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山东省淄博市2013届高三上学期期末考试理科数学试题


山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试

数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题
注意事项:

共 60 分)

1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目

用铅笔涂写在答题卡上。 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再改涂其它答案标号。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.全集 U=R,集合 A ? x | x 2 ? 2 x ? 0 ,则[UA= A. ?? 2,0? C. ?? ?,?2? ? ?0,??? 【答案】B
2 【 解析】 A ? x | x ? 2 x ? 0 ? {x x ? 0或x ? ?2} ,所以 ? A ? {x ?2 ? x ? 0} ,所以选 B. U

?

?

B. ?? 2,0? D. ?0,2?

?

?

2.已知 ? ? ? ? ,

? ?

? 3 ? 4 ? ?, cos? ? ? , 则 tan( ? ? ) 等于 4 2 ? 5
B.

A.7 【答案】B 【 解 析 】 因 为

1 7

C. ?

1 7

D. ? 7

? ? ? ? , ? ?, cos? ? ? ,
1?

? ?

3 ? 2 ?

4 5

n 所 以 s i? ? ?

3 3 , tan ? ? 。 所 以 5 4

3 4 4 ? 1 ,选 B. tan( ? ? ) ? ? ? 3 7 4 1 ? tan tan ? 1 ? 4 4

?

tan

?

? tan ?

3.如果等差数列 ?an ?中, a5 ? a6 ? a7 ? 15,那么 a3 ? a4 ? ...? a9 等于 A.21 B.30 C.35 D.40

【答案】C 【 解析】由 a5 ? a6 ? a7 ? 15得 3a6 ? 15,a6 ? 5 。所以 a3 ? a4 ? ... ? a9 ? 7a6 ? 7 ? 5 ? 35 ,选 C. 4.要得到函数 y ? sin(3x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3x 的图象 A.向左平移 2 个单位 C.向左平移 【答案】D 【 解析】 因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) , 所以只需将函数 y ? sin 3x 的图象向右平移 即可得到 y ? sin(3x ? 2) 的图象,选 D. 5.“ m ? ?1 ”是“直线 mx? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.向右平移 2 个单位 D.向右平移

2 个单位 3

2 个单位 3

2 3

2 个单位, 3

1 1 时,两直线方程为 x ? ?4 和 3 x ? y ? 3 ? 0 ,此时两直线不垂 2 2 1 直。当 m ? 0 时,两直线方程为 y ? 2 和 x ? ?1 ,此时两直线垂直。当 m ? 0 且 m ? 时,两直线 2 m 2 m 3 3 3 x? , ? ,要使两直线垂直, 方程为 y ? 和 y ? ? x ? ,两直线的斜率为 1 ? 2m 1 ? 2m 1 ? 2m m m m m 3 ? (? ) ? ?1 , 则有 解得 m ? ?1 , 所以直线 mx? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂 1 ? 2m m
【 解析】当 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? 直”则有 m ? ?1 或 m ? 0 ,所以 m ? ?1 是两直线垂直的充分而不必要条件,选 A. 6.设 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 A. m / /? , n / / ? 且? / / ? , 则m / / n C. m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? 【答案】B 【 解析】根据面面垂直的性质和判断可知 B 正确。 7.函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是 B. m ? ? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n D. m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ?

【答案】A 【 解 析 】 因 为 函 数 y ? f ( x) ? x sin x 为 偶 函 数 , 所 以 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 所 以 排 除 D.

f ( ) ? sin ? ? 0 ,排除 B. f (? ) ? ? sin ? ? 0 ,排除 C,所以选 A. 2 2 2 2

?

?

?

?

x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线的斜率为 2 , 且右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3x a b
的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 A. 2 【答案】B 【 解析】抛物线的焦点坐标为 ( 3,0) 。双曲线的右焦点为 (c, 0) ,则 c ? 3 。渐近线为 y ? ? 因为一条渐近线的斜率为 2 ,所以 即 e2 ? 3, e ? 3 ,选 B. 9.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形, B. 3 C.2 D.2 3

b x, a

b ? 2 ,即 b ? 2a ,所以 b2 ? 2a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 c 2 ? 3a 2 , a

若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 A. 12? 【答案】D 【 解析】由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为 3 ? 4 ? 4 3 ,即球的半径 为 2 3 ,所以该球的表面积是 4? (2 3)2 ? 48? 。选 D. B. 24? C. 32? D. 48?

10.若 x ? 1 ? x ? 3? ? a0 ? a1 ? x ? 2 ? ? a2 ? x ? 2 ? ? a3 ? x ? 2 ? ? ??? ? a11 ? x ? 2 ? ,则
2 9 2 3 11

?

?

a1 ? a2 ? ??? ? a11 的值为
A.0 【答案】C 【 解 析 】 令 x ? 2 , 则 a0 ? (22 ? 1)(2 ? 3)9 ? ?5 。 令 x ? 3 , 则 a0 ? a1 ? ? ? ? ? 1 1 0 , 所 以 a ? , a1 ? ? ? ? ? 1 1 ? ? 0 ? ?5) 5 选 C. a a ( ? ? 11.某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗 调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动,每天只安排一项活动,并要求在周一至周五 内完成.其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天,“民俗调查”活动 不能安排在周一.则不同安排方法的种数是 A.48 【答案】C
4 2 【 解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体,共有 A4 A2 ? 48 种,把“民俗调查”安排 3 2 在周一,有 A3 A2 ? 12 ,所以满足条件的不同安排方法的种数为 48 ? 12 ? 36 ,选 C.

