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高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 . 解三角形应用举例练习 理-课件


第三章 三角函数、解三角形 3.8 解三角形应用举例练习 理
[A 组·基础达标练] 1.如图,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站南偏西 40°,灯 塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )

A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 80° D.南偏西 80° 答案 D 解析 由

条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以 ∠DBA=10°,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2.[2016·广州调研]如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离 堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为 α ,则 坡度值 tanα 等于( )

A. C.

231 5 231 16

B. D.

5 16 11 5

答案 A 解析 由题意,可得在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α +∠ACB =π . 由余弦定理, 可得 AB =AC +BC -2×AC×BC×cos∠ACB, 即 3.5 =1.4 +2.8 -2×1.4×2.8×cos(π -α ), 5 解得 cosα = , 16
2 2 2 2 2 2

1

所以 sinα =

231 , 16

sinα 231 所以 tanα = = .故选 A. cosα 5 3.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处 观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2海里 B.10 3海里 C.20 3海里 D.20 2海里 答案 A )

解析 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定 理得 = ,解得 BC=10 2(海里). sin30° sin45° 4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人 在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°, 沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达 点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m 答案 A 解析 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,AB=100,
2 2 2 2 BC= 3h, 根据余弦定理得, ( 3h) =h +100 -2·h·100·cos60°, 即 h +50h-5000=0,

BC

AB

)

B.100 m D.150 m

即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 5.[2015·泰安期中] 如图所示,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C,测出

A,C 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则 A,B 两点的距离为(

)

2

A.50 3 m C.25 2 m 答案 B 解析 由正弦定理得

B.50 2 m D. 25 2 m 2

= ,又∵B=30°, sin∠ACB sinB

AB

AC

2 50× 2 AC·sin∠ACB ∴AB= = =50 2(m). sinB 1 2 6. 如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河 对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h,若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短 时间为 6 min,则客船在静水中的速度为( )

A.8 km/h C.2 34 km/h 答案 B

B.6 2 km/h D.10 km/h

解析 设 AB 与河岸线所成的角为 θ ,客船在静水中的速度为 v km/h,由题意知,sinθ = 0.6 3 4 1 4 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2 = ,从而 cosθ = ,所以由余弦定理得? v? =? ×2? +1 -2× ×2×1× ,解得 1 5 5 10 5 ?10 ? ?10 ? 7. [2016·湖南师大附中月考]如图所示, 测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同 一水平面内的两个测点 C 与 D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点 C 测得塔 顶 A 的仰角为 60°,则塔高 AB=( )

v=6 2.选 B.

3

A.5 6 C.5 2 答案 D

B.15 3 D.15 6

解析 在△BCD 中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.

BC 30 由正弦定理得 = ,所以 BC=15 2. sin30° sin135°
在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=15 2× 3=15 6.故选 D. 8. [2014·四川高考]如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75°, 30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

A.240( 3-1) m C.120( 3-1) m 答案 C 解析 ∵tan15°=tan(60°-45°)=

B.180( 2-1) m D.30( 3+1) m tan60°-tan45° =2- 3,∴BC=60tan60° 1+tan60°tan45°

-60tan15°=120( 3-1)(m),故选 C. 9.[2016·大连联考] 如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测 得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45°,则 塔 AB 的高是________.

4

答案 10 6 解析 在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,

BC CD CDsin45° = ,BC= =10 2. sin45° sin30° sin30°
在 Rt△ABC 中 tan60°= ,AB=BCtan60°=10 6. 10. 如图所示,一艘海轮从 A 处出发,测得灯塔在海轮的北偏东 15°方向,与海轮相距 20 海里的 B 处,海轮按北偏西 60°的方向航行了 30 分钟后到达 C 处,又测得灯塔在海轮的 北偏东 75°的方向,则海轮的速度为________海里/分钟.

AB BC

答案

6 3

解析 由已知得∠ACB=45°,∠B=60°, 由正弦定理得 = , sinB sin∠ACB

AC

AB

AB·sinB 20×sin60° 所以 AC= = =10 6, sin∠ACB sin45°
10 6 6 所以海轮航行的速度为 = (海里/分钟). 30 3 11. 已知岛 A 南偏西 38°方向,距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇.岛 A 处的一艘走私 船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰 好用 0.5 小时能截住该走私船?

5

5 3 3 3? ? ?参考数据:sin38°= ,sin22°= ? 14 14 ? ?



