tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

集合与常用逻辑用语(1)


第一章

集合与常用逻辑用语

Page 1 of 59



[考情展望]

第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念与运算 1.给定集合,直接考查集合的交、并、补集的运算.2.与方程、

不等式等知识相结合,考查集合的交、并、补集的运算.3.利用集合

运算的结果, 考查集合间的基本关系.4.以新概念或新背景为载体,考查对新情境的应变能力.
固本:一、集合的基本概念

1.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系:属于或不属于,表示符号分别为∈和?. 3.常见数集的符号表示: 集合 表示 自然数集 N 正整数集 N+(N*) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

4.集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn 图法. 描述法的一般形式的结构特征 在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中,“x”是集合中元素的代表形式,I 是 x 的 范围,“p(x)”是集合中元素 x 的共同特征,竖线不可省略. 二、集合间的基本关系 1.子集:若对?x∈A,都有 x∈B,则 A?B 或 B?A. 2.真子集:若 A?B,但?x∈B,且 x?A,则 A B 或 B A. 3.相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. 4.空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 子集与真子集的快速求解法 一个含有 n 个元素的集合有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,有 2n-2 个非空 真子集. 三、集合的基本运算 并集 符号 表示 图形 表示 A∪B 交集 A∩B 补集 若全集为 U,则集合 A 的 补集为?UA

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 2 of 59



意义

{x|x∈A,或 x∈ B}

{x|x∈A,且 x∈ B}

?UA={x|x∈U,且 x?A}

1.集合间的两个等价转换关系 (1)A∩B=A?A?B; (2)A∪B=A?B?A. 2.集合间运算的两个常用结论: (1)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); (2)?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

1.已知集合 A={0,1},则下列式子错误的是( A.0∈A C.??A 【解析】 【答案】 B.{1}∈A D.{0,1}?A

)

∵{1}?A,∴{1}∈A 错误,其余均正确. B )

2.已知集合 A={x|x>1},B={x|-1<x<2},则 A∩B=( A.{x|-1<x<2} C.{x|-1<x<1} 【解析】 B.{x|x>-1} D.{x|1<x<2}

∵A={x|x>1},B={x|-1<x<2},

∴如图所示,A∩B={x|1<x<2}.

【答案】

D )

3.已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则( A.M?N C.M∩N={2,3} 【解析】 B.N=M D.M∪N=(1,4)

∵N={x∈Z|1<x<4}={2,3},

∴M∩N={2,3}.
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 3 of 59



【答案】

C )

4. 集合 A={0,2, a}, B={1, a 2 }, 若 A∪B={0,1,2,4,16}, 则 a 的值为( A.0 【解析】 B.1 C.2 D.4

∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},

2 ?a =16, ∴? ∴a=4,故选 D. ?a=4.

【答案】

D

5.(2013· 山东高考)已知集合 A,B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪ B)={4},B={1,2},则 A∩(?UB)=( A.{3} C.{3,4} 【解析】 ) B.{4} D.? ∵U={1,2,3,4},?U(A∪B)={4},

∴A∪B={1,2,3}. 又∵B={1,2},∴{3}?A?{1,2,3}. 又?UB={3,4},∴A∩(?UB)={3}. 【答案】 A

6.(2013· 江苏高考)集合{-1,0,1}共有________个子集. 【解析】 【答案】
突破考向

由于集合中有 3 个元素,故该集合有 23=8(个)子集. 8

考向一 [001]

集合的基本概念

(1)(2013· 山东高考)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y ∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 ) C.5 D.9

(2)(2014· 柳州模拟)已知集合 A={m+2,2m2+m,-3},若 3∈A,则 m 的值 为________. 【思路点拨】 (1)用列举法把集合 B 中的元素一一列举出来.

(2)先由 m+2=3 或 2m2+m=3 求得 m 的值, 再检验集合中的元素是否满足 互异性.
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 4 of 59



【尝试解答】

(1)方法一:

当 x=0,y=0 时,x-y=0; 当 x=0,y=1 时,x-y=-1; 当 x=0,y=2 时,x-y=-2; 当 x=1,y=0 时,x-y=1; 当 x=1,y=1 时,x-y=0; 当 x=1,y=2 时,x-y=-1; 当 x=2,y=0 时,x-y=2; 当 x=2,y=1 时,x-y=1; 当 x=2,y=2 时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B 中元素有 0,- 1,-2,1,2,共 5 个. 方法二:如下表所示: x y 0 1 2 0 0 -1 -2 1 1 0 -1 2 2 1 0

∴x-y 的值只有-2,-1,0,1,2,共 5 个. 3 (2)∵3∈A,∴m+2=3 或 2m2+m=3,解得 m=1 或 m=-2. 3 当 m=1 时,m+2=2m2+m=3,不满足集合元素的互异性,当 m=-2时,
? ? 1 3 A=?-3,2,3?满足题意.故 m=-2. ? ?

