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数学百题训练


2015 年暑假新高二百题训练 (第一部分)
1.(5 分)如果扇形圆心角的弧度数为 2,圆心角所对的弦长也为 2,那么这个扇形的面积是 A. B. C. D.

2.(5 分)半径为 10cm,面积为 100cm2 的扇形中,弧所对的圆心角为() A. 2 弧度 B. 2° C. 2π弧度 D. 10 弧度

3.(5 分)已知

弧长 28cm 的弧所对圆心角为 240°,则这条弧形所在扇形的面积为() A. 336π B. 294π C. D.

4.(3 分)下列各命题正确的是() A. 终边相同的角一定相等 C. 锐角都是第一象限角 B. 第一象限角都是锐角 D. 小于 90 度的角都是锐角 ()

5.(5 分)若α为第三象限角,则下列各式中不成立的是 A. tanα﹣sinα<0 B. sinα+cosα<0 6.

C. cosα﹣tanα<0 D. tanαsinα<0

(5 分)若角α的终边落在直线 y=3x 上,则 cosα的值为() A. ± B. ± C. ± ,则 sinα?cosα的值为() C.
x

D. ±

7.(5 分)已知 sinα+cosα= A. B. ﹣

D. ﹣

8.(5 分)已知角α的终边过点 P(2 ,﹣6) ,且 tanα=﹣ ,则 x 的值为() A. 3 B. ﹣3 C. ﹣2 =() C. ﹣1 D. ﹣2 D. 2

9.(5 分)已知 tanα=3,则 A. 1 B. 2

10.(5 分)已知 tanθ=2,则 sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=() A. ﹣ B. C. ﹣ D.

11.(5 分)已知角α的终边过点(﹣3,4) ,则 cosα=() A. B. C. D.

1

12. (5 分) 已知向量 = (cosθ, sinθ) , = (1,﹣2) , 若 ∥ , 则代数式 的值是() A. B. C. 5 ,则 sinα=() C. ,则 sina=() B. C. D. D. D.

13.(4 分)α是第四象限角, A. 14.(5 分)已知 A. B.

15.(5 分)cos210°的值为() A. B. C. ﹣α)等于() C. D. ﹣ D.

16.(5 分)已知 sinα= ,则 cos( A. 17.(5 分)sin( A. B. ﹣

)的值等于() B. C. = ,则则 tan(α+β)=() C. D. ﹣ =() C. D. D.

18.(5 分)已知 tanα=4, A. B. ﹣

19.(5 分)若均α,β为锐角, A. B.

20.(5 分)已知α,β均为锐角,且 3sinα=2sinβ,3cosα+2cosβ=3,则α+2β的值为 A. B.
2

C.

D. π

21.(5 分)若函数 f(x)=sin x﹣ (x∈R) ,则 f(x)是() A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为π的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数 ,则 tan2θ值为()

C. 最小正周期为 2π的偶函数 22.(5 分)已知 sinθ+cosθ=

2

A.

B.

C.

D.

23.(5 分)化简 A. 1 24. (5 分) 使函数 是减函数的θ的一个值是() A. B. B. 2

=()

C.

D. ﹣1 是奇函数, 且在 上

C.

D.

25.(5 分)已知 tan2α=﹣2

,且满足

<α<

,则

的值为()

A.

B. ﹣

C. ﹣3+2

D. 3﹣2

26.(5 分) (2015?陕西校级二模)已知 =(cos40°,sin40°) , =(cos80°,﹣sin80°) , 则 ? =( A. 1 B. ) C. ﹣ D.

27.已知锐角 ? , ? 满足: cos ? ? A. ?

1 2

B.

1 2

1 1 , cos(? ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? ? ) ? 3 3 1 23 C. ? D. 27 3


28.设 ? ? (0,

?

? 1 ? sin 2 ? ,则下列结论中正确的是( ), ? ? (0, ) ,且 tan ? ? 2 4 cos 2 ? ?
4
B. 2? ? ? ? D.

A. 2? ? ? ? C.

? ?
4

? ?? ?

?
4

? ?? ?

4

29.(5 分)函数在 f(x)=sinx﹣ax∈[ A. [ ,1)
x

,π]上有 2 个零点,则实数 a 的取值范围() C. ( ,1) D. ( ,1)

B. [0,



30.(5 分)求满足 2 (2sinx﹣ A. (0, ) B. [ ,

)≥0,x∈(0,2π)的角α的集合() ] C. [ , ] D. [ , ]

31.(5 分)下面四个选项大小关系正确的是()

3

A. sin

<sin

B. sin

>sin

C. cos

>cos

D. cos

<cos

32.(5 分)已知函数①y=sinx+cosx,②y=2 A. 两个函数的图象均关于点(﹣

sinxcosx,则下列结论正确的是()

,0)成中心对称 个单位即得②

B. ①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,再向右平移 C. 两个函数在区间(﹣ , )上都是单调递增函数

D. 两个函数的最小正周期相同 33. (5 分)不是函数 y=tan(2x﹣ A. ( ,0) B. ( )的对称中心的是() ,0) C. ( ,0) D. ( ,0)

34.(5 分)使函数 f(x)= 个θ值是() A. 35.(5 分)若 A. b>a>c B.

cos(2x+θ)+sin(2x+θ)为奇函数,且在上是减函数的一

C.

