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高中数学 均值不等式


第2课时

均值不等式

2014高考导航
考纲展示 备考指南 本节主要考查利用均值不等式求函 数的最值.若单纯考查均值不等式, 1.了解均值不等式的证明

过程.
2.会用均值不等式解决简 单的最大(小)值问题.

一般难度不大,通常出现在选择题 和填空题中;对均值不等式的考查

, 若以解答题的形式出现时,往往是

作为工具使用,用来证明不等式或
解决实际问题.
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本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.均值定理 a+b 如果 a,b∈(0,+∞),那么 ≥ ab,当且仅当 2

a=b ____________时,等号成立.
上述不等式称为均值不等式,也称为基本不等式.

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2.算术平均值与几何平均值

a+b 2 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均值为____________,

ab 几何平均值为__________,基本不等式可叙述为:两个

大于或等于 正实数的算术平均值______________它的几何平均值. 3.利用均值定理求最大、最小值

最小值 常数 (1)两个正数的积为________时,它们的和有_______;
常数 最大值 (2)两个正数的和为_______时,它们的积有________ (简记为:和定积最大,积定和最小).

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4.常用的几个重要不等式

2ab (1)a2+b2≥_________ (a,b∈R);
a+b 2 ≤ (2)ab________ ( ) (a,b∈R); 2 a2+b2 ≥ a+b 2 (3) ______ ( ) (a,b∈R); 2 2 b a 2 (4) + ≥_______ (a,b 同号且不为零). a b

思考探究 上述四个不等式等号成立的条件是什么? 提示:满足a=b.
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课前热身
a+b 1.“a>0 且 b>0”是“ ≥ 2 A.充分不必要条件 C.充要条件 ab”的( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A

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1 2.(教材习题改编)函数 y=x+ (x>0)的值域为( x A.(-∞,-2)∪[2,+∞) B.(0,+∞) C.[2,+∞) D.(2,+∞)

)

1 解析:选 C.∵x>0,∴y=x+ ≥2,当且仅当 x=1 x 时取等号.

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a+b 1 2 3.下列不等式:①a +1>2a;② ≤2;③x + 2 x +1 ab
2

≥1.其中正确的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3

)

1 解析:选 B.①②不正确,③正确,x + 2 =(x2+1) x +1
2

1 + 2 -1≥2-1=1. x +1

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t2-4t+1 4.已知 t>0, 则函数 y= 的最小值为 ________. t t2-4t+1 1 解析:∵t>0,∴y= =t+ -4≥2-4=-2, t t

当且仅当 t=1 时取等号.

答案:-2
5.长为24 cm的铁丝做成长方形模型,则模型的最大

面积为________.
答案:36 cm2

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考点探究讲练互动
考点 1 考点突破 利用均值不等式证明不等式

例1 已知 a>0,b>0,c>0,求证:bc+ca+ab≥a+b+c. a b c
【证明】 ∵a>0,b>0,c>0, bc ca · =2c; a b bc ab · =2b; a c

bc ca ∴ + ≥2 a b bc ab + ≥2 a c

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ca ab + ≥2 b c

ca ab · =2a. b c

?bc+ca+ab?≥2(a+b+c), 以上三式相加得:2 ?a b c ?
bc ca ab 即 + + ≥a+b+c. a b c

【名师点评】

利用均值不等式证明不等式是综合法证

明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题

的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过
逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.

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跟踪训练 1.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证: + + ≥9. a b c
证明: ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + + a b c a b c b c a c a b =3+ + + + + + a a b b c c

?b+a ?+?c+a ?+?c +b ?≥3+2+2+2=9, =3+ ?a b ? ?a c ? ?b c ?
1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3
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考点 2

利用均值不等式求最值 (1)设 0<x<2,求函数 y= x?4-2x?的最大值;

例2

4 (2)求 +a 的取值范围; a-2 3 4 (3)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值. x y 【解】 (1)∵0<x<2,∴2-x>0,
x+2-x ∴y= x?4-2x?= 2· x?2-x?≤ 2· = 2, 2 当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号, ∴当 x=1 时,函数 y= x?4-2x?的最大值是 2.
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(2)显然 a≠2,当 a>2 时,a-2>0, 4 4 ∴ +a= +(a-2)+2≥2 a-2 a-2 4 · ?a-2?+2=6, a-2

4 当且仅当 =a-2, a=4 时取等号, a<2 时, 即 当 a-2<0, a-2 4 4 4 ∴ +a= +(a-2)+2=-[ +(2-a)]+2≤-2 a-2 a-2 2-a 4 4 · ?2-a?+2=-2,当且仅当 =2-a,即 a=0 时 2-a 2-a 4 取等号,∴ +a 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞). a-2
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(3)∵x>0,y>0,且 x+y=1, 3 4 3 4 ∴ + =( + )(x+y) x y x y 3y 4x =7+ + ≥7+2 x y 3y 4x · =7+4 3, x y

3y 4x 当且仅当 = ,即 2x= 3y 时等号成立, x y 3 4 ∴ + 的最小值为 7+4 3. x y

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4 【误区警示】 对于第(2)小题中变形为 a-2+ +2 a-2 后,易忽视了 a-2 的符号不定,从而得原式≥6 这样 的错误结论,同时当 a-2<0 时要注意变号;第(3)小题 要求根据条件求最值,如何合理利用条件 x+y=1 是 解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y). 利用均值不等式求最值时,要注意三个条件, 即: “一 正、二定、三相等”,本题常见的误解为:

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1 1 3 ∵x>0,y>0,x+y=1≥2 xy,∴xy≤ ,∴ ≥4, + 4 xy x 4 ≥2 y 12 ≥2 48=8 3, 此法错误的原因是没有考虑 xy

3 4 等号成立的条件,= 和 x=y 同时成立是不可能的. 所 x y 以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一 条件下进行放缩,放缩时还要注意有目的性、同向性, 不要出现放缩后不能比较大小的情况.