【答案】 规律方法 1

(1)C

3 (2)-2

1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再

看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其它的集合. 2.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满 足互异性. 对点训练 (1)(2014· 深圳模拟)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y )
破难点 拿能力分

∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为(
抓基础 固根源 保基础分 攻考点

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 5 of 59



A.3

B.6

C.8

D.10

(2) 已知集合 A = {x|ax2 - 3x + 2 = 0} ,若 A = ? ,则实数 a 的取值范围为 ________. 【解析】 (1)因为 A={1,2,3,4,5},所以集合 A 中的元素都为正数,若 x-y ∈A,则必有 x-y>0,即 x>y. 当 y=1 时,x 可取 2,3,4,5,共有 4 个数; 当 y=2 时,x 可取 3,4,5,共有 3 个数; 当 y=3 时,x 可取 4,5,共有 2 个数; 当 y=4 时,x 只能取 5,共有 1 个数; 当 y=5 时,x 不能取任何值. 综上,满足条件的实数对(x,y)的个数为 4+3+2+1=10,即集合 B 中的元 素共有 10 个,故选 D. (2)∵A=?,∴方程 ax2-3x+2=0 无实根, 2 当 a=0 时,x=3不合题意, 9 当 a≠0 时,Δ=9-8a<0,∴a>8. 【答案】 ?9 ? (1)D (2)?8,+∞? ? ? 考向二 [002] 集合间的基本关系
014

? ? b (1)已知 a∈R,b∈R,若?a,a,1?={a2,a+b,0},则 a2 ? ?

+b2

014

=________. (2)已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, B={x|m+1≤x≤2m-1}, 若 A∪B=A, 则实数 m 的取值范围是________. 【思路点拨】 从而 a,b 可求. (2)A∪B=A?B?A,分 B=?和 B≠?两种情况求解. 【尝试解答】 b (1)由已知得a=0 及 a≠0,所以 b=0,
? ? b (1)0∈?a,a,1?,则 b=0,1∈{a2,a,0},则 a2=1,a≠1, ? ?

于是 a2=1, 即 a=1 或 a=-1.又根据集合中元素的互异性可知 a=1 应舍去,

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 6 of 59



因此 a=-1, 故 a2 014+b2 014=(-1)2 014=1. (2)A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 又 A∪B=A,所以 B?A. ①若 B=?,则 2m-1<m+1,此时 m<2.

?2m-1≥m+1, ②若 B≠?,则?m+1≥-2, ?2m-1≤5.
【答案】 规律方法 2 (1)1 (2)(-∞,3]

解得 2≤m≤3.

由①、②可得,符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.

1.解答本例?2?时应注意两点:一是 A∪B=A?B?A;二是 B?

A 时,应分 B=?和 B≠?两种情况讨论. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区 间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常合理利用数轴、 Venn 图化抽象为直观. 对点训练 (1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N}, ) D.4

则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( A.1 B.2 C .3

(2)若集合 M={x|x2+x-6=0},N={x|ax+2=0,a∈R},且 M∩N=N,则 实数 a 的取值集合是________. 【解析】 (1)由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,

∴A={1,2}. 由题意知 B = {1,2,3,4} ,∴满足条件的 C 可为 {1,2} , {1,2,3} , {1,2,4} , {1,2,3,4}. (2)因为 M∩N=N,所以 N?M.又 M={-3,2}, 若 N=?,则 a=0. 若 N≠?,则 N={-3}或 N={2}. 2 所以-3a+2=0 或 2a+2=0,解得 a=3或 a=-1.
? 2? 所以 a 的取值集合是?-1,0,3?. ? ? 抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 7 of 59



【答案】

? 2? (1)D (2)?-1,0,3? ? ?

考向三 [003]

集合的基本运算

(1)(2014· 湖南师大附中模拟 ) 设集合 A = {1,2,3,5,7} , B = {x ∈ Z|1 < x≤6},全集 U=A∪B,则 A∩(?UB)等于( A.{1,4,6,7} C.{1,7} (2)(2014· 烟台模拟)设全 )

B.{2,3,7} D.{1}

图 1-1-1 集 U=R,M={x|x2+3x<0},N={x|x<-1},则图 1-1-1 中阴影部分表 示的集合为( ) B.{x|-3<x<0} D.{x|-1≤x<0} (1)求 B→求 A∪B→求?UB→求 A∩(?UB).

A.{x|x≥-1} C.{x|x≤-3} 【思路点拨】

(2)求 M→分析阴影区域表示的集合→借助数轴求该集合. 【尝试解答】 (1)∵B={x∈Z|1<x≤6}={2,3,4,5,6}.

又 A={1,2,3,5,7} . ∴A∪B={1,2,3,4,5,6,7}. ∴?UB={1,7}.∴A∩(?UB)={1,7}. (2)∵M={x|x2+3x<0}={x|-3<x<0},N={x|x<-1} ∴?UN={x|x≥-1}. 又由 Venn 图可知,该阴影部分表示的集合为 M∩(?UN). 所以 M∩(?UN)={x|-1≤x<0}. 【答案】 规律方法 3 (1)C (2)D

1.求解本例?2?的关键是明确阴影区域元素的属性.