D. ,则有()

B. a>b>c

C. b>c>a

D. a>c>b

36.(5 分)已知函数 f(x)= 交点的距离等于 A. ,k∈Z C.

sinωx+cosωx(ω>0) ,y=f(x)的图象与 x 轴两个相邻

,则 f(x)的单调递增区间是() B. D. 在一个周期内的图象如图所

37.(5 分)若函数 y=Asin(ωx+φ) , (A>0,ω>0,|φ|< 示,M,N 分别是这段图象的最高点和最低点,且 ?

(O 为坐标原点) ,则 A=()

A.

B.

C.

D.

4

38.(5 分)为了得到函数 y=cos(2x+ A. 向左平行移动 C. 向右平行移动 个单位长度 个单位长度

) ,x∈R 的图象,只需把函数 y=cos2x 的图象() B. 向左平行移动 D. 向右平行移动 个单位长度 个单位长度

39.(5 分)要得到函数 y=sin(2x+ A. 向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位

)得图象,只需将 y=sin2x 的图象() B. 向右平移 D. 向左平移 个单位 个单位

40.(5 分)把函数 y=2sin(2x+

)的图象向右平移

个单位,再把所得图象上各点的横

坐标扩大为原来的 2 倍,则所得的函数的解析式是() A. y=2sin(x+ ) B. y=2sin(x+ ) C. y=2sinx D. y=2sin4x 个单位,得到的图象的函数

41.(4 分)将函数 y=sin(2x+ 解析式是() A. y=sin(2x+

)图象上的所有点向左平移

) B. y=sin(2x+

) C. y=sin(2x﹣

) D. y=sin2x

42.(5 分)要得到函数 y=sin(2x﹣ A. 向右平移

)的图象,可由函数 y=sinx()

个单位长度,再将图象上所有点横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度

B. 将图象上所有点横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 C. 向右平移

个单位长度,再将图象上所有点横坐标变为原来的 ,纵坐标不变 个单位长度 ,

D. 将图象上所有点横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,再向右平移 43. (5 分) 若将函数 f (x) =2sin (3x+φ) 图象向右平移

个单位后得到的图象关于点 (

0)对称,当|φ|取最小值时,函数 f( x)在上的最大值是() A. 1 B. C. D. 2 )的部分图象如图示,则

44.(5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>) ,|φ|< 将 y=f(x)的图象向右平移

个单位后,得到的图象解析式为()

5

A. y=sin2x

B. y=cos2x

C. y=sin(2x+

) D. y=sin(2x﹣



45.(5 分)若函数 y=cos(3x+ A. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递减

)的最小正周期为 T,则函数 y=3sin(2x﹣T)的图象() B. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增 )的图象如图所示,为了得

46.(5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< 到 g(x)=sin2x 的图象,则只要将 f(x)的图象()

A. 向右平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D. 向左平移

个单位长度 个单位长度 =()

47.(5 分)如图,正方形中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点.那么

A.

B.

C. =2 , =

D. ,则λ=() D. ﹣ =()

48.(5 分)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 A. B. C. ﹣

49.(5 分)如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则

6

A.



B.



C.

+

D.

+

50.(5 分)已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) ,且 ⊥ ,则 m=() A. 1 B. 4 C. ﹣4 D. ﹣1

(第一部分)
1.(5 分)已知向量 则 k=() A. ﹣ B. = , C. ﹣ = .若点 D 满足 C. D. =() D. ,则 ? 的值是() D. ±4 =(k,12) , =(4,5) , =(﹣k,10) ,且 A、B、C 三点共线,

2.(5 分)在△ABC 中, A. + B.

3.(5 分)已知| |=1,| |=4,且 与 的夹角为 A. 2 B. ±2 C. 4

4.(5 分)设向量 =(﹣2,1) , =(λ,﹣1) (λ∈R) ,若 、 的夹角为钝角,则λ的取 值范围是() A. (﹣∞,﹣ ) +∞) 5.(5 分)如图,在△ABC 中, 的值为() ,P 是 BN 上的一点,若 ,则实数 m B. (﹣ ,+∞) C. ( ,+∞) D. (﹣ ,2)∪(2,

7

A.

B.