B. ?5

C.5

D.255

B.24

C.36

D.64

12.已知函数 f ( x) ? ? 范围是 A. k ? 2 【答案】D

?kx ? 2, x ? 0 ? k ? R? ,若函数 y ? f ? x ? ? k 有三个零点,则实数 k 的取值 ?1nx, x ? 0

B. ?1 ? k ? 0

C. ?2 ? k ? ?1

D. k ? ?2

【 解析】由 y ? f ? x ? ? k ? 0 得 f ? x ? ? ? k ? 0 ,所以 k ? 0 ,做出函数 y ? f ? x? 的图象,

, 要使 y ? ? k 与函数 y ? f ? x ? 有三个交点, 则有 ? k ? 2 , 即 k ? ?2 ,选 D.

第 II 卷(非选择题
注意事项:

共 90 分)

1.将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.已知向量 a ? (1,1), b ? (2,0) ,则 2a ? b 等于 【答案】 2 5 【 解析】 2a ? b ? 2(1,1) ? (2,0) ? (4, 2) ,所以 2a ? b ?

?

?

?

?



? ?

? ?

42 ? 22 ? 20 ? 2 5 。


14.已知三角形的一边长为 4,所对角为 60°,则另两边长之积的最大值等于 【答案】16

【 解 析 】 设 三 角 形 的 边 长 为 a, b, c 其 中 b ? 4,B ? 6 0 , 则 b ? a ? c ? 2ac cos 60 , 即
? 2 2 2 ?

16 ? a2 ? c2 ? ac ,所以 16 ? a2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ,即 ac ? 16 ,当且仅当 a ? c ? 4 时取等
号,所以两边长之积的最大值等于 16.

?x ? y ? 1 ? 0 ? 15.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
【答案】2



x z 做出不等式对应的平面区域如图 BCD,平移直线 y ? 2 x ? z , 【 解析】 z ? 2 x ? y , y ? 2 ? , 设 则
由图象可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 C (1, 0) 时, 直线 y ? 2 x ? z 的截距最小, 此时 z 最大, C (1, 0) 把

代入直线 z ? 2 x ? y 得 z ? 2 ,所以 2 x ? y 的最大值为为 2. 16.若函数 f (x) 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内的任意 x, f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 恒成立,则称

f (x) 为 m 函数,现给出下列函数:
①y?

1 ; x

② y ? 2x ;

③ y ? sin x ;

④ y ? 1nx

其中为 m 函数的序号是 【答案】②③ 【 解 析 】 ① 若 f ( x) ?

。(把你认为所有正确的序号都填上)

1 1 1 1 ? ? , 则 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 , 即 x x?m x m

1 1 1 ?m ,所以不存在常数 m 使 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 成立,所以①不是 m ? ? ? m x ? m x x ( x ? m)
函数。②若 f ( x) ? 2 x ,由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f ( m) 得, 2( x ? m) ? 2 x ? 2m ,此时恒成立,所以 ② y ? 2 x 是 m 函数。 ③若 f ( x) ? sin x , f (x ? ) ?f ( ) ? m ) 由 m x f ( 得 sin( x ? m) ? sin x ? sin m ,

所以当 m ? ? 时, f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 成立,所以③ y ? sin x 是 m 函数。④若 f ( x) ? 1nx , 则由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 ln( x ? m) ? ln x ? ln m ,即 ln( x ? m) ? ln mx ,所以 x ? m ? mx , 要使 x ? m ? mx 成立则有 ? 序号是②③。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos( ?x ?

?m ? 1 ,所以方程无解,所以④ y ? 1nx 不是 m 函数。所以为 m 函数的 ?m ? 0

?

) ? cos( ?x ? ) ? sin ?x(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 2? 。 6 6

?

(I)求函数 f (x) 的对称轴方程; (II)若 f (? ) ?

? 6 ,求 sin( ? 2? ) 的值。 3 3

18.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ?为等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? bn ? 2 。 (I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (II)若 cn ?

an ?n ? N ? ? , Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 Tn 。 bn

19.(本小题满分 12 分)

如 图 , 五 面 体 中 , 四 边 形 ABCD 是 矩 形 , DA ? 面 ABEF , 且 DA=1 , AB//EF ,

AB ?

1 EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点。 2

(I)求证:PQ//平面 BCE; (II)求证:AM ? 平面 ADF; (III)求二面角,A—DF—E 的余弦值。 20.(本小题满分 12 分) M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的 测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作”. (I)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (II)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人 数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

21.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? x1nx ? ax ? x?a ? R? 。
2

(I)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (II)若函数 f (x) 的图象在直线 y ? ? x 图象的下方,求 a 的取值范围; (III)求证: 2013
2012

? 20122013 .

21.(本小题满分 12 分)

? ? ? ???? ? ???? ? 为 Q,点 M 满足 PM ? ? 2 ? 1? MQ ,点 M 的轨迹为 C.
已知两定点 E ? 2, 0 , F (I)求曲线 C 的方程;

?

??? ??? ? ? 2, 0 ,动点 P 满足 PE ? PF ? 0 ,由点 P 向 x 轴作垂线 PQ,垂足

(II)若线段 AB 是曲线 C 的一条动弦,且 AB ? 2 ,求坐标原点 O 到动弦 AB 距离的最大值.


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