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美国AP统计学课程体系研究


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数学通报

2014年

第53卷第5期

美国AP统计学课程体系研究
来 虹
(西安高新一中国际课程中心710075)

1美国AP课程简介 美国大学先修课程(Advanced
Placement,

期望高中学生完成这个

一学年、介绍性的、非微积 分基础的、大学统计学课程. 在学院和大学里面,学生参加统计学课程的 人数和参加微积分课程的人数一样多.一个来自 于2002年的《chronicle
of higher

AP)始于1955年,AP课程项目管理机构——美
国大学理事会(College Board)与学院(College)、 大学(University)、高中(High Sch001)——联合 向学生提供高中阶段参加大学课程的学习和考 试.AP课程共34个科目,学习这些科目使中学 生在申请大学时更有优势,并可获得大学学分. AP课程由具有专业背景和教学技能的认证资质 教师讲授,培养学生发展大学所需的学习技能、思 维习惯和批判性思维. AP课程被世界范围内3600多个学院和大 学认可(包括美国90%以上的4年制研究机构). 每个AP课程对应相应的考试,全球范围内参与 的学校每年5月参加考试(除AP艺术这个综合 评估科目).每个科目的AP考试包含选择题部分 和解答题部分,考试试卷是AP CollegeBoard考 试委员会中的阅卷官进行批改.AP考试成绩是 由机改的选择题和由AP阅卷官批改的解答题两 部分分数结合,经过权重计算得到一个综合分数, 该综合分数将会转换成AP的5分制分数,并和 大学课程评分对应,AP课程5分制含义及相应 大学评分列于表1.
表1 AP课程5分制含义及相应大学评分 含义

education))统计

数据表明:从1990年到2000年,学统计学课程的 人数增加了45%.统计学课程和AP统计学课程 相似,是社会科学、健康学、商业专业中典型必需

学科.每个学年大概有236000名大学生学习数学
或统计学学院提供的统计学课程.另外,也有很多 学生学习其他学院提供的统计学介绍课程.科学、

工程学、数学专业通常学习一个高阶的,有微积分
基础的统计学课程.


AP统计学课程目标 AP统计学课程的核心是向学生介绍“收集

数据、分析数据、和从数据中得出结论”的内容和 方法.学生需要完成以下四大主题: ①探索数据:描述类型和类型的偏差; ②抽样和实验设计:规划和创建实验;

③预测类型:用概率和模拟来探索随机现象; ④统计推断:预计总体参数、假设检验.
成功完成课程和考试的学生升人大学后可以 兑换为期一学期的大学统计学课程.每个高中根 据学生的需求来决定AP统计学课程的授课时 间.统计,像其他AP课程一样,可以是一个学期, 两个学期或者一个学年的课程.很多学校,提供一 学年的课程.


分数


大学课程评分


具有非常好的资格 具有好的资格 具有资格 可能有资格 不予推荐



A一/B+/B B一/c+/c



AP统计学课程大纲 以下是AP统计学考试的大纲.这里的顺序





是为了确定该课程的范围,但不一定按照这个次 序来讲授.每个内容括号里的百分比表明了它在



AP统计学课程体系 AP项目组提供给高中学生AP统计学课程,

考试中所占的比例. I.探索数据:描述类型和类型的偏差(20%

万方数据

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—30%)

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数学通报 ④观测研究 B.计划和建造调查:

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探索数据分析,利用图像和数据分析来描述 类型和类型的偏差.重点:从图像和数据信息、数

①一个精心设计和精心实施的调查的特征 ②处理、控制组、实验单位、随机分配和复制 ③偏差的来源和混淆,包括安慰剂效应和单 盲实验和双盲实验 ④完全随机化设计 ⑤随即区组设计,包含配对设计 C.从观测研究、实验、调查中得到的一般化 的结果和结论的类型 III.预测类型:用概率和模拟来探索随机现 象.(20%一30%) 概率是用于预测在给定模型下的数据分布的 工具. A.概率: ①解释概率,区别概率和频率的概念. ②“大数定理”的内容

