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2012年余杭区“假日杯”高二数学竞赛试卷(问卷)


2012 年余杭区“假日杯”高二数学竞赛试卷
(11 月 17 日 9:00—11:00,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. 已知条件 p : a 、 b 、 c 、 d 成等比数列;条件 q : ad ? bc .则条件 p 是条件 q 的( A.充分不必要条件 C.充分且必要条件 2. 给出下列四个命题: ①

如果 ? ? ? ,那么 sin ? ? sin ? ②如果 sin ? ? sin ? ,那么 ? ? ? ③如果 sin ? ? 0 ,那么 ? 是第一或第二象限角 ④如果 ? 是第一或第二象限角,那么 sin ? ? 0 这四个命题中,错误的命题有 A. 4 个 3. 不等式 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 ( C. (??, ??) D. (??, ?3) ) ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x x 的解集是 ? x?3 x?3
B. (?3, 0]

A. (?3, 0)

4. 对任何非零实数 x ,已知函数 f ( x ) 都满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则方程 f ( x) ? f (? x) 的实根个数是 ( B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )

1 x

? ? ? ? ? ? 5. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?2,3) ,若 ka ? b 与 a ? kb 垂直,则实数 k 的值等于
A. ?1 ? 2 B.

A. 1 个





2 ?1

C.

2? 3

D. 3 ? 2 ( ) D. ?1 ( )

6. 数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 6 且 an?2 ? an?1 ? an (n ? N , n ≥ 1) ,则 a2012 = A. 1 B. 6 C. 5 7. 已知函数 f(x)=|l g x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 A.(2 2,+∞) B.[2 2,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞)

8. 从 1 ? 30 这 30 个自然数中任取两个数相加,得到的和作为集合 P 的元素,则集合 P 的真子集 的个数共有 A. ( B. 2 ? 1 个
30



227 ? 1 个

C. 2 ? 1 个
55

D. 2 ? 1 个
57

9.函数 y ? A.

3 ? ? sin( x ? ) ? cos( ? x) 的最大值是 2 2 6
B.

( D. 13 ( D. 1 ? x ? 3 )

)

13 4

13 4
2

C.

13 2

10.已知 a ?[?1,1] ,则不等式 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为 A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 3 或 x ? 1 C. x ? 2 或 x ? 1

二、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 11. 在 ?ABC 中,若 ?C ? 60 ,则
?

a b ? = b?c c?a

12. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 和分别是 Sn 和 Tn ,且 则

S n 2n ? 1 ( n ? 1, 2,3? ) , ? Tn 4n ? 2

a10 a11 ? ? b3 ? b18 b6 ? b15
1 1 1 1 )= ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2012) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 2 1? x 2 3 2012

13. 过抛物线 y ? 2 x2 ? 2 x ? 1与 y ? ?5x2 ? 2 x ? 3 交点的直线方程是 14. 已知 f ( x) ?

) 15. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x2 和 g ( x) ? 2 x ? m . 若 F (x) ?f (g (x)


g ? ( f( x ) )

的最小值

1 ,则 m 的值是 4

16. 已知圆 M : 直线 l :x ? y ? 9 ? 0 , 过直线 l 上一点 A 作 ?ABC 2 x 2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 , 使 ?BAC= 是 三、解答题(本大题共 4 小题,每小题满分 16 分,满分 64 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. )
? ?

?
4

,边 AB 过圆心 M ,且 B 、 C 在圆 M 上.则点 A 的横坐标的取值范围

?BOC ? 90 , 17. 已知点 O 是 ?ABC 内一点,?AOB ? 150 , 设O 且 A ? a ,OB ? b ,OC ? c .

? ? ? ?

??? ?

? ??? ?

?

? ? ? ? ? ? | a| ? 2 , | b |? 1 , | c |? 3 .试用 a 和 b 表示 c .

18. 数列 {an } 的各项均为正数, 其前 n 项和 Sn 满足 S n ?

1 1 求数列 {an } 的通项公式 an . (an ? ) , 2 an

19.已知函数 f ( x) ? 2(sin 4 x ? cos4 x) ? m(sin x ? cos x)4 ,在 x ? [0, ] 有最大值 5.求实数 m 的

?

2

值.

20.已知二次函数 y ? f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象过点(1,13)且 y ? f ( x ? ) 是偶函数. (1)求 f ( x ) 的解析式. (2)函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数.纵坐标是一个完全平 方数?如果存在,求出这样点的坐标;如果不存在,请说明理由.

1 2


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