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重庆2006-2013年高考理科数学分类汇总-三角函数(含答案)


重庆理科数学历年高考真题分类汇总——三角函数 2013 年
9) 4cos500 ? tan 400 ? (C) (A) 2 (B)

2? 3 2

(C) 3

(D) 2 2 ?1

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 在△ ABC 中,内角

A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)设 cos A cos B ?

3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5

2012 5、设 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的值为 (A)-3 【答案】 A (B)-1 (C)1 (D)3

【解析】 tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2, tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?
3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13

13、设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? 【答案】

14 5

3 5 56 cos A ? , cos B ? , b ? 3 ? sin C ? sin( A ? B) ? 5 13 65 【解析】 b c b sin C 14 ? ?c? ? sin B sin C sin B 5
18、 (本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 f ? x ? ? 4 cos(? x ?

?
6

) sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域 (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?

? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值。 , ? 2 2? ?

【解析】 (Ⅰ) f ? x ? ? 4 ?

? 3 ? 1 cos ? x ? sin ? x ? ? 2 ? sin ? x ? cos 2? x 2 ? ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ?

?

?

x 在 每 个 闭 区 间 ? 2k? ? (Ⅱ)因 y ?sin

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?

?k ? Z ? 上 为 增 函 数 , 故

f ? x? ? 3 s i n?2 x ?
依题意知 ? ?

? 1 ? 0? 在每个闭区间 ? ??

k?

??

?

? k? ? ? , ? ? k ? Z ? 上为增函数。 4? ? 4? ? ?

? 3? ? ? ? k? ? k? ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ,于是 , ? ? , ? ? 2 2? ? ? ? ? 4? ? 4? ? ?

? ? 3? ? ?? ? 1 1 ? 2 4? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 。 ? 6 6 ?? ? ? ? ? 2 4?

2011

(a ? b) ? c ? 4 ,且 C=60°,则 ab 6.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足
2 2

的值为(A) A.

4 3

B. 8 ? 4 3

C. 1

D.

2 3

14.已知 sin ? ?

1 ? ?? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2?

cos 2? 14 的值为____ ? ______ ?? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?

16. (本小题满分 13 分) 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?
2

?? ? ? x ? 满足 ?2 ?

? ?? f ? ? ? ? f ? 0? , ? 3?

求函数 f ( x ) 在 [ 16. (本题 13 分)

? 11?

, ] 上的最大值和最小值. 4 24
2 2

解: f ( x) ? a sin x cos x ? cos x ? sin x

?
由 f (?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2

?
3

) ? f (0)得 ?

3 a 1 ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 2 2 2

因此 f ( x) ? 当 x ?[

, ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 为增函数, 4 3 6 3 2 ? 11? ? ? 3? ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 为减函数, 当 x ?[ , 3 24 6 2 4 ? 11? ? ]上的最大值为f ( ) ? 2. 所以 f ( x)在[ , 4 4 3 ? 11? ) ? 2, 又因为 f ( ) ? 3, f ( 4 24 ? 11? 11? ] 上的最小值为 f ( ) ? 2. 故 f ( x )在[ , 4 24 24

? ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). 6

?

?

? ?

2010 (6)已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? A、 ? ? 1, ? ? C、 ? ? 2, ? ?

?
2

) 的部分图象如题(6)图所示,则( D )

?
6

B、 ? ? 1, ? ? ? D、 ? ? 2, ? ? ?

?

?
6

?
6

6

y
1

O

?
3

7? 12

x

题(6)图

(16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分.) 设函数 f ( x) ? cos( x ?

2 x ? ) ? 2 cos 2 , x ? R . 3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的值域; ( Ⅱ ) 记 ?A B C的 内 角 A、B、C 的 对 边 长 分 别 为 a、b、c , 若

f ( B) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的值.
(16) (本题 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos x cos

2 2 ? ? sin x sin ? ? cos x ? 1 3 3

1 3 ? ? cos x ? sin x ? cos x ? 1 2 2 ? 1 3 cos x ? sin x ? 1 2 2

5 ? sin( x ? ? ) ? 1 , 6
因此 f ( x) 的值域为 [0,2] .

(Ⅱ)由 f ( B) ? 1 得 sin( B ? 故B ?