据分析中来解释图像和数据反映的信息.
A.构造和解释一元数据分布的数据显示(点 图、茎叶图、直方图、累计频率图像) ①中心和离散程度 ②集群和缺口 ③异常值和其他异常特征 ④形状 B.小结一元数据的分布: ①度量中心:中位数、平均数 ②度量离散程度:极差、四分位差、标准差 ③度量位置:四分位数、百分位数、标准计分 (z值) ④箱线图. ⑤变换单位对这些度量的影响. C.二元数据的分布对比(点图、背对背茎叶 图,平行箱线图) ①对比中心的离散程度 ②对比集群和缺口 ③对比异常值和其他特征 ④对比形状 D.探索二元数据: ①在点图中分析类型 ②相关度和线性关系 ③最小二乘回归直线 ④残差图,异常值和有影响的点 ⑤线性变化:对数变换和指数变换 E.探索分类数据: ①频率表和条形图 ②双向表的边际频率和相对频率 ③条件相对频率和关联 ④用饼图来比较分布 II.抽样分布和实验:规划和创建实验(10%
一15%)

③加法法则、乘法法则,条件概率和独立性
检验. ④离散型随机变量和离散型随机变量的概率 分布,包含二项分布和几何分布. ⑤随机现象和概率分布的模拟 ⑥随机变量的均值(期望)和标准差,随机变 量的线性整合. B.独立型随机变量的整合 ①独立性和非独立性的概念. ②独立型随机变量的和和差的平均值和标 准差. C.正态分布 ①正态分布的性质 ②如何使用正态分布表 t③正态分布的应用 D.抽样分布 ①样本比例的抽样分布 ②样本均值的抽样分布 ③中心极限定理 ④两个独立样本比例的差的抽样分布 ⑤两个独立样本均值的抽样分布

数据采集必须依据一个好的规划.这个规划 包含了分析问题、数据采集、分析的方法. A.数据采集的方法 ①普查 ②抽样调查 ③实验

⑥抽样分布的模拟
⑦t一分布 ⑧卡方分布 IV:统计推断:预计总体参数和假设检验

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(30%一40%)

过程,涉及到数据和数学模型之间的对话.随着越

统计推断导向选择正确的模型
A.估计(点估计和区间估计) ①估计总体参数和边际误差. ②点估计的性质,包含无偏性和变化性. ③置信区间的逻辑,置信度和置信区间的含 义,置信区间的性质.

来越多的有关数据获悉,模型将会被重新定义并
且形成新的问题.计算机在这个旅程中起了核心 的作用。首先,它可以数据分析的特定类型创建图 像.这些图像显示使得观察数据类型显得简单得 多,找出重要的数据分组和定位任何不寻常的数 据点.第二,它可以使学生解决复杂的数学模型并 且通过检测残差图来判断数据和模型的拟合 优度. 另外,在应用计算机进行数据分析的过程中, 计算机帮助实现在AP统计学高中的概率的模 拟.随机事件的概率,随机变量的分布和概念上的 统计的抽样分布,都可以进行模拟.这使得学生和 教师只能从一些狭窄的方法取决于几个简单的概 率模型中释放出来. 图形计算器是AP统计学的很重要的一个工 具.在时间限制的考试条件下和不用计算机的前 提下,学生不能按照要求执行许多统计中调查研 究所需要的计算.标准的计算机输出工具将提供 给学生使用,并且需要学生会使用它. 图形计算器是一个有用的计算性援助,特别 在分析小集合的数据时,但是被看成和计算机有

④大样本比例的置信区间. ⑤两个大样本比例差值的置信区间.
⑥均值的置信区间. ⑦两个均值的差的置信区间(配对的和不配 对的). ⑧最小二乘回归直线的斜率的置信区间. B.假设检验: ①假设检验的逻辑,零假设和备择假设;P一

值;单边检验和双边检验;第一类型和第二类型错
误的内容;势的内容. ②大样本比例的检验. ③两个大样本比例的差的检验. ④均值的检验. ⑤两个均值的差的检验(配对的和不配对
的).

⑥卡方检验:拟合优度的检验,比例的同质性 检验,独立性检验(单向和双向表). ⑦最小二乘直线中的斜率的检验.


