tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三一轮数学(理)复习第15讲导数在函数中的应用


第15讲 导数在函数中的应用

1 1. (2012· 广东省肇庆市期末)函数 f(x)=x+ 的单调 x 递减区间是( C ) A.(-1,1) C.(-1,0),(0,1) B.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1),(1,+∞)

1 解析:函数 f(x)=x+ 的定义域为{x|x≠0}, x 1 由 f′(x)=1- 2<

0, 得-1<x<0 或 0<x<1, 所以函数 f(x) x 的单调递减区间是(-1,0),(0,1).

2.(2012· 杭州市 3 月)如图是导函数 y=f′(x)的图象,则 下列命题错误的是( D ) A.导函数 y=f′(x)在 x=x1 处有极小值 B.导函数 y=f′(x)在 x=x2 处有极大值 C.函数 y=f(x)在 x=x3 处有极小值 D.函数 y=f(x)在 x=x4 处有极小值

解析:因为函数 y=f(x)在 x=x3 的左边递增,右边递减, 所以 y=f(x)在 x=x3 处取得极大值;函数 y=f(x)在 x=x4 的 左边递减,右边递增,所以 y=f(x)在 x=x4 处取得极小值, 故选 D.

3.函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的 最大值是 ,最小值是 .

解析:f ′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令 f ′(x)=0, 得 x=-1(x=1 舍去).而 f(-3)=-17,f(-1)=3,f(0)=1, 故 f(x)在[-3,0]的最大值是 3,最小值是-17.



函数的单调性与导数
【例 1】(2012· 山东省苍山县期末检测)已知函数 f(x)=x2+aln x. (1)当 a=-2e 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 g(x)=f(x)-2x 在[1,4]上是减函数,求实数 a

的取值范围.

解析:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 2e 2?x- e??x+ e? 当 a=-2e 时,f′(x)=2x- = . x x 由 f′(x)>0,得 x> e;由 f′(x)<0,得 0<x< e, 所以 f(x)的单调递减区间是(0, e),单调递增区间 是( e,+∞).

a (2)由 g(x)=x +aln x-2x,得 g′(x)=2x+ -2. x
2

又函数 g(x)=x2+aln x-2x 在[1,4]上是减函数, 则 g′(x)≤0 在[1,4]上恒成立, a 所以不等式 2x+ -2≤0 在[1,4]上恒成立, x 即 a≤2x-2x2 在[1,4]上恒成立. 设 φ(x)=2x-2x2,显然 φ(x)在[1,4]上为减函数, 所以 φ(x)的最小值为 φ(4)=-24, 所以 a 的取值范围是(-∞,-24].

【拓展演练 1】 (1)已知函数 f(x)=x3-ax-1. ①若 f(x)在 R 上单调递增,则 a 的取值范围是 ②若 f(x)在(-1,1)上单调递减, a 的取值范围是 则 (2)函数 y=xsin x+cos x 在下面哪个区间内是增函数( π 3π A.( , ) 2 2 3π 5π C.( , ) 2 2 B.(π,2π) D.(2π,3π) ; ; )

解析:(1)因为 f′(x)=3x2-a. ① 若 f(x) 在 R 上 单 调 递 增 , 则 f′(x)≥0 恒 成 立 , 即 3x2-a≥0 恒成立,所以 a≤0. ②若 f(x)在(-1,1)上单调递减,则 3x2-a≤0 在(-1,1)上 恒成立,即 a≥3x2 在(-1,1)上恒成立,所以 a≥3. (2)因为 y′=sin x+x· x-sin x=x· x,满足 y′>0 cos cos 3π 5π 的区间为( , ),故选 C. 2 2



函数的极值与导数
【例 2】(2012· 江苏卷改编)若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得

极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)的极值点.已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2, g(x)的极值点. 求

解析:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx, 得 f′(x)=3x2+2ax+b. 因为 1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点, 所以 f′(1)=3+2a+b=0,f′(-1)=3-2a+b=0, 解得 a=0,b=-3.