C. 1

D. 3

6.(4 分)已知 =(x,3) , =(3,1) ,且 ⊥ ,则 x 等于() A. ﹣1 B. ﹣9 C. 9 = C. (6,2)
2

D. 1 ,则点 N 的坐标为() D. (﹣2,0)

7.(5 分)已知点 M(5,﹣6)和向量 A. (2,0) B. (﹣3,6)

8.(5 分)已知| |=2| |≠0,且关于 x 的方程 x +| |x+ ? =0 有实根,则向量 与 的夹 角的取值范围是() A. B. C. D.

9.(5 分)非零向量 和 满足 2| |=| |, ⊥( + ) ,则 与 的夹角为() A. B. C. D. , ],则| + |的取值

10.(5 分)已知向量 =(1,0) , =(cosθ,sinθ) ,θ∈[﹣ 范围是() A. [0, ] B. [0, ] C. [1,2]

D. [

,2] |=()

11.(5 分)如图所示,矩形 ABCD 中,AB=4,点 E 为 AB 中点,若

,则|

A.

B. 2

C. 3

D. 2

12.(3 分)已知向量 =(cosθ,0) , =(1,﹣2) ,则| ﹣ |的最大、最小值分别是() A. 2 与2 B. 2 与 C. 与2 D. 8 与 4

13.(5 分)沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()

8

A.

B.

C.

D.

14.(5 分)一几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是()

A. 32﹣

B. 32﹣

C. 32﹣16π

D. 32﹣32π

15.(5 分)已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

16.(5 分)老师在班级 50 名学生中,依次抽取班号为 4,14,24,34,44 的学生进行作业 检查,老师运用的抽样方法是() A. 随机数法 B. 抽签法 C. 系统抽样 D. 以上都是

17.(3 分)将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,…,600,采用系统抽样的方法 抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的编号为 003.这 600 名学生分住在 3 个营区,从 001 到 300 住在第 1 营区,从 301 到 495 住在第 2 营区,从 496 到 600 住在第 3 营区,则 3 个营区被抽中的人数依次为() A. 26,16,8 B. 25,16,9 C. 25,17,8
9

D. 24,17,9

18.(3 分)为了了解某地区 10000 名高三男生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17~18 岁的高三男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如图.根据图示,请你估计该地区高 三男生中体重在 kg 的学生人数是()

A. 40

B. 400

C. 4 000

D. 4 400

19.(3 分)一个学校高三年级共有学生 200 人,其中男生有 120 人,女生有 80 人,为了调 查高三复习状况,用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为 25 的样本,应抽取 女生的人数为() A. 20 B. 15 C. 12 D. 10

20.(5 分)若向半径为 1 的圆内随机撒一粒米,则它落到此圆的内接正方形的概率是( ) A. B. C. D.

21.如图,圆 C 内切于扇形 AOB,∠AOB= 概率为( )

,若在扇形 AOB 内任取一点,则该点在圆 C 内的

A.

B.

C.

D. )

22.若实数 a,b 满足 a2+b2≤1,则关于 x 的方程 x2﹣2x+a+b=0 有实数根的概率是( A. B. C. D.

23.在区间

上随机取一个数 ,则事件“

”发生的概率为(



A. 24.(5 分)在△ABC 中,

B. = ,

C. = ,若点 D 满足
10

D. ,则 = (用向量 、

=2

表示) . 25.(5 分)函数 f(x)=loga(x+1)﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标 是 . ) ,则 f(4)= .

26.(5 分)幂函数 y=f(x)过点(2,

27.(5 分)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足 f(2x﹣1)>f( ) 的 x 的取值范围是 . 0.53. (填>、<或=) .

28.(5 分)比较大小:log27

29. (5 分) 设f (x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f (x) =2x+2x+m, 则f (﹣1) = 30.(5 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=1+2x,则 = .

31.已知 a, b 是单位向量, a ?b ? 0 .若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1, 则 c 的最大值是 ______ 32.(5 分)如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则 = .

? ?

?

?

?

?

?

33.(16 分)已知向量 ①若向量 与向量 ②若向量 与向量

, =(1,﹣2) , 垂直,求实数 k 的值 共线,求实数 k 的值

③设向量 与 的夹角为α, 与 的夹角为β, 是否存在实数 k 使α+β=π?求实数 k 的值, 若不存在说明理由? 34. (14 分)已知函数 f(x)=2x+2﹣x, (1)判断函数的奇偶性; (2)用函数单调性定义证明:f(x)在(0,+∞)上为单调增函数; (3)若 f(x)=5?2﹣x+3,求 x 的值.

11

35. (14 分)已知函数 .

(1)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明:函数 f(x)在 内是增函数.