等价的效果.如果在学习课程中应用图形计算器,
它的计算能力应该包括线性回归中的标准化一 元、二元数据的统计结论.它的画图能力应该包括 一般一元、二元数据的图像展示:比如直方图、箱 线图和点图.学生发现数据输入到电子数据表格 中非常容易使用.理想化情况下,学生在课堂和课 下都能使用计算器和计算机.目前情况下,图形计 算器作为唯一的计算援助可以在AP考试中使 用,用来作为分析数据的工具. AP统计学课程的分数换算方法列于表
3中.


AP统计学课程考试形式、计算器和科学技术

的应用要求、分数换算方法 AP统计学课程考试形式列于表2中.
表2

AP统计学课程考试形式 考试形式 第一部分:选择题允许使用计 算器28题目(90分钟) 第二部分:解答题允许使用计 算器6题目(90分钟)

考试科目

分数分配
50%

统计学
50%

AP统计学课程教学启示 ①考试的严密性和精准性.美国AP课程是

AP统计学课程依附于现在数据分析的原理 和方法.随着科学技术的发展,虽然图形计算器和 计算机的差距已经变得微乎其微了,现在数据分 析的基本工具还是计算机.计算机不仅仅能消除 手工计算和绘图这样的苦差事,而且它也是机构 化查询的必要工具. 数据分析是一个发现之旅.它是一个反复的

全球性质的标准化考试,就像中国高考一样,后面 有个强大的美国大学理事会在组织、策划、出题、 阅卷,评分.因为美国AP课程是大学先修课程, 美国大学理事会在考试之前在大学一年级学生中 做出试题调研,来测试题目的难易再做调整.因此 题目具有非常高的区分度和可信度.

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表3

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数学通报 据来支持你的结论.

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AP统计学课程的分数换算方法

第一部分:选择题
×1.25=

(b)科研人员可以根据初始样本中鸟儿的数 量和后续样本中带标记鸟儿的比例来估计这种类
不能近似

(选择题分数)(计算了权重之后的第一部分的分数)

满分40分

群的鸟类的总量.用这些信息来估计在岛屿A上 这种类群的鸟儿的总量.写出详细过程.

第二部分:解答题 第一题: 满分4分
第二题:
×1.875一 ×1.875=

(c)在(a)(b)中假设从每个岛屿上捕获的最
不能精确 不能精确
×1.875一

初的样本和后续的样本都可以看成是从这类物种
AP分数转换表 统计学
分数范围AP成绩
63——100 5 4 3 2 1

鸟类总体抽取的随机样本.这是一个野生生物科 研人员的一般假设,在做出这个假设之前,描述两 个需要注意的问题. 解答题部分难度大,评分标准与中国高考有 着本质的区别.中国高考的评分标准是按步骤给 分,而这里的每一问的评分结果是是E(Essen-
tially correct)、P(Partially Correct)、I(Incor—

满分4分 第三题: 满分4分 第四题: 满分4分 第五题:X1.875一 满分4分 第六题: 满分4分 组合的分数:
= ×3.125一 ×1.875一

不能精确

49—52 37—48

不能精确 不能精确

29—36
0—28

不能精确

rect),每道题的评分标准都会给出学生回答什么 答案应该给E,学生回答什么答案应该给P,学生 回答什么答案应该给I.综合下来再按照每问的 结果给出此题的最后得分:比如4分对应EEE,3 分对应EPP或PPP.

第二部分分数和一


第一部分第二部分总分数 (精确到整数位)

②AP统计学课程是个大学课程,难度大,覆 盖面广,贴近生活,最大限度地调动学生的趣味 性:如2004
Form B

如:2004

Form B

6:评分标准是这样的:每个

部分被评定为E(Essentially correct)、P(Partially correct)或I(1ncorrect). (a)部分是E如果假设检验的4个步骤都是 正确的. (a)部分是P如果假设检验的2或者3个步 骤是对的. (a)部分的说明: 1)如果在步骤1的假设检验反了(如H。: P^≠pe,H。:PA—Pn)然后在得到结论的步骤4 没有分数; 2)如果口和p一值的值已经给定了,在步骤4 中的关联关系必须说明.如果没有给定的口的值,

