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 BC 的中点. (1)证明: PE ? DE ; (2)如果 PA ? 2 ,求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小.
B

P

A

D

E

C

虹口区 2013 高三数学二模(理科)

第2页

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科)

20、 (本题满分 14 分) ?ABC 中, A ,B , 所对的边长分别为 a , , , 在 角 C b c 向量 m ? ( 2 sin B ,

2 cos B ) ,

n ? ( 3 cos B ,
(1)求角 B ;

? cos B ) ,且 m ? n ? 1 .

(2)若 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

21、 (本题满分 14 分)已知复数 z n ? a n ? bn ? i ,其中 a n ? R , b n ? R , n ? N , i 是虚数单位,且

?

z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i .
(1)求数列 ?a n ? , ?b n ? 的通项公式; (2)求和:① a1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ?1 ;② b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ? ? ( ?1)
n ?1

bn bn ?1 .

22、 (本题满分 16 分)已知抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 交此抛物线于不同的两个点 A( x1 ,
2

y1 ) 、

B( x2 ,

y2 ) . 0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(1)当直线 l 过点 M ( p ,

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)如果直线 l 过点 M ( p ,

0) ,过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l ? 交抛物线 C 于两个不同点 D 、

E .设线段 AB 的中点为 P ,线段 DE 的中点为 Q ,记线段 PQ 的中点为 N .问是否存在一条直线和一个
定点,使得点 N 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.

虹口区 2013 高三数学二模(理科)

第3页

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科)

23、 (本题满分 18 分)定义域为 D 的函数 f ( x ) ,如果对于区间 I 内 ( I ? D ) 的任意两个数 x 1 、 x 2 都有

f(

x1 ? x 2 2

)?

1 2

. [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立,则称此函数在区间 I 上是“凸函数”

(1)判断函数 f ( x ) ? lg x 在 R ? 上是否是“凸函数” ,并证明你的结论; (2)如果函数 f ( x ) ? x 2 ? (3)对于区间 [c ,

a x

在 [1,

,求实数 a 的取值范围; 2] 上是“凸函数”

d ] 上的“凸函数” f ( x ) ,在 [c,
k ?

d ] 上任取 x 1 , x 2 , x 3 ,??, x n .

① 证明: 当 n ? 2 ( k ? N )时, f (

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 成立; n

② 请再选一个与①不同的且大于 1 的整数 n , 证明: f (

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 也成立. n

虹口区 2013 高三数学二模(理科)

第4页

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科) 13917347609

高中数学辅导:

虹口区 2013 年数学学科高考练习题答案(理)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、( ? ? ,

1 2

);
7、7;

2、 2;

3、?

7 9



4、? 1 ;

5、

x2 8

?

y2 2

?1;

6、1;

8、1;

9、

12 7



10、 [? 1,

3] ;

11、

3 2



12、

2 2 3



13、9;

14、 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2 ;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 C ; 16、A; 17、 B ; 18、 C ;
P

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1)连 AE ,由 AB ? BE ? 1 ,得 AE ? 同理 DE ?

2,
A D

2 ,? AE 2 ? DE 2 ? 4 ? AD 2 ,由勾股定理逆定
B

理得 ?AED ? 90 ? ,? DE ? AE .????????3 分 由 PA ? 平 面 A B C D 得 PA ? DE . 由 DE ? AE , ,
E C

PA ? DE PA ? AE ? A ,得 DE ? 平面 PAE .? PE ? DE .????6 分
(2) PA 的中点 M ,AD 的中点 N , MC 、 取 连 NC 、 MN 、AC . NC // AE , MN // PD , ?

? ?MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小.??????8 分
由 PA ? 2 ,AB ? 1 , 得 BC ? 2 , NC ? MN ?

MC ? 2,

6 , cos ?MNC ? ?

1 ?? , 2 2? 2 ? 2

2?2?6

?MNC ?

2? 3

.?异面直线 PD 与 AE 所成的角的大小为

? .????12 分 3

注:用向量解相应给分. 20、 14 分) (1) m ? n ? 1 , 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos B ? 1 , 3 sin 2 B ? cos 2 B ? 2 , ( 解: ? ?
2

sin( 2 B ?

?
6

) ? 1 ,????????5 分

又 0 ? B ? ? ,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

11? 6

,? 2 B ?

?
6

?

?
2

,? B ?

?
3

??????7 分

(2)? b ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ,? 4 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos

? ,即 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ?9 分 3

? 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ,即 ac ? 4 ,当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.?12 分
虹口区 2013 高三数学二模(理科) 第5页

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科) 13917347609

高中数学辅导:

S? ?

1 2

ac ? sin B ?

3 4

ac ?

3 ,当 a ? b ? c ? 2 时, ( S ?ABC ) max ?