2.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一 般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表 示时要注意端点值的取舍.
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 8 of 59



对点训练 则(?RS)∪T=( A.(-2,1]

(1)(2013· 浙江高考)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0}, ) B.(-∞,-4] D.[1,+∞)

C.(-∞,1]

图 1-1-2 (2)如图 1-1-2,已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 A={2,3,4,5,6,8},B = {1,3,4,5,7} , C = {2,4,5,7,8,9} ,用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ________. 【解析】 (1) 因为 S = {x|x >- 2} ,所以 ? RS = {x|x≤ - 2} .而 T = {x| -

4≤x≤1},所以(?RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. (2)由图可知,该阴影部分表示的集合为 A∩C∩(?UB). 又 A∩C={2,4,5,8},?UB={2,6,8,9,10}, 故 A∩C∩(?UB)={2,8}. 【答案】 (1)C (2){2,8}

思想方法之一

数形结合思想在集合中的妙用

数形结合思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象 思维与形象思维相结合,使问题化难为易、化抽象为具体. 数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面: (1)利用 Venn 图,直观地判断集合的包含或相等关系. (2)利用 Venn 图,求解有限集合的交、并、补运算. (3)借助数轴,分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运 算结果及所含参变量的取值范围问题. ———— [1 个示范例] ———— [1 个对点练] ————

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 9 of 59



(2012· 天津高考)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈ R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n=________. 【解析】 ∵A={x|-5<x<1},B={x|(x-m)(x-2)<0},

且 A∩B={x|-1<x<n}. 如图所示

由图可知 A∩B={x|-1<x<1}, 故 n=1, m=-1.,

设 A={x|-2<x<-1,

或 x>1},B={x|x2+ax+b≤0}.已知 A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3}, 则 a=________,b=________. 【解析】 如图所示.

设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动,显然当且仅当 B 覆盖住集合{x|- 1≤x≤3}时符合题意. 根据一元二次不等式与一元二次方程的关系,可知-1 与 3 是方程 x2+ax+ b=0 的两根, ∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3. 【答案】 -2 -3

(一 )

集合的概念与运算检测课时限时
(时间:60 分钟 满分:80 分) 命题报告

考查知识点及角度 集合的有关概念 集合间的关系 集合的运算 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

题号及难度 基础 3,7,10 中档 8 5 1,2 4,11 9,12 6 稍难

1.(高考)已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B=(
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

)

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 10 of 59



A.{0} 【解析】 B

B.{-1,0}

C.{0,1}

D.{-1,0,1}

∵A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},∴A∩B={-1,0}. 【答案】

2.(模拟)设集合 A={1,2,3},B={4,5},C={x|x=b-a,a∈A,b∈B},则 C 中元素的个数是( A.3 【解析】 {1,2,3,4}, ∴C 中共有 4 个元素. 【答案】 B ) B.4 ) C.5 D.6

∵ A = {1,2,3} , B = {4,5} ,∴ C = {x|x = b - a , a ∈ A , b ∈ B} =

3.(高考)若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( A.4 B.2 C.0 D.0 或 4

【解析】 当 a=0 时,方程化为 1=0,无解,集合 A 为空集,不符合题意; 当 a≠0 时,由 Δ=a2-4a=0,解得 a=4.【答案】 A

4.已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部 分所表示的集合为( )

图 1-1-1 A.{0,1} 【解析】 B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}

图中阴影部分所表示的集合为 A∩(?UB), B )

又?UB={x|x<2},A={1,2,3,4,5},∴A∩(?UB)={1}. 【答案】

5. (课标全卷Ⅰ)已知集合 A={x|x2-2x>0}, B={x|- 5<x< 5}, 则( A.A∩B=? 【解析】 B.A∪B=R C.B?A D.A?B

∵A={x|x>2 或 x<0},B={x|- 5<x< 5}, B )

∴A∩B={x|- 5<x<0 或 2<x< 5},A∪B=R.故选 B.【答案】

6. 设 A, B, I 均为非空集合, 且满足 A?B?I, 则下列各式中错误的是( A.(?IA)∪B=I C.A∩(?IB)=? 【解析】 方法一 B.(?IA)∪(?IB)=I D.(?IA)∩(?IB)=?IB 符合题意的 Venn 图,如图.

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 11 of 59



观察可知 A,C,D 均正确,只有 B 中(?IA)∪(?IB)=?IA. 方法二 运用特例法,如 A={1,2,3},B={1,2,3,4},I={1,2,3,4,5}.逐个检 B

验只有 B 错误. 【答案】

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.设 U= {0,1,2,3} ,A= {x∈ U|x2 + mx= 0} ,若? UA={1,2} ,则实数 m= ________. 【解析】 ∵?UA={1,2},∴A={0,3}.