6:为了监视两个岛屿上某一

物种的鸟类种群,实施了以下程序:科研人员最初 到岛屿A捕获了一个样本容量是200只的这种 鸟类;他们在每只鸟的腿上绑上脚牌做标记,然后 释放了这些鸟.类似地,在岛屿B捕获了一个样 本容量是250只的这种鸟类,绑上脚牌,然后释 放.给这些鸟儿充足的时间使得它们能回归正常 的生活轨迹和栖居地.随后从每个岛屿捕获了一 些作为样本的鸟儿.捕获的鸟儿的数量和腿上有 标记的鸟儿的数量被记录下来.结果记录到下面 表格中.
岛屿A 在后续样本中捕获的鸟儿的数量 在后续样本中捕获的鸟儿中有标
12

岛屿B
220

答案必须详尽清楚地给予与P值的解释或解释如 何从P值得到结论; 3)如果在步骤3的计算的p一值的值是错误

180

35

记的鸟儿

的,但是结论和计算出来的p一值是一致的,步骤 4是正确的.

假设从每个岛屿上捕获的最初的样本和后续 的样本都可以看成是从这类物种鸟类总体抽取的 随机样本. (a)从后续的样本数据表明,在这两个岛屿上 带标记的鸟儿的比例是否有差异?给出统计学证

这道题的综合得分依据列于表4中: ③考试不需要学生背诵公式,在试卷的第三 页就会有公式,比如:

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表4综合得分依据

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组来批改,像中国高考阅卷体系一样分层阅卷:首 席阅卷官(chief reader)(阅卷总负责),下设试题 阅卷长(exam leader)、题目阅卷长(question
lead—

评分 4分 3问都是E

综合得分依据

er)、小组阅卷长(table leader),基层的是一个中
(a)问的假设检验是E,剩下两问中有一问是E;或

3分 (a)问的假设检验是E,剩下两问都是P;或 (a)问的假设检验是P,剩下两问都是E. (a)问的假设检验是E,剩下两问都是I;或 2分 (a)问的假设检验是P,剩下两问中一个E,一个
I;或

学教师和一个大学教师搭配,每阅完一定份额的 试卷,就会上交到上一层的阅卷官组里,然后层层 进行随机抽样审核.这样,在教学中除了基本概念 和基础技能的教学之外,特别注意培养学生的审 题能力、英文术语的表述,比如在解答题中,仅仅 只有最后结果而没有过程是没有分数的. ⑤等级分数衡量制度:满分:40×1.25+5×4 ×1.875+1×4×3.125—100分,根据2007年的 美国大学理事会给的数据统计结果只要拿到63 分以上就是5分,从这个角度来讲跟中国高考数 学有很大的不同,在高考体系里差1,2分可能会 决定一个孩子的命运,而美国的大学基本都接受

(a)问的假设检验是P,剩下两问都是P. (a)问的假设检验是P,剩下两问都是I;或
1分

(b)或(c)问是E,剩下都是I;或
(b)和(c)问都是P,剩下都是I.

z一—了-一’如一√鬲2J 至一擎m一腰ii百嘞:
~、/(nl(--72,1一)s11)z++((咒n。z一--11))sz

(72l一1)+(咒2—1)

tzi—z)。’如=

2.,多一60+6。z … …。…一

AP课程4分或5分,但是对于AP统计学这个学 科来讲,拿到5分并不是那么容易的.

单样本
统计值 样本均值 样本比例 统计值的标准差


参考文献




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ap,2012,6,5

译孚

2 3

Ap—exam--format,www.collegeboard.com/ap,2012,6,5
statistics--2007——released——exam——scoring——worksheet.ht—

这些公式都会出现在试卷的前面,包括选择 题在做的时候也是会给出所有的公式,难度就在 不知道选择哪个公式. ④对学生精确的审题能力、数学的英文术语 的表述、规范严密的解题过程的考核:AP考试的 试卷呈现是英文、学生作答也是英文作答,对中国 学生来说,要求学生对英文呈现的数学题目的精 确的理解,同时能够用专业的英文数学术语来表 述.AP考卷在考完之后邮寄到美国,选择题部分 是机改,解答题部分是由大学理事会组织的阅卷 (上接第9页)
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Mathe—

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Faulkner,F.,Hannigan,A.,8。Gill,0..The changing

万方数据


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