如图,设缉私艇在 C 处截住走私船,D 为岛 A 正南方向上一点,

缉私艇的速度为每小时 x 海里, 则 BC=0.5x, AC=5 海里, 依题意, ∠BAC=180°-38° -22°=120°, 由余弦定理可得 BC =AB +AC -2AB·ACcos120°, 所以 BC =49,BC=0.5x=7,解得 x=14. 3 5× 2 5 3 AC·sin∠BAC 又由正弦定理得 sin∠ABC= = = , BC 7 14 所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以 BC∥AD,故缉私艇以每小时 14 海里的速度向 正北方向行驶,恰好用 0.5 小时截住该走私船. 12.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该 渔轮在方位角为 45°,距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向, 以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰 艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
2 2 2 2

6



如图所示, 根据题意可知 AC=10, ∠ACB=120°, 设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h,
2 2 2

并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC=9t,在△ABC 中,根据余弦定理得 AB =AC +BC - 2AC·BC·cos120°, 1 2 2 2 2 所以 21 t =10 +81t +2×10×9t× , 2 即 360t -90t-100=0, 2 5 解得 t= 或 t=- (舍去). 3 12 2 所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h. 3 此时 AB=14,BC=6. 在△ABC 中,根据正弦定理, 得 = , sin∠CAB sin120°
2

BC

AB

3 6× 2 3 3 所以 sin∠CAB= = . 14 14 即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去), 即舰艇航行的方位角为 45°+21.8°=66.8°. 2 所以舰艇以 66.8°的方位角航行,需 h 才能靠近渔轮. 3 [B 组·能力提升练] 1 1.[2016·陕西五校联考]已知△ABC 外接圆 O 的半径为 1,且OA·OB=- .从圆 O 内随 2 3 3 机取一点 M,若点 M 取自△ABC 内的概率恰为 ,则△ABC 的形状为( 4π A.直角三角形 C.钝角三角形 答案 B 1 解析 由题意得OA·OB=1×1×cos∠AOB=- , 2 → → B.等边三角形 D.等腰直角三角形 ) → →

7

1 2π π 则 cos∠AOB=- ,∠AOB= ,C= . 2 3 3 1 π CA·CB·sin 2 3 3 3 则 = . 2 π ×1 4π 所以 CA·CB=3. 在△AOB 中,由于 OA=OB=1,∠AOB=120°, 所以 AB= 3. π 2 2 2 由余弦定理得 AB =CA +CB -2CA·CBcos , 3 即 CA +CB =6, 所以 CA=CB= 3,△ABC 的形状为等边三角形.故选 B. 2.要测量对岸 A, B 两点之间的距离, 选取相距 3 km 的 C, D 两点, 并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则 A,B 之间的距离为________ km.
2 2

答案

5

解析 如题图所示,在△ACD 中, ∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 (km). 在△BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°. ∴BC= 3sin75° 6+ 2 = . sin60° 2 6+ 2 ? 6+ 2?2 ? -2× 3× 2 ×cos75°=3+2+ 3- 3=5, 2 ? ?

在△ABC 中,由余弦定理,得

AB2=( 3)2+?

∴AB= 5(km),∴A,B 之间的距离为 5 km. 3. [2014·浙江高考]如图, 某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.

8

已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准 目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小.若 AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°, 则 tanθ 的最大值是________.(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角) 答案 5 3 9

解析 如图,过点 P 作 PD⊥BC,垂足为 D.

∵平面 MCB⊥平面 ABC,且平面 MCB∩平面 ABC=BC, ∴PD⊥平面 ABC. 连接 AD,∴∠PAD 为由点 A 观察点 P 的仰角 θ .设 CD=x,∵∠BCM=30°, ∴PD= 3 x. 3

在 Rt△ABC 中,AB=15,AC=25, 15 3 ∴sin∠ACB= = , 25 5 4 ∴cos∠ACB= .由余弦定理得 5

AD= x2+252-2x·25cos∠ACB
= x -40x+625.
2

9

∴tanθ =

3 x 3

x2-40x+625



3 3 40 625 1- + 2

x

x



3 3

?25-4?2+ 9 ? x 5? 25 ? ?



25 4 125 5 3 ∴当 - =0,即 x= 时,tanθ 最大,最大值为 . x 5 4 9 4.如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向距 A 为( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°方向, 距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私 船.此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向 能最快追上走私船?并求出所需要的时间(注: 6≈2.449).



设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则有 CD=10 3

t(海里),BD=10t(海里).
在△ABC 中,∵AB=( 3-1)海里,AC=2 海里,∠BAC=45°+75°=120°,根据余弦 定理,可得

BC= ? 3-1?2+22-2×2×? 3-1?cos120°= 6(海里).
根据正弦定理,可得 3 2× 2 ACsin120° 2 sin∠ABC= = = . BC 2 6 ∴∠ABC=45°,易知 CB 方向与正北方向垂直, 从而∠CBD=90°+30°=120°. 在△BCD 中,根据正弦定理,可得 sin∠BCD=

BDsin∠CBD 10t·sin120° 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°,∠BDC=30°, ∴BD=BC= 6(海里),

10

则有 10t= 6,t=

6 ≈0.245 小时=14.7 分钟. 10

故缉私船沿北偏东 60°方向,需 14.7 分钟才能追上走私船.

11


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