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正弦定理、余弦定理(第二课时)


授课:刘玉国

高考考纲要求
掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用正弦定理、余弦定理解 决三角形。本节内容是三角函数知识、三角形知识、平面向量知识、 不等式知识的综合考查,在考纲中要求“掌握”, 属最高级别要求。 同时解三角形也穿插于立体几何、解析几何以及实际问题当中。主要 有两类题型,一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换划简,然 后运用正余弦定理求值,二是与平面向量结合(主要是数量积),判 断三角形的形状或集合正余弦定理求值,试题一般为中抵挡试题,客 观题解答题均有可能出现。

重点难点
重点:正余弦定理及三角形面积公式. 难点:在已知三角形的两边和其中一边的对角情况下 解的讨论.

[例4]

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为

20 a、b、c,且atanB= ,bsinA=4. 3 (1)求cosB和a; (2)若△ABC的面积S=10,求cos4C的值.

20 分析:条件式atanB= 是边a和角B的关系式, 3 bsinA=4可通过正弦定理转化为a与B的关系式,故通过 解方程组可解出(1);由(1)的结论及S=10解方程可得c 及角C,用二倍角公式即可求得cos4C.

解析:(1)由bsinA=4,得asinB=4, 20 3 又atanB= ,∴cosB= . 3 5 4 ∵0<B<π,∴sinB= , 5 4 ∴tanB= ,故a=5. 3

1 (2)由S= acsinB=2c=10,得c=5,∴A=C. 2 ∴cos4C=2cos22C-1=2cos2(A+C)-1 32 7 =2cos B-1=2×( ) -1=- . 5 25
2

已知△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边, 且a=4,b+c=5,tanB+tanC+ 3= 3tanB· tanC,则△ ABC的面积为( 3 A. 4 3 3 C. 4 ) B.3 3 3 D. 4

解析:∵tanB+tanC+ 3= 3tanB· tanC, ∴tanB+tanC=- 3(1-tanB· tanC)? tanB+tanC =- 3?tan(B+C)=- 3, 1-tanB· tanC ∴B+C=120,∴A=60° , 将A=60° ,a=4,b+c=5代入a2=b2+c2- 2bccosA, 1 得16=25-2bc-2bc·,∴bc=3, 2 1 3 3 ∴S△ABC= bcsinA= ,故选C. 2 4
答案:C

[例5]

已知△ABC中,a、b、c分别是角A、

B、C的对边,且3sin2B+3sin2C-2sinBsinC= → AC → 3sin2A,a= 3,求AB· 的最大值.
分析:所给条件式为角的关系,又均为“二次”式, 故化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解.

解析:∵3sin2B+3sin2C-2sinBsinC=3sin2A,由正 弦定理得3b2+3c2-2bc=3a2,即3b2+3c2-3a2=2bc, b2+c2-a2 1 再由余弦定理得cosA= = . 2bc 3 ∵a= 3,∴3b2+3c2-2bc=9≥6bc-2bc=4bc, 9 ∴bc≤ ,当且仅当b=c时等号成立. 4 → · =c· cosA=bc≤3, → ∴AB AC b· 3 4 → · 的最大值为3. → 故AB AC 4

(2010·福建,19)某港口O要将一件重要物品用小艇送

到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口
O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海 里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿 直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与 轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行 速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时, 试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使

得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

解析: (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2×30t×20· cos?90° -30° ? = 900t -600t+400=
2

12 900?t- ? +300. 3

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,此时 v= =30 3. 3 1 3 即,小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇 的航行距离最小.

(2)设小艇与轮船在B处相遇,则 v2t2=400+900t2-2×20×30t· cos(90° -30° ), 600 400 故v =900- + 2 . t t
2

∵0<v≤30, 600 400 ∴900- + 2 ≤900, t t 2 3 2 即 2- ≤0,解得t≥ . t t 3

2 又t= 时,v=30. 3 2 故v=30时,t取得最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△ABC中,有OA=OB=AB=20,故 可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30° ,航行速度为30海里/小 时,小艇能以最短时间与轮船相遇.

一、选择题 1.(2010· 湖北,3)在△ABC 中,a=15,b=10,A= 60° ,则 cosB=( 2 2 A.- 3 6 C.- 3 ) 2 2 B. 3 6 D. 3

[答案] D
a b [解析] 在△ABC中,由 = 得 sinA sinB bsinA 10sin60° 3 sinB= = = , a 15 3 6 ∴cosB= 1-sin B= ,故选D. 3
2

π 2.在△ABC中,BC=2,角B= ,当△ABC的面 3 3 积等于 时,sinC=( 2 3 A. 2 3 C. 3 1 B. 2 3 D. 4 )

[答案] B

1 [解析] ∵S△ABC= AB· sinB BC· 2 1 3 3 = · 2· = ,∴AB=1. AB· 2 2 2 AB2+BC2-AC2 1 ∴cosB= = ,∴AC= 3. 2· BC AB· 2 AB 1 ∴△ABC为直角三角形,sinC= = .故选B. BC 2

3.(2010· 枣庄八中)在△ABC中,内角A、B、C π 对边的长度分别是a、b、c,已知c=2,C= ,△ 3 ABC的面积等于 3,则a,b的值分别为( A.a=1,b=4 C.a=4,b=4
[答案] D

)

B.a=4,b=1 D.a=2,b=2

[解析] 由余弦定理得,a2+b2-ab=4,又因为 1 △ABC的面积等于 3,所以 absinC= 3,∴ab=4. 2
?a2+b2-ab=4 ? 联立? ?ab=4 ?

,解得a=2,b=2.

二、填空题 4.(文)(2010· 广东)已知 a、b、c 分别是△ABC 的 三个内角 A、B、C 所对的边.若 a=1,b= 3,A+C =2B,则 sinA=________.

1 [答案] 2 [解析] ∵A+C=2B,A+B+C=180° ,∴B
=60° , asinB 1×sin60° 1 由正弦定理得,sinA= = = . b 2 3

(2010· 海淀区模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 所对 a+b 应的边分别为 a、b、c,若 a=csinA,则 的最大值 c 为______.

[答案]

2

[解析] 由a=csinA及正弦定理得sinA= sinC· sinA,从而有sinC=1,∠C=90° ,所以有a2+b2 =c2, ≤ a+b c =
?a+b? ? ?2 ? c ? ? ?



a2+b2+2ab c2

a2+b2+a2+b2 = 2. c2 当且仅当a=b时取“=”.

三、解答题 5.(2010· 全国Ⅱ文)△ABC中,D为边BC上的一点, 5 3 BD=33,sinB= ,cos∠ADC= ,求AD. 13 5

3 π [解析] 由cos∠ADC= >0知B< . 5 2 12 4 由已知得cosB= ,sin∠ADC= . 13 5 从而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)

=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB 4 12 3 5 33 = × - × = . 5 13 5 13 65 AD BD 由正弦定理得 = , sinB sin∠BAD 5 33× 13 BD· sinB 所以AD= = =25. 33 sin∠BAD 65



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