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跟踪训练
3 4 2.把本例(3)中的条件改为 x>0,y>0 且 + =1,求 x x y +y 的最小值.

3 4 解:∵x>0,y>0 且 + =1, x y 3 4 4x 3y 4x 3y ∴x+y=(x+y)( + )=3+ + +4≥7+2· · x y y x y x 4x 3y =7+4 3,当且仅当 = ,即 2x= 3y 时取等号, y x ∴x+y 的最小值为 7+4 3.

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考点 3

均值不等式的实际应用

例3

(2013· 福州质检)某种商品原来每件售价为 25 元,

年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减 少 2000 件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品 每件定价最多为多少元?

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(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明 年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革, 并提高定价 1 2 到 x 元,公司拟投入 (x -600)万元作为技改费用,投入 50 6 1 万元作为固定宣传费用, 投入 x 万元作为浮动宣传费用. 试 5 问:当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时, 才可 能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出 此时商品的每件定价.

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【解】

(1)设每件定价为 t 元,

?8-t-25×0.2 ?t≥25×8, 依题意,有 1 ? ?
整理得 t2-65t+1000≤0, 解得 25≤t≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入, 每件定价最多为 40 元.

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(2)依题意,x>25 时, 1 2 1 不等式 ax≥25×8+50+ (x -600)+ x 有解. 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解. 6 5 x 150 1 ∵ + x≥2 6 x 150 1 ·x=10(当且仅当 x=30 时, 等号成立), x 6

∴a≥10.2.∴当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件 时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和, 此时该商品的每件定价为 30 元.

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【名师点评】

(1)利用均值不等式解决实际问题时,应先

仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并 引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用均值不 等式求解. (2)在求所列函数的最值时,若用均值不等式时,等号取不

到,可利用函数单调性求解.

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跟踪训练 3.

(2013· 聊城质检)围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地 的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知旧 墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长 度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元).

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(1)将y表示为x的函数; (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并

求出最少总费用.
解:(1)设矩形的另一边长为 a m, 则 y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360. 360 由已知 xa=360,得 a= , x 3602 所以 y=225x+ -360(x>2). x

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3602 (2)∵x>2,∴225x+ ≥2 x 3602 ∴y=225x+ -360≥10440. x

3602 225x× =10800. x

3602 当且仅当 225x= 时,等号成立. x 即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最少,最少总费 用是 10440 元.

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方法感悟 1.合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目 标在于使等号成立,且每项为正值,必要时出现积为定 值或和为定值(如例 2). 2.当多次使用均值不等式时,一定要注意每次是否能保 证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则 就会出错,因此在利用均值不等式处理问题时,列出等 号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转 换是否有误的一种方法.

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名师讲坛精彩呈现
易错警示 均值不等式中等号成立的条件 把握不准致误



?a+1 ??b+1 ? 已知 a, 均为正实数, a+b=1, y=? a?? b? b 且 求

的最小值.

?ab+ 1 ?+ 【常见错误】 本题常见错误是将原式化为 y=? ab? ?b+a ?之后直接利用均值不等式求出最小值为 4,错因在两 ?a b?
次利用均值不等式,等号不能同时成立.
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?a+1 ??b+1 ? 【正解】 y=? a ?? b? ?ab+ 1 ?+?b+a?≥?ab+ 1 ?+2 =? ab? ?a b? ? ab? ? ab+ 1 ?2=?4 ab+ 1 -3 ab?2 = ? ab? ? ab ? ? ≥?2 ?
a+b ?2 ? 3 ?2 25 1 4 ab· -3× 2 ? =?4-2 ? = 4 . ab ?

1 ?a+1 ??b+1 ?取最小值,最小值为25. 当且仅当 a=b= 时,y=? a ?? b ? 2 4

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【防范措施】 (1)利用均值不等式求最值,一定要注意应用均 值不等式成立的条件:即一正、二定、三相等,否则求解时会 出现等号成立的条件不具备而出错,若在同一题目中,两次或 两次以上利用均值不等式,等号应同时成立. 2 (2)本题若将原式化为 y= +ab-2,则可设 ab=t,由基本不 ab

?a+b ?2=1,进而利用函数单调性求出 y 的最小值. 等式 t≤ ? 2 ? 4

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跟踪训练
1 4.(2013· 郑州质检)若 a>b>0,则代数式 a + 的最小 b?a-b?
2

值为( A.2 C.4

) B.3 D.5

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1 解析:选 C.依题意得 a-b>0,所以代数式 a + ≥a2 b?a-b?
2



1 4 = a2 + 2 ≥2 a ?b+?a-b? ?2 2 ? ?

4 a2·2 = 4 , 当 且 仅 当 a

?b=a-b>0 ? 2 1 2 , a= 2, 即 b= 时取等号, 因此 a + ? 2 4 2 b?a-b? ?a =a2 ?
的最小值是 4,选 C.

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知能演练轻松闯关

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