又 A={x∈U|x2+mx=0}={0,-m},∴-m=3,∴m=-3.【答案】 -3 8.已知集合 A={0,2,3},B={x|x=ab,a,b∈A 且 a≠b},则 B 的子集有 ________个. 【解析】 ∵A={0,2,3},B={x|x=ab,a,b∈A 且 a≠b},∴B={0,6}. 4

∴B 的子集共有 22=4 个. 【答案】

9.(月考)已知集合 A={x|f(x)=lg(x2-2x-3)},B={y|y=2x-a,x≤2},若 A∪B=A,则 a 的取值范围是________. 【解析】 或 x>3}, 又 B={y|y=2x-a,x≤2}={y|-a<y≤4-a}, 由 A∪B=A 可知 B?A.所以 4-a<-1 或-a≥3. 解得 a≤-3 或 a>5.【答案】 (-∞,-3]∪(5,+∞) 因为 A={x|f(x)=lg(x2-2x-3)}={x|x2-2x-3>0}={x|x<-1

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1}且 B?A,求 a 的值. 【解】 ∵B?A,∴a2-a+1=3 或 a2-a+1=a.

①由 a2-a+1=3 得 a2-a-2=0 解得 a=-1 或 a=2. 当 a=-1 时,A={1,3,-1},B={1,3},满足 B?A, 当 a=2 时,A={1,3,2},B={1,3},满足 B?A. ②由 a2-a+1=a 得 a2-2a+1=0,解得 a=1, 当 a=1 时,A={1,3,1}不满足集合元素的互异性. 综上,若 B?A,则 a=-1 或 a=2.
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 12 of 59



11.(12 分)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|m-2≤x≤m+2,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值;(2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 【解】 由已知得 A={x|-1≤x≤3},

(1)∵A∩B=[0,3],B={x|m-2≤x≤m+2}. ?m-2=0, ∴? ∴m=2. ?m+2≥3. (2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2},∵A??RB, ∴m-2>3 或 m+2<-1, 即 m>5 或 m<-3. 因此实数 m 的取值范围是{m|m>5 或 m<-3}. 12.(13 分)已知函数 f(x)= x2-x-2的定义域集合是 A,函数 g(x)=lg[(x- a)(x-a-1)]的定义域集合是 B. (1)求集合 A、B; (2)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 【解】 (1)由 x2-x-2≥0?x≤-1 或 x≥2,

所以 A={x|x≤-1 或 x≥2}. 由(x-a)(x-a-1)>0 得 x<a 或 x>a+1,所以 B={x|x<a 或 x>a+1}. ?a>-1, (2)由 A∩B=A 知 A?B,得? ?a+1<2, 所以-1<a<1, 所以实数 a 的取值范围是(-1,1).

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

[考情展望]

1.直接考查“若 p, 则 q”形式的四种命题及其真假性的判定.2.

以函数、方程、不等式等知识为载体,考查充分必要条件的判定方式.3.借助充要 条件探索命题成立的依据.
固本

一、四种命题及其关系
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 13 of 59



1.四种命题间的相互关系:

2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 二、充分条件与必要条件 1.如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 2.如果 p?q,那么 p 与 q 互为充要条件. 3.如果 pD/?q,且 qD/?p,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件. 充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的必要条件,即“p?q”?“q ?p”; (2)传递性:若 p 是 q 的充分(必要)条件,q 是 r 的充分(必要)条件,则 p 是 r 的充分(必要)条件. 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q” 两者的不同,前者是“p?q”而后者是“q?p”.

1.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题 是( ) A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 【解析】 命题“若 p,则 q”的否命题是“若非 p,则非 q”,将条件与结 论进行否定.
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 14 of 59



∴否命题是:若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3. 【答案】 A )

π 2.命题“若 α=4,则 tan α=1”的逆否命题是( π A.若 α≠4,则 tan α≠1 π C.若 tan α≠1,则 α≠4

π B.若 α=4,则 tan α≠1 π D.若 tan α≠1,则 α=4

【解析】 由命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题是:若 π tan α≠1,则 α≠4. 【答案】 C

3.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假 命题的个数为( A.1 【解析】 ) B.2 C .3 D.4

原命题正确,从而其逆否命题正确;其逆命题为“若 a>-6,

则 a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题,故选 B. 【答案】 B

4.下列命题正确的有________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件; ④“a>b”是“ac2>bc2”的充要条件. 【解析】 由于|a|>|b|?a2>b2,a>b?a+c>b+c,故②③正确.由于 a

>bD/?a2>b2,且 a2>b2D/?a>b,故①错;当 c2=0 时,a>bD/?ac2>bc2, 故④错. 【答案】 ②③

5.(2013· 安徽高考)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 15 of 59



1 【解析】 当 x=0 时,显然(2x-1)x=0;当(2x-1)x=0 时,x=0 或 x=2, 所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件. 【答案】 B )

6.(2013· 湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】 设 A={x|1<x<2},B={x|x<2},∴A B,即当 x0∈A 时,有 x0∈ B,反之不一定成立.因此“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件. 【答案】
突破考向

A

考向一 [004]

四种命题的关系及真假判断 )

(1)命题“若 x、y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 (2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).