3 .????14 分

21、 (14 分)解: (1)? z1 ? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 . 由 z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i 得 a n ?1 ? bn ?1 ? i ? 2( a n ? bn ? i ) ? ( a n ? bn ? i ) ? 2i ? 3a n ? (bn ? 2) ? i ,

? a n ?1 ? 3a n ??????3 分 ?? ?bn ?1 ? b n ? 2
数列 ?b n ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差数列, ?数列 ?a n ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,

? a n ? 3 n ?1 , bn ? 2 n ? 1 .????????6 分
(2)①由(1)知 a n ? 3
n ?1

,?

a k a k ?1 a k ?1 a k

? 3 2 ,?数列 ?a n a n ?1 ? 是以 3 为首项,公比为 3 2 的等

比数列.? a1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ?1 ? ②当 n ? 2 k , k ? N 时,
?

3(1 ? 3 2 n ) 1? 9

?

3 2 n ?1 8

?

3 8

.??????9 分

b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ? ? ( ?1) n ?1 bn bn ?1 ? (b1b2 ? b2 b3 ) ? (b3 b4 ? b4 b5 ) ? ? ? (b2 k ?1b2 k ? b2 k b2 k ?1 )

? ? 4b 2 ? 4 b 4 ? ? ? 4b 2 k ? ? 4 ( b 2 ? b 4 ? ? ? b 2 k ) ? ? 4 ?

k (b 2 ? b 2 k ) 2
n ?1

? ?8k 2 ? 4 k ? ?2 n 2 ? 2 n

? 当 n ? 2k ? 1, k ? N 时, b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? b4 b5 ? ? ? ( ?1)

bn bn ?1

? (b1b2 ? b2 b3 ) ? (b3 b 4 ? b 4 b5 ) ? ? ? (b 2 k ?1b 2 k ? b2 k b 2 k ?1 ) ? b2 k ?1b2 k ? 2 ? ?8k 2 ? 4 k ? ( 4 k ? 1)( 4 k ? 3) ? 2 n 2 ? 2 n ? 1
又 n ? 1 也满足上式

? b1 b 2 ? b 2 b3 ? b3 b 4 ? b 4 b5 ? ? ? ( ? 1) n ?1 b n b n ?1 ? ? ?

? 2 n 2 ? 2 n ? 1 当 n 为奇数时 ?? 2 n 2 ? 2 n ? 当 n 为偶数时

???14 分

22、 分) (1) 过点 M ( p , (16 解: l

? x ? my ? p 0) 与抛物线有两个交点, l : x ? my ? p , ? 2 设 由 ? y ? 2 px
2

得 y ? 2 pmy ? 2 p ? 0 ,? y1 ? y 2 ? ?2 p .????????4 分
2 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意) .
虹口区 2013 高三数学二模(理科) 第6页

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科) 13917347609

高中数学辅导:

由?

? y ? kx ? b ? y ? 2 px
2

得 ky ? 2 py ? 2 pb ? 0 .? y1 y 2 ?
2

2 pb k

? ? p ,从而 b ? ?

k 2

.???6 分

1 ? 1 ?x ? 从而 y ? kx ? ,得 ( x ? ) k ? y ? 0 ,即 ? 2 ,即过定点 ( , 0) .??????8 分 2 2 2 ?y ? 0 ?

k

1

2 2 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 设 l : x ? x 0 , 代 入 y ? 2 px 得 y ? 2 px 0 , y ? ? 2 px 0 ,

? y1 y 2 ?

2 px 0 ? ( ? 2 px 0 ) ? ?2 px 0 ? ? p ,从而 x 0 ?

1 2

,即 l : x ?

1 2

,也过 ( ,

1

2

0) .

综上所述,当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 过定点 ( ,

1

2

0) .????10 分 1 2 ( y1 ? y 2 ) ? pm ,

(3)依题意直线 l 的斜率存在且不为零,由(1)得点 P 的纵坐标为 y P ? 代入 l : x ? my ? p 得 x P ? pm ? p ,即 P ( pm ? p ,
2
2

pm) .

由于 l ? 与 l 互相垂直,将点 P 中的 m 用 ?

1 m

代,得 Q (

p m
2

? p,

?

p m

) .????12 分

设 N ( x,

? ?x ? ? y ) ,则 ? ?y ? ? ?

1

2 m 1 p ( pm ? ) 2 m

(

p
2

? p ? pm 2 ? p )
消m 得 y ?
2

p 2

( x ? 2 p ) ??????14 分

由抛物线的定义知存在直线 x ?

15 p 8

,点 (

17 p 8

, 0) ,点 N 到它们的距离相等.???16 分

23、 (18 分)解: (1)设 x 1 , x 2 是 R ? 上的任意两个数,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f (

x1 ? x 2 2

) ? lg x1 ? lg x 2 ? 2 lg

x1 ? x 2 2

? lg

4 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 2

? lg 1 ? 0

? f(

x1 ? x 2 2

)?

1 2

.??4 分 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] .?函数 f ( x ) ? lg x 在 R ? 上是 “凸函数”

(2)对于 [1,

2] 上的任意两个数 x 1 , x 2 ,均有 f (

x1 ? x 2 2

)?