(2)由(1)得 f(x)=x3-3x. 所以 g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2), 解得 x1=x2=1,x3=-2. 因为当 x<-2 时,g′(x)<0;当-2<x<1 时,g′(x)>0, 所以 x=-2 是 g(x)的极值点. 因为当-2<x<1 或 x>1 时,g′(x)>0, 所以 x=1 不是 g(x)的极值点. 所以 g(x)的极值点是-2.

【拓展演练 2】 (1)函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则点 (a,b)为( ) B.(-4,11) D.不存在 值(填

A.(3,-3) C.(3,-3)或(-4,11)


(2)已知函数 f(x)=x· x(x∈R),则函数 f(x)有极 e “大”或“小”)为 .

解析:(1)f′(x)=3x2-2ax-b,又函数在 x=1 处有极值 10, ?f′?1?=0 ?3-2a-b=0 则? ,即? , 2 ?f?1?=10 ?1-a-b+a =10
?a=3 ?a=-4 解得? 或? . ?b=-3 ?b=11

而当 a=3, b=-3 时, f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0, 故函数 f(x)没有极值点, 而当 a=-4,b=11 时, f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1), 故存在极值点,因此选 B.

(2)因为 f′(x)=e x-x· x=e x(1-x). e 由 f′(x)=0,得 x=1. 当 x∈(-∞, 1)时, f′(x)>0; x∈(1, 当 +∞)时, f′(x)<0, 所以 f(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 1 故 f(x)有极大值为 f(1)= . e









函数的最值与导数
ln x 【例 3】已知函数 y=f(x)= . x (1)求 y=f(x)的最大值; (2)设实数 a>0,求函数 F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值.

1-ln x 解析:(1)f′(x)= . x2 令 f′(x)=0 得 x=e. 因为当 x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上为增函数; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(e,+∞)上为减函 数, 1 所以 f(x)max=f(e)= . e

(2)因为 a>0,由(1)知,F(x)在(0,e)上单调递增, 在(e,+∞)上单调递减, 所以 F(x)在[a,2a]上的最小值 F(x)min=min{F(a), F(2a)}. 1 a 因为 F(a)-F(2a)= ln , 2 2 所以当 0<a≤2 时,F(a)-F(2a)≤0, F(x)min=F(a)=ln a, 当 a>2 时,F(a)-F(2a)>0, 1 F(x)min=F(2a)= ln 2a. 2

【拓展演练 3】 a 已知函数 f(x)=ln x- (a∈R,a≠0). x 1 (1)若 a=-1,求 f(x)在[ ,e]上的最大值和最小值; e 3 (2)若 f(x)在区间[1,e]上的最小值是 ,求实数 a 的值. 2

1 解析:(1)当 a=-1 时,f(x)=ln x+ ,定义域为(0,+∞). x 1 1 x-1 由 f′(x)= - 2= 2 =0,得 x=1. x x x x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)递减; x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增. 1 1 又 f(1)=1,f( )=-1+e,f(e)=1+ , e e 1 易知 f( )>f(e)>f(1), e 1 所以 f(x)max=f( )=e-1,f(x)min=f(1)=1. e

x+a (2)由 f′(x)= 2 ,x∈[1,e]. x ①当 a≥-1 时,因为 x≥1,所以 x+a≥1+a≥0, 所以 f(x)在[1,e]上递增. 3 3 于是 f(x)min=f(1)=-a= ,得 a=- ,不成立. 2 2 ②当 a≤-e 时,而 x≤e,x+a≤e+a≤0, 所以 f(x)在[1,e]上递减, a 3 于是 f(x)min=f(e)=1- = , e 2 e 所以 a=- ,不成立. 2

③当-e<a<-1 时,在区间[1,-a]上,f′(x)<0,f(x)递减, 在区间[-a,e]上,f′(x)>0,f(x)递增, 3 所以 f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ,所以 a=- e. 2 综上得,实数 a=- e.

1.(2013· 浙江卷)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( C ) A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取得极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取得极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取得极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取得极大值

解析:当 k=1 时,f′(x)=ex-1,f′(1)≠0,则 x=1 不是函数 f(x)的极值点,排除 A、B;当 k=2 时,f′(x)=(x -1)· x(x+1)-2],令 f′(x)=0 得到两个根,一个为 1,另 [e 一个设为 x0,易知 x0<1,则函数 f(x)在(-∞,x0)和(1,+∞) 上单调递增, 在(x0,1)上单调递减, 因此 x=1 为函数 f(x)的极 小值点.