①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数” 是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 【思路点拨】 定是“不都是”. (2)借助命题真假的判断方式逐一辨析即可. 【尝试解答】 (1)“x+y 是偶数”的否定为“x+y 不是偶数”,“x,y 都 (1)直接根据逆否命题的定义写出,但应注意 “都是”的否

是偶数”的否定为“x, y 不都是偶数”. 因此其逆否命题为“若 x+y 不是偶数, 则 x,y 不都是偶数”.故选 C. (2)①由 log2a>0 可知 a>1,故函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 16 of 59



增函数,故①错误. ②正确. ③的逆命题为“相似的多边形是正多边形”是假命题,故③错误. ④正确.原命题与其逆否命题是等价命题. 【答案】 规律方法 1 (1)C (2)②④

1.(1)在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与

结论,再考查每个命题的条件与结论之间的关系. (2)当一个命题有大前提而需 写出其他三种命题时,必须保留大前提不变. 2.判定命题为真,必须推理证明;若说明为假,只需举出一个反例.互为 逆否命题是等价命题,根据需要,可相互转化. 考向二 [005] 充分条件与必要条件的判定

(1)(2013· 北京高考)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)(2013· 山东高考)给定两个命题 p,q.若非 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是非 q 的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (1)根据曲线 y=sin(2x+φ)过原点时 sin φ=0 以及举反例法

A.充分而不必要条件 C.充要条件 【思路点拨】 求解.

(2)借助原命题与逆否命题的等价判断. 【尝试解答】 (1)当 φ=π 时,y=sin(2x+φ)=sin(2x+π)=-sin 2x,此时

曲线 y=sin(2x+φ)必过原点,但曲线 y=sin(2x+φ)过原点时,φ 可以取其他值, 如 φ=0.因此“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条 件. (2)若非 p 是 q 的必要不充分条件,则 q?非 p 但非 pD/?q,其逆否命题为 p?非 q 但非 qD/?p,∴p 是非 q 的充分不必要条件. 【答案】 规律方法 2 (1)A (2)A 充分、必要条件的三种判断方法
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 17 of 59



1.定义法:直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假.并注意和图示相 结合,例如“p?q”为真,则 p 是 q 的充分条件. 2.等价法:利用 p?q 与非 q?非 p,q?p 与非 p?非 q,p?q 与非 q?非 p 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. 3.集合法:若 A?B, 则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B, 则 A 是 B 的充要条件. 考向三 [006] 充分条件与必要条件的应用

(2014· 保定模拟)设命题 p:2x2-3x+1≤0; 命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非 p 是非 q 的必要不充分条件,则实 数 a 的取值范围是________. 【思路点拨】 思路一:求非 p 及非 q,由非 q?非 p,但非 pD/?非 q 建立 实数 a 的不等关系,解不等式便可. 思路二:由先解不等式把命题 p、q 具体化,再由互为逆否命题的等价性确 定 p、q 之间的关系,最后根据集合的关系列不等式求解. 【尝试解答】 1 方法一:由 2x2-3x+1≤0 得2≤x≤1,

1 即命题 p:2≤x≤1, 1 所以命题非 p:x<2或 x>1. 由 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0 得 a≤x≤a+1, 即命题 q:a≤x≤a+1. 所以命题非 q:x<a 或 x>a+1 因为非 p 是非 q 的必要不充分条件,所以非 q?非 p,但非 pD/?非 q. 如图所示:

1 ? ?a≤ 故? 2 ? ?a+1≥1

1 ,即 0≤a≤2.

1 方法二:由 2x2-3x+1≤0 得2≤x≤1,

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 18 of 59



由 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0 得 a≤x≤a+1, 由非 p 是非 q 的必要不充分条件知, p 是 q 的充分不必要条件,
? ?1 ? 即?x?2≤x≤1 ? ? ? ? ? ? ? ?

x|a≤x≤a+1}, 1 ∴0≤a≤2.

1 ? ?a≤ , ∴? 2 ? ?a+1≥1, 【答案】 规律方法 3

1? ? ?0,2? ? ? 1.借助命题间的等价关系直接建立参数 a 的不等关系,避免了

繁琐转换计算,将失误降到最低. 2.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的 关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. 3.注意利用转化的方法理解充分必要条件: 若非 p 是非 q 的充分不必要?必要 不充分、充要?条件,则 p 是 q 的必要不充分?充分不必要、充要?条件. 对点训练 ?x+2≥0, 已知命题 p:? 命题 q:1-m≤x≤1+m,m>0,若 ?x-10≤0,

q 是 p 的必要而不充分条件,则 m 的取值范围为________. 【解析】 命题 p:-2≤x≤10,由 q 是 p 的必要不充分条件知, x|1-m≤x≤1+m,m>0},

{x|-2≤x≤

?m>0 ∴?1-m≤-2 ?1+m>10
【答案】
技能挖掘

?m>0 或?1-m<-2 ?1+m≥10



∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞). [9,+∞)

