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专题06 轨迹方程求解方法-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(原卷版)


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【高考地位】
求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一,是用代数方法研究几何问题的基础。这类 题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容 之一。

【方法点评】 方法一
使用情景:可以直接列出等量关系式 解题步骤:第一步 式等。

) 第二步 根据公式直接列出动点满足的等量关系式,从而得到轨迹方程。 例 1 已知定点 A, B ,且 AB ? 2c?c>0 ? ,如果动点 P 到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值 a?a>0? , 求点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的轨迹。
[来源:学科网 ZXXK]

直接法

根据已知条件及一些基本公式(两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公

【变式演练 1】 已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个焦 点的距离分别为 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 P 为椭圆 C 上的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上一点, 说明轨迹是什么曲线。

OP OM

? ? ,求点 M 的轨迹方程,并

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例 2 设直线 l 垂直于 x 轴,且于椭圆 x ? 2 y ? 4 交于 A, B 两点, P 是 l 上满足 PA ? PB 的点,求点的轨迹
2 2

方程。

【变式演练 2】 已知定点 A ? ?6, 0 ? , B ? 2, 0 ? ,O 为原点, 动点 P 与线段 AO, BO 所张的角相等, 求动点 P 的 轨迹方程。

方法二
使用情景:轨迹符合某一基本轨迹的定义

定义法

解题步骤:第一步 根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹(如圆、椭圆、双 曲线、抛物线等) 第二步 直接根据定义写出动点的轨迹方程。 例 1 已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一个动点, 如果延长 F1P到Q , 使得 PQ ? PF2 那么动点 Q 的轨迹是( A、圆 ) B、椭圆 C、双曲线的一支 D、抛物线

【变式演练 1】 已知点 F ?

1 ?1 ? ,0 ? , 直线 l : x ? ? , 点 B 是直线 l 上动点, 若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 4 ?4 ?
) D、圆

的垂直平分线交于点 M ,则点 M 的轨迹是( A、双曲线 B、抛物线

C、椭圆

例 2 已知动圆 M 与圆 C1 : ?x ? 4? ? y 2 ? 2 外切,与圆 C2 : ?x ? 4? ? y 2 ? 2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹
2

2

方程。

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【变式演练 2】已知 A? ? , 0 ? , B 是圆 F : ? x ? 线交 BF 于点 P ,则动点 P 的轨迹方程是

? 1 ? 2

? ?

? ?

1? 2 ? ? y ? 4 ( F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分 2?


2

方法三

相关点法(代入法)

使用情景:动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动 解题步骤:第一步 判断动点 P ? x, y ? 随着已知曲线上的一个动点 Q x , y 的运动而运动
' '

?

?

第二步 求出关系式 x ? f ? x, y ? , y ? g ? x, y ?
' '

第 三步 将 Q 点的坐标表达式代入已知曲线方程 例 1 定点 A?3, ?POA 的平分线交 PA 于点 Q 的轨迹方程。 0? 为圆 x ? y ? 1 外一定点,P 为圆上任一点,
2 2

【变式演练 1】已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F - 3,0 ,且右顶 点为 D?2, 0? .设点 A 的坐标是 ?1, ? 。 (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程。

?

?

? 1? ? 2?

例 2 设 ?>0 ,点 A 的坐标为 ?1,1? ,点 B 在抛物线 y ? x 上运动,点 Q 满足 BQ ? ? QA ,经过点 Q 与 x 轴
2

?

?

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垂直的直线交抛物线于点 M ,点 P 满足 QM ? ? MP ,求点 P 的轨迹方程。

?

?

【变式演练 2】 A??1 , 0?,B?1 , 4? ,在平面上动点 Q 满足 QA? QB ? 4 ,点 P 是点 Q 关于直线 y ? 2?x ? 4? 的对 称点,求动点 P 的轨迹方程。

?

?

方法四

参数法

使用情景:动点的运动受另一个变量的制 约时 解题步骤:第一步 引入参数,用此参数分别表示动点的横纵坐标 x, y ; 第二步 消去参数,得到关于 x, y 的方程,即为所求轨迹方程。 例 1、已知线段 AB 的长为 a , P 点分 AB 为 AP : PB ? 2: 1 两部分,当 A 在 y 轴 正半轴运动时, B 在 x 轴 正半轴上运动,求动点 P 的轨迹方法。
[来源:学#科#网]

【变式演练 1】椭圆的准线垂直于 x 轴,离心率为 程。

1 ,并且经过点 A ?1,1? , B ? 2, 2 ? 。求椭圆中心的轨迹方 2

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例 2 过定点 A?a, b? 任作互相垂直的两 条直线 l1与l2 ,且 l1 与 x 轴交于 M ,l2 与 y 轴交于 N ,求线段 MN 中点 P 的轨迹方程。

【变式演练 2】过点 A ? ?1, 0 ? ,斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C : y ? 4 x 交于 P, Q 两点。若曲线 C 的焦点 F
2