?
6

5 5 ? ) ? 1 ? 1 ,即 sin( B ? ? ) ? 0 ,又因 0 ? B ? ? , 6 6

.

2 2 2 2 解法一: 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 a ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或

2.
解法二:由正弦定理 当C ?

b c 3 ? 2? ? ,得 sin C ? . ,C ? 或 sin B sin C 3 2 3

,从而 a ? b 2 ? c 2 ? 2 ; 3 2 2? ? ? 当C ? 时, A ? ,又 B ? ,从而 a ? b ? 1 . 3 6 6 故 a 的值为 1 或 2. 2009 7.设 ?ABC 的三个内角 A, B, C ,向量 m ? ( 3sin A,sin B) , n ? (cos B, 3 cos A) ,若

?

时, A ?

?

m?n ? 1 ? cos( A ? B) ,则 C =( C
A.



? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? sin(

?

x ? ) ? 2 cos 2 x ? 1 . 4 6 8

?

?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时

4 3

y ? g ( x) 的最大值.

(16)(本小题 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

?

?

?

2

?

?

x? ) 4 3 4 3 ? ? ? 2? 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 4 3 3
= 3 cos(

?

x? ] 4 3

?

?

? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2
解法二: 因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] , 且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称, 故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( 当

4 3

2 3

4 3

?

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6 4 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 3

x? ) 4 3

?

2 3

gmax ? 3 sin

?
6

?

3 2

2008

(10)函数 f(x)= (A)[2 ,0 ] 2

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是(B) 3 ? 2 cos x ? 2sin x

(B)[-1,0]

(C)[- 2,0 ]

(D)[- 3,0 ]

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设 ? ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60? ,c=3b.求: (Ⅰ) 的值; (Ⅱ)cotB+cot C 的值.
(17) (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理得

a c

a2 ? b2 ? c2 ? 2b cos A
c? ? = ( c) ?c ? 2? c?
2 2

1 3

1 3

1 2

7 2 c , 9



a 7 ? . c 3
cos B sin C ? cos C sin B sin B sin C sin( B ? C ) sin A ? , = sin B sin C sin B sin C
= 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得

(Ⅱ)解法一: cot B ? cot C

7 2 c sin A 1 a 2 9 14 14 3 ? · ? · ? ? . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· c 3 3 3
2

故 cot B ? cot C ?

14 3 . 9

解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有

7 2 2 1 2 c ? c ? ( c) a 2 ? c 2 ? b2 9 3 cos B ? ? 2ac 7 2? c? c 3


5 2 7

.

故 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ?

25 3 ? . 28 2 7

同理可得

7 2 1 2 2 c ? c ?c a ?b ?c 1 9 9 cos C ? ? ?? , 2ab 7 1 2 7 2? c? c 3 3
2 2 2

sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ?

1 3 3 ? . 28 2 7

从而 cot B ? cot C ?

cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . sin B sin C 3 9 9

2007 5、在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 45? , C ? 75? ,则 BC 等于( A ) A、 3 ? 3 B、 2 C、2 D、 3 ? 3

17(本小题满分 13 分,其中(Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)小问 4 分) 设 f ( x) ? 6 cos2 x ? 3 sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ? 3 ? 2 3 ,求 tan 17、解: (Ⅰ) f ( x) ? 6 ?

4 ? 的值. 5

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

? 2 3(

? 3 1 cos 2 x ? sin 2 x) ? 3 ? 2 3 cos( 2 x ? ) ? 3 6 2 2
最小正周期 T ?

故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ;

(Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos( 2? ? 又由 0 ? ? ? 从而 tan

?
6

2? ?? . 2

) ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos( 2? ?

?
6

) ? ?1 .

?
2



?
6

? 2? ?

?
6

?? ?

?

4 ? ? ? tan ? 3 . 5 3

6

,故 2? ?

?
6

? ? ,解得 ? ?

5? . 12

2006 (13)已知 ? , ? ? ?

3 ? ? 12 ?? ? 3? ? ? ? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? , 则 os ?? ? ? =________. 5 4 ? 13 4? ? 4 ? ? ?

(17) (本小题满分 13 分) 设函数 f(x)= 3 cos2cos+sin ? rcos ? x+a(其中 ? >0,a ? R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个 高点的横坐标为

x . 6

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)如果 f(x)在区间 ??

? ? 5? ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. , ? 3 6 ? ?


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