易错易误之一 ————

“条件”与“结论”颠倒黑白酿失误 ———— [1 个防错练] ————

[1 个示范例]

(2014· 济南模拟)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要 的条件是( ) B.a>b-1
固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

A.a>b+1
抓基础

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 19 of 59



C.a2>b2 【解析】

D.a3>b3 要求 a>b 成立的充分不必要条件,必须满足

由选项能推出 a>b,而由 a>b 推不出选项. 此处在求解中,常误认为“由 a>b 推出选项,而由选项推不出 a>b”而错 选 B.出错的原因是“分不清哪个是条件,哪个是结论”.在选项 A 中,a>b+1 能使 a>b 成立,而 a>b 时 a>b+1 不一定成立,故 A 正确;在选项 B 中 a>b -1 时 a>b 不一定成立, 故 B 错误; 在选项 C 中, a2>b2 时 a>b 也不一定成立, 因为 a,b 不一定均为正值,故 C 错误;在选项 D 中,a3>b3 是 a>b 成立的充 要条件,故 D 也错误. 【防范措施】 充分条件、必要条件是相对的概念,在进行判断时一定要注 意哪个是“条件”,哪个是“结论”,如“A 是 B 成立的??条件”,其中 A 是条件;“A 成立的??条件是 B”,其中 B 是条件. 设集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},则 B 是 A 的真子集的一 个充分不必要条件是________. 【解析】 A={-3,2},当 B=?时,B A,此时 m=0,

? 1? 1 1 当 B≠?时,B=?-m?,则- =-3 或- =2, m m ? ?

1 1 ∴m=3或 m=-2. 故 B 是 A 的真子集的一个充分不必要条件是 m=0(答案不唯一). 【答案】 m=0(答案不唯一)

(二)命题及其关系、充分条件与必要条件课时限时检测
命题报告 考查知识点及角度 四种命题及其关系 充分必要条件的判定 由充分必要条件求参数的范围 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 题号及难度 基础 1,3,7 2,4 中档 10 5 6,8,9,11 12 稍难

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 20 of 59



1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

)

【解析】 依题意得,原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是 负数”. 【答案】 B )

2.(模拟)“a=1”是“(a-1)(a-2)=0”成立的( A.充分非必要条件 C.充要条件 【解析】 B.必要非充分条件

D.既不充分也不必要条件

当 a=1 时,(a-1)(a-2)=0,反之当(a-1)(a-2)=0,则 a=1

或 a=2, 故“a=1”是“(a-1)(a-2)=0”成立的充分非必要条件. 【答案】 A 3.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆否命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中的真命题为( A.①② ) C.①③ D.③④

B.②③

【解析】 “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”为真命题,则逆否命题也为 真; “全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”,该 否命题为假命题;若 q≤1?4-4q≥0,即 Δ=4-4q≥0,则 x2+2x+q=0 有实 根,所以原命题为真命题,故其逆否命题也为真;“不等边三角形的三个内角相 等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形 ”,该逆命题为假命 题.故选 C.【答案】 C )

4. (高考)已知集合 A={1, a}, B={1,2,3}, 则“a=3”是“A?B”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【解析】 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

∵A={1,a},B={1,2,3},A?B,∴a∈B 且 a≠1,∴a=2 或 A

3,∴“a=3”是“A?B”的充分而不必要条件. 【答案】
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 21 of 59



5.“关于 x 的不等式 x2-2ax+a>0 的解集为 R”是“0≤a≤1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

【解析】 关于 x 的不等式 x2-2ax+a>0 的解集为 R,则 Δ=4a2-4a<0, 解得 0<a<1,由集合的包含关系可知选 A.【答案】 A

6.(模拟)已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题 “x∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( A.a<5 B.a≤5 C.a>5 D.a≥5 )

【解析】 由题意可知 A B,又 A={x|x>5},B={x|x>a},如图所示,由 图可知 a<5.

【答案】

A

二、填空题(每小题共 5 分,共 15 分) 7. 命题“若 m>0, 则关于 x 的方程 x2+x-m=0 有实数根”与它的逆命题、 否命题、逆否命题中,真命题的个数为________. 【解析】 1 由 Δ=1+4m≥0 得 m≥-4,故原命题及其逆否命题是真命题,

逆命题“若关于 x 的方程 x2+x-m=0 有实数根,则 m>0”,是假命题; 从而否命题也是假命题.故共有 2 个真命题. 【答案】 2

8 .设 n ∈ N +,一元二次方程 x2 - 4x + n = 0 有整数根的充要条件是 n = ________. 【解析】 ∴x= ∵x2-4x+n=0 有整数根,且 n∈N+,

4± 16-4n =2± 4-n, 2

∴4-n 为某个整数的平方且 4-n≥0,∴n=3 或 n=4. 当 n=3 时,x2-4x+3=0,得 x=1 或 x=3; 当 n=4 时,x2-4x+4=0,得 x=2. ∴n=3 或 n=4.【答案】 3或4