36. (14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P(1,2cos2θ)在角α的终边上,点 Q(sin2θ, ﹣1)在角β的终边上,且满足 (1)求点 P,Q 的坐标; (2)求 cos(α﹣2β)的值. ? =﹣1

37. (12 分) (1)已知 log142=a,用 a 表示 (2)已知 sin(3π+α)=2sin( 7. 的值.

+α) ,求

38. (14 分)已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间; (3)求 f(x)在 上的最值及取最值时 x 的值. .

12

39. (14 分)已知函数 f(x)=2sin(2x+ (1)求 f( (2)若 f( 值. )的值; ﹣ )= ,α∈[ ,π],β∈[0, ],cosβ= ,求 sin(α+β)的 ) ,x∈R.

40. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+ (1)求ω的值; (2)在给定的平面直角坐标系中,画出函数 f(x)在区间[0,π]上的图象; (3)求函数 f(x)的最大值,并写出使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. ) (ω>0,x∈R)的最小正周期为π.

13

41. (12 分)已知向量 (1)设 (2)若 =4 + + =(1,2) , =(2,﹣2) . ;

,求 与

垂直,求λ的值; 方向上的投影.

(3)求向量



42. (14 分)已知| |=4,| |=3, (1) ( +2 )?(2 ﹣ )的值; (2)|2 ﹣ |的值. 的夹角θ为 60°,求:

43. 如图所示,在 ?ABO 中, OC ?

???? 1 ??? ? ???? 1 ??? ? OA, OD ? OB , AD 与与 BC 相交于点 M ,设 4 2 ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? OA? a , OB ? b ,试用 a 和 b 表示向量 OM .

14

44. 已 知 ?OAB 的 顶 点 坐 标 为 O (0, 0) , A(2,9) , B (6, ?3) , 点 P 的 横 坐 标 为 14 , 且

??? ? ??? ? ???? ??? ? OP ? ? PB ,点 Q 是边 AB 上一点,且 OQ ? AP ? 0 .
(1)求实数 ? 的值与点 P 的坐标; (2)求点 Q 的坐标; (3)若 R 为线段 OQ (含端点)上的一个动点,试求 RO ? ( RA ? RB ) 的取值范围.

??? ? ??? ? ??? ?

45. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1,A1A⊥底面 ABC,且△ABC 为正三角形,A1A=AB=6,D 为 AC 中点. (Ⅰ)求三棱锥 C1﹣BCD 的体积; (Ⅱ)求证:平面 BC1D⊥平面 ACC1A1; (Ⅲ)求证:直线 AB1∥平面 BC1D.

15

46. (本小题满分 12 分) 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个, 标号为 2 的小球 n 个.若从袋子中随机抽取 1 个小球, 取到标号为 2 的小球的概率是 (I)求 n 的值; (II)从袋子中不放回地随机抽取 2 个球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小 球标号为 b. ①记“ 2 ? a ? b ? 3 ”为事件 A,求事件 A 的概率; ②在区间 ? 0, 2? 内任取 2 个实数 x, y ,求事件“ x ? y ? ? a ? b ? 恒成立”的概率.
2 2 2

1 . 2

47. (本小题满分 12 分) 某区体育局组织篮球技能大赛,每名选手都要进行运球、 传球、 投篮三项比赛,每名选手在各 项比赛中获得合格与不合格的机会相等,且互不影响. 现有 A, B , C , D , E , F 六名选手参加比 赛,体育局根据比赛成绩对前 2 名选手进行表彰奖励. (Ⅰ)求 A 至少获得一个合格的概率; (Ⅱ)求 A 与 B 只有一个受到表彰奖励的概率.

16

48.(本小题满分 12 分)移动公司在国庆期间推出 4G 套餐,对国庆节当日办理套餐的客户 进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可获得 优惠 500 元, 选择套餐三的客户可获得优惠 300 元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如 图所示,现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率; (2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人,再 从该 6 人中随机选两人,求这两人获得相等优惠金额的概
入网人数

150 100 5 0 套餐1 套餐2 套餐3
套餐种类

49.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? h ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) .在一个周期内,当 x ?

?
12

时,

y 取得最大值 6 ,当 x ?

7? 时, y 取得最小值 0 . 12

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间与对称中心坐标; (3)当 x ? ? ?

? ? ?? 时,函数 y ? mf ( x) ? 1 的图像与 x 轴有交点,求实数 m 的取值范围. , ? 12 6 ? ?

17

50.(本题满分 14 分)已知 f ( x) ?

3 sin 4 x ? (sin x ? cos x) 2 ? 3 cos 4 x

(1)求 f ( x) 的最小值及取最小值时 x 的集合; (2)求 f ( x) 在 x ? [0, (3)求 f ( x) 在 x ? [ ?

?
2

] 时的值域;

? ?

, ] 时的单调递减区间 2 2

18


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