1 2

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立,即

(

x1 ? x 2 2

)2 ?

a 1 a a 1 2 ? [( x12 ? ) ? ( x 2 ? )] , 整理得 ( x1 ? x 2 ) 2 a ? ? ( x1 ? x 2 ) 2 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 2 x1 x2 2 2

??????7 分

虹口区 2013 高三数学二模(理科)

第7页

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科) 13917347609

高中数学辅导:

若 x1 ? x 2 , a 可以取任意值. 若 x1 ? x 2 ,得 a ? ?

1 2

x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ,? ? 8 ? ?

1 2

x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ? ?1 ,? a ? ?8 .

综上所述得 a ? ?8 .??????10 分 (3)①当 k ? 1 时由已知得 f (

x1 ? x 2 2

)?

1 2

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立.
x1 ? x 2 ? ? ? x 2 k 2
m ?1

假设当 k ? m ( m ? N ) 时, 不等式成立即 f ( 成立. 那么,由 c ?

?

)?

1 2m

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m )]

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m 2
m

? d ,c ?

x 2 m ?1 ? x 2 m ? 2 ? ? ? x 2 m ? 2 m 2m

?d

得 f(

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m ?1 2
m ?1

1 x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m x 2 m ?1 ? x 2 m ? 2 ? ? ? x 2 m ? 2 m ) ? f{ [ ? ]} 2 2m 2m )? f( x 2 m ?1 ? x 2 m ? 2 ? ? ? x 2 m ? 2 m 2m )]

?

1 2

[f(

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m 2m

? ?

1

2 2 1 2 m ?1

{

1
m

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m )] ?

1 2m

[ f ( x 2 m ?1 ) ? f ( x 2 m ? 2 ) ? ? ? f ( x 2 m ?1 )]}

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m ?1 )] .

即 k ? m ? 1 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.????????15 分 ②比如证明 n ? 3 不等式成立.由①知 c ? x1 ? d , c ? x 2 ? d , c ? x 3 ? d , c ? x 4 ? d ,

有 f(

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 4

)?

1 4

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )] 成立.
1 3 ( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? d ,

? c ? x1 ? d , c ? x 2 ? d , c ? x 3 ? d , c ?
x1 ? x 2 ? x 3 3 x1 ? x 2 ? x 3 )? f( 3 ? x1 ? x 2 ? x 3 4

? f(

x ? x ? x3 1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 4 )] , )? [f( 1 2 4 3

从而得 f (

x1 ? x 2 ? x 3 3

1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )] .??????18 分 3

虹口区 2013 高三数学二模(理科)

第8页


推荐相关:

2013年4月上海市虹口区高三数学二模试卷理科含答案

2013年4月上海市虹口区高三数学二模试卷理科含答案_数学_高中教育_教育专区。2013年4月上海市虹口区高三数学二模试卷理科含答案 虹口区 2013 年数学学科高考练习题(...


2015年上海市虹口区高考数学二模试卷(理科)配套款后附答案解析

2015年上海市虹口区高考数学二模试卷(理科)配套款后附答案解析_数学_高中教育_...上海市虹口区2013高三... 8页 免费 上海市虹口区2015届高考... 暂无评价...


上海市虹口区2016年高三数学二模(理)

上海市虹口区2016年高三数学二模(理)_数学_高中教育_教育专区。虹口区 2016 年数学学科(理科)高考练习题 2016.04 考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,...


上海市虹口区2016年高三数学二模(理)

上海市虹口区2016年高三数学二模(理)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。虹口区...上海市黄浦区2016年高三... 暂无评价 7页 1下载券 上海市虹口区2013届高三...


理科2012年上海市虹口区高三年级二模数学(含答案)

若存 在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 虹口区 2012 二模数学理科试卷 第3页 2012 年上海区高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科) 22、 (本题...


2016年上海虹口高三二模(理)

2016年上海虹口高三二模(理)_数学_高中教育_教育专区。上海市虹口区 2016 届高三二模数学试卷(理) 2016.04 一. 填空题 1. 设集合 M ? {x | x 2 ? x}...


2015年上海市虹口区高考二模数学(理科)试卷

2015年上海市虹口区高考二模数学(理科)试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。虹口区 2015 年数学学科(理科)高考练习卷时间 120 分钟,满分 150 分 2015.4.21 ...


上海市虹口区2015年高三(二模)数学(理科)及答案

上海市虹口区2015年高三(二模)数学(理科)及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区...? ? 虹口区 2015 年数学学科(理科)高考练习卷答案 (仅供参考)一.填空题 1...


2015虹口二模Word版 上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案

2015虹口二模Word版 上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。虹口区 2015 年数学学科(理科)高考练习卷 时间 120 分钟,满分 ...


上海市虹口区2015届高三二模数学(文)试题 Word版含答案

上海市虹口区2015届高三二模数学(文)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区...小丁同学理科成绩 较好,决定至少选择两门理科学科,那么小丁同学的选科方案有__...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com