9.若 p:x(x-3)<0 是 q:2x-3<m 的充分不必要条件,则实数 m 的取值
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 22 of 59



范围是________. 【解析】 p:x(x-3)<0,即 0<x<3,

m+3 q:2x-3<m,即 x< 2 . 由题意知 p?q,q p,由数轴可知

m+3 2 ≥3,解得 m≥3. 【答案】 [3,+∞)

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 【解】 (1)否命题:已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,

若 a+b<0,则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 该命题是真命题,证明如下: ∵a+b<0,∴a<-b,b<-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), 因此 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), ∴否命题为真命题. (2)逆否命题:已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若 f(a) +f(b)<f(-a)+f(-b),则 a+b<0. 真命题,可证明原命题为真来证明它. 因为 a+b≥0,所以 a≥-b,b≥-a, ∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b), 故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 23 of 59



11.(12 分)设函数 f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合 A,函数 g(x)=

3 x -1

的定义域为集合 B.已知 α:x∈A∩B,β:x 满足 2x+p≤0.且 α 是 β 的充分条件, 求实数 p 的取值范围. 【解】 依题意,得 A={x|x2-x-2>0}=(-∞,-1)∪(2,+∞),

? ? ? ?3 ? B=?x?x -1≥0 ?=(0,3],∴A∩B=(2,3]. ? ? ? ? ?

p? ? 设集合 C={x|2x+p≤0},则 x∈?-∞,-2?. ? ? p ∵α 是 β 的充分条件,∴(A∩B)?C.则需满足 3≤-2?p≤-6. ∴实数 p 的取值范围是(-∞,-6]. 12.(13 分)求证:关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1 的充要条件是 a+b+c=0. 【证明】 必要性:

若方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1,则 x=1 满足方程 ax2+bx+c=0, ∴a+b+c=0. 充分性: 若 a+b+c=0,则 b=-a-c, ∴ax2+bx+c=0 可化为 ax2-(a+c)x+c=0, ∴(ax-c)(x-1)=0, ∴当 x=1 时,ax2+bx+c=0, ∴x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根. 综上,关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1 的充要条件是 a+b+c=0.

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 24 of 59



第三节 [考情展望]

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.以选择题的形式考查含有逻辑联结词的命题的真假.2.以选择

题或填空题的形式考查含有一个量词的命题的否定.3.与函数、方程、不等式等知 识相结合,考查全称命题或特称命题的真假.
固本:抓基础 固根源 保基础分

一、命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真

常见词语的否定形式 正面词 语 否定 = > < 是 都是 至多有 一个 至少两 个 至少有 一个 一个也 没有 任意 所有的







不是

不都是

某个

某些

二、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题 (1) 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 25 of 59



“?”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题. (3)全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为?x∈M, p(x). 2.存在量词与特称命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符 号“?”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做特称命题. (3)特称命题“存在 M 中的一个 x0, 使 p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M, p(x0). 三、含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0) ?x∈M,綈 p(x)

1.已知命题 p:?x∈R,sin x≤1,则( A.非 p:?x0∈R,sin x0≥1 B.非 p:?x∈R,sin x≥1 C.非 p:?x0∈R,sin x0>1 D.非 p:?x∈R,sin x>1

)

【解析】 全称命题的否定是特称命题, “sin x≤1”的否定是“sin x>1”, 故选 C. 【答案】 C ) B.p∨q 是假命题 D.非 q 是真命题

2.若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题 C.非 p 是真命题 【解析】 【答案】

由真值表知,非 q 是真命题,故选 D. D

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 26 of 59



3.下列命题中为真命题的是( A.?x∈R,x2+2x+1=0 B.?x0∈R,- x2 0-1≥0 C.?x∈N*,log2x>0 D.?x0∈R,cos x0>x2 0+2x0+3 【解析】

)

对于 A,当 x=1 时,x2+2x+1≠0,故 A 错;

对于 B,当 x0=1 时,- x2 0-1≥0,故 B 正确; 对于 C,当 x=1 时,log2x=0,故 C 错;
2 对于 D,x2 0+2x0+3=(x0+1) +2≥2,故 D 错.

【答案】

B

2 4.命题“ ? x0∈ R,2x0 -3ax0 +9 <0”为假命题,则实数 a 的取值范围为

________. 【解析】 由题意可知,“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”是真命题,即 Δ=9a2

-72≤0,解得-2 2≤a≤2 2. 【答案】 [-2 2,2 2]

5.(2013· 重庆高考)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0

)

【解析】 因为“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,非 p(x)”,故“对任 意 x∈R,都有 x2≥0”的否定是“存在 x0∈R,使得 x2 0<0”. 【答案】 D

6.(2013· 湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位 学员没有降落在指定范围”可表示为( A.(非 p)∨(非 q) C.(非 p)∧(非 q) 【解析】 ) B.p∨(非 q) D.p∨q

依题意得非 p:甲没有降落在指定范围,非 q:“乙没有降落在
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 27 of 59