与 P, Q, R 三点按如图所示的顺序构成平行四边形 PFQR ,求点 R 的轨迹方程。

方法五
使用情景:涉及到两曲线的交点轨迹问题

交规法

解题步骤:第一步 解两曲线方程组得到 x ? f ? t ? , y ? g ? t ? 第二步 消去动曲线中的参数。 例 1、已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左右顶点分别为 A1,A2 ,点 P? x1 , y1 ?, Q? x2 , y2 ? 是双曲线上不同的两个动 2

点,求直线 A1P与A2Q 交点的轨迹 E 的方程。

【变式演练 1 】设抛物线 y ? 2 px? p>0? 的准线为 l ,焦点为 F ,顶点为 O, P 为抛物线上任意一点,
2

PQ ? l于Q ,求 QF与OP 的交点 M 的轨迹方程。

【高考再现】

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1、 【2012.高考湖北理第 21 题】 . (本小题满分 13 分)

[来源:Z&xx&k.Com]

设 A 是单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在 直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 N , 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH ?若存在,求 m 的值;若 不存在,请说明理由.

2、 【 2012 辽 宁 高 考 理 科 第 20 题 】 椭 圆 C 0 :

x2 y2 ? ? 1?a>b>0, a, b为常数? , 动 圆 C1 : a 2 b2

x2 ? y2 ? t12 , b<t1<a ,点 A1,A2 分别为 C 0 的左右顶点,C1 和 C 0 相交于 A, B, C , D 四点。 (1) 求直线 AA1
与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程; ( 2 )设动圆 C2 :x2 +y 2 =t22 与 C0 相交于 A',B',C',D' 四点,其中 b<t2 <a , t1 ? t2 . 若矩形 ABCD 与矩形

A'B'C'D' 的面积相等,证明: t12 +t22 为定值,

3、 【 2012 四川高考理科第 21 题】(本小题 满分 12 分) 如图,动点 Q、R M 到两定点 A(?1,0) 、 B(2, 0) 构

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成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点,且 | PQ |?| PR | ,求

| PR | 的取值范围。 | PQ |

y

M

A

O

B x

4、(2011 年湖北高考理科第 19 题).(本小题满分 13 分) 如图, 在以点 O 为圆心,| AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中,OD ? AB ,P 是半圆弧上一点,?POB ? 30? , 曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P .

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F .,若△ OEF 的面积不小于 ...2 2 ,求直线 l 斜 率的取值范围

5、 【2014 高考湖北理第 21 题】 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 M 到点 F ?1,0? 的距离比它到 y 轴的距离多 1, 记点 M 的轨迹为 C .
[

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(1)求轨迹为 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点, 两个公共点,三个公共 点时 k 的相应取值范围.
[

【反馈练习】
1、 【安徽三校 2014 届 12 月联考】长为 m ? 1? m ? 0 ? 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑 动,点 M 是线段 AB 上一点,且 AM ? mMB 。 ⑴求点 M 的轨迹 ? 的方程,并判断轨迹 ? 为何种圆锥曲线; ⑵设过点 Q ?

?1 ? , 0 ? 且斜率 部位 0 的直线交轨迹 ? 于 C, D 两点。试问在 x 轴上是否存在定点 P ,使 PQ 平 ?2 ?

分 ?CPD ?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。

2、 【黑龙江双鸭山一中 2014 届 12 月月考】设 A, B 分别是直线 y ? 并且 AB ?

2 5 2 5 x和y?? x 上的两个动点, 5 5

20 ,动点满足 OP ? OA ? OB ,记动点 P 的轨迹为 C 。

⑴求曲线 C 的方程 ⑵若点 D 的坐标为 ? 0,16 ? , M , N 是曲线 C 上的两个动点,并且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围。

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3、 【安徽三校 2014 届联考】动圆 M 过定点 A 且与定圆 O 相切,那么动圆的圆心 M 的轨迹是( A、圆或椭圆 C、椭圆或双曲线或直线 B、圆或双曲线 D、圆或椭圆或双曲线或直线



[来源:Zxxk.Com]

? ? 6? 6? 25 1 2 2 ? ? y y ? ? , 4、 【河南安阳 2014 届上学期第一次调研】已知圆 C1 : ? x ? 圆 C2 : ? x ? , ? ? ? ? 2 ? 2 ? 8 8 ? ? ? ?
动圆 P 与已知两圆都外切。 ⑴求动圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程 ⑵直线 l : y ? kx ? 1 与点 P 的轨迹 E 交于不同的两个点 A, B , AB 的中垂线与 y 轴交于点 N ,求点 N 的纵 坐标的取值范围。

2

2

5. 【山东济宁鱼台二中 2014 届 3 月质量检测】 已知 A, B 为平面内两定点, 过该平面内动点 M 做直线 AB 的 垂线,垂足为 N 。若 MN ? ? AN ? NB ,其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是( ) A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线
2

[来源:Z§xx§k.Com]

6.【河北衡水中学2014届下学期期中】双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 实轴的两个顶点 A, B 为,点 P a 2 b2


为双曲线 M 上除 A, B 外的一个动点,若 QA ? PA 且 QB ? PB ,则动点 Q 的运动轨迹是( A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线


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