2.(2013· 福建卷)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( D ) A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点

解析:由于 x0 是 f(x)的极大值点,则存在 m<n, 且当 x0∈(m,n)时,

那么对于-x0,有

故-x0 是-f(-x)的极小值点.

3.(2012· 辽宁卷)若 x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立 的是( C ) A.e ≤1+x+x
x 2

1 1 1 2 B. ≤1- x+ x 2 4 1+x 1 2 D.ln(1+x)≥x- x 8

1 2 C.cos x≥1- x 2

1 2 1 2 解析:设 f(x)=cos x-(1- x )=cos x-1+ x , 2 2 则 g(x)=f′(x)=-sin x+x, 所以 g′(x)=-cos x+1≥0, 所以当 x∈[0,+∞)时,g(x)为增函数, 所以 g(x)=f′(x)≥g(0)=0. 1 2 同理 f(x)≥f(0)=0,所以 cos x-(1- x )≥0, 2 1 2 即 cos x≥1- x ,故选 C. 2

4.(2012· 全国卷)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰 有两个公共点,则 c=( A ) A.-2 或 2 C.-1 或 1 B.-9 或 3 D.-3 或 1

解析:因为三次函数的图象与 x 轴恰有两个公共点,结 合该函数的图象,可得极大值或者极小值为零即可满足要 求.而 f ′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当 x=± 时 f(x)取得 1 极值. 由 f(1)=0 或 f(-1)=0,可得 c-2=0 或 c+2=0, 即 c=± 2.


推荐相关:

2015高考二轮数学复习28小时第15讲等差等对比数列教师...

2015高考二轮数学复习28小时第15讲等差等对比数列教师...一. 数列与函数导数、方程、不等式、三角函数...n+2? ? n 2015 年高三文科 第 15 讲 等差数列...


(第36讲)导数的应用问题

(第14讲)构建数学模型解... (第15讲) 灵活运用...36、导数的应用 3页 免费 2010届高三一轮复习学案...但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得...


昆明市2015届高三复习教学质量检测(二)(市统测二)质量...

数学学科 昆明市 2015 届高三复习教学质量检测 ...试题在运算过程中考查考生对算理、运算法则的理解,...函数导数、单调 性、存在性 4—1 几何证明 选讲 ...


第46讲 两个原理、排列与组合

百度文库 教育专区 高中教育 数学 高三数学...第13讲 函数模型及其应用 第15讲 导数的性质 第17...2013高考数学(理)一轮复习... 7页 1财富值 【创新...


第15讲泰劳公式2009

六个常见函数的麦克劳林公式;泰勒公式的应用. 教学...可以采 理提示 用老师一边讲,学生一边练的互动方式...导数值所唯一确定. 1数学分析 I》第 15 讲...


高中数学第一轮复习 第32讲 不等式解法及应用

高中数学第一轮复习 第15... 高中数学第一轮复习...2013新课标高中数学(理)... 34页 免费 高中数学...的不等式的求解以及它在函数导数、数列中的应用。...


第32讲不等式解法及应用

高三数学第一轮复习单元讲... 暂无评价 14页 免费...的不等式的求解以及它在函数导数、数列中的应用。...例 4. (1995 全国理,16)不等式( (1) 1 3 )...


第26讲平面向量的数量积及应用

第14讲直线圆的位置关系 第15讲算法的含义程序框图...高三数学第一轮复习教案(讲座 26)—平面向量的...(2000 江西、山西、天津理,4)设 a 、 b 、 c...


有效地进行高三复习

有效地进行高三复习——谈 09 数学高考及复习策略昆...学习的最后一役;对教师而言,则是三年一轮年年 ...(数列) 、第19题 (概率,应用)、第22题(导数,不...


柳重堪高数_目录旧版118讲

讲 第13讲 第14讲 第15讲 第16讲 第17讲 第...有理分式积分 有理分式积分 积分表的使用 定积分及...幂级数在近似计算的应用复习 第八章常微分方程 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com