指定范围”,因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非 p)∨(非 q). 【答案】 A

突破考向:功考点 破难点 拿基础分

考向一 [007]

含有逻辑联结词的命题的真假判断

(2014· 沈阳模拟)已知命题 p:?x∈R,使 2x+2-x=1; 命题 q:?x∈R 都有 lg(x2+2x+3)>0.下列结论中正确的是( A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧非 q”是真命题 C.命题“非 p∧q”是真命题 D.命题“非 p∨非 q”是假命题 【思路点拨】 先判断命题 p、q、非 p、非 q 的真假,再根据 p∧q、p∨q、 非 p 的真假规则进行判断. 【尝试解答】 p 是假命题,因为对?x∈R,2x∈(0,+∞). )

又由 2x+2-x≥2 2x· 2-x=2 可知,不存在 x,使得 2x+2-x=1 成立. q 是真命题,因为 lg(x2+2x+3)=lg[(x+1)2+2]≥lg 2>0 结合真值表可知,“p∧q”、“p∧非 q”是假命题,“非 p∧q”及“非 p ∨非 q”均是真命题,故选 C. 【答案】 规律方法 1 C 1.“p∨q”、“p∧q”、“非 p”形式命题真假的判断步骤,?1?

确定命题的构成形式; ??2?判断其中命题 p、q 的真假;,?3?确定“p∨q”、“p∧q”、“非 p”形式 命题的真假.,2.p 且 q 形式是“一假必假, 全真才真”, p 或 q 形式是“一真必真, 全假才假”,非 p 则是“与 p 的真假相反”. 对点训练 (1)已知命题 p: ??{0}, q: {1}∈{1,2}, 由它们构成的“p∨q”, ) D.3 个

“p∧q”,“非 p”形式的命题中,真命题有( A.0 个 B.1 个 C.2 个

(2)已知命题 p:方程 x2-mx+1=0 有实数解,命题 q:x2-2x+m>0 对任 意 x 恒成立.若命题 q∨(p∧q)真、非 p 真,则实数 m 的取值范围是________. 【解析】 (1)命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,非 p 为假命题.
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 28 of 59



(2)由于非 p 真,所以 p 假,则 p∧q 假,又 q∨(p∧q)真,故 q 真,即命题 p 假、q 真.当命题 p 假时,即方程 x2-mx+1=0 无实数解,此时 m 2-4<0,解 得-2<m<2;当命题 q 真时,4-4m<0,解得 m>1.所以所求的 m 的取值范围 是 1<m<2. 【答案】 (1)B (2)1<m<2 全称命题、特称命题的真假判断 )

考向二 [008]

(2014· 临沂模拟)下列命题中是假命题的是( π? ? A.?x∈?0,2?,x>sin x ? ? B.?x0∈R,sin x0+cos x0=2 C.?x∈R,3x>0 D.?x0∈R,lg x0=0 【思路点拨】

(1)明确命题的类型,即全称命题还是特称命题.

(2)根据命题的条件与结论确定判断方法. π? ? 【尝试解答】 对于 A, 令 f(x)=x-sin x, 则 f′(x)=1-cos x, 当 x∈?0,2? ? ? π? ? 时,f′(x)>0.从而 f(x)在?0,2?上是增函数,则 f(x)>f(0)=0,即 x>sin x,故 A ? ? ? π? 正确;对于 B,由 sin x+cos x= 2sin?x+4?≤ 2<2 知,不存在 x0∈R,使得 sin ? ? x0+cos x0=2,故 B 错误;对于 C,易知 3x>0,故 C 正确;对于 D,由 lg 1=0 知,D 正确.综上知选 B. 【答案】 规律方法 2 B 1.?1?要判断一个全称命题是真命题, 必须对限定的集合 M 中的

每一个元素 x,证明 p?x?成立.?2?要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x=x0,使 p?x0?不成立即可.,2.要判断一个特称命题是真命题, 只要在限定的集合 M 中,找到一个 x=x0,使 p?x0?成立即可,否则这一特称命题 就是假命题. 考向三 [009] 含有一个量词的命题的否定

写出下列命题的“否定”,并判断其真假. 1 (1)p:?x∈R,x2-x+4≥0;
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 29 of 59



(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2 0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3 0+1=0. 【思路点拨】 (1)分析命题所含的量词、明确命题类型.

(2)从量词和结论两方面否定命题. 1 【尝试解答】 (1)非 p:?x0∈R,x2 0-x0+ <0,假命题,这是因为?x∈R, 4 1 ? 1? x2-x+4=?x-2?2≥0 恒成立. ? ? (2)非 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)非 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于?x∈R,x2+2x+2=(x +1)2+1≥1>0 成立. (4)非 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.这是由于 x=-1 时,x3+1=0. 规律方法 3 1.弄清命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题否定的 前提. 2.要判断“非 p”命题的真假,可以直接判断,也可以判断 p 的真假,因为 p 与非 p 的真假相反. 对点训练 (2012· 湖北高考)命题“存在一个无理数, 它的平方是有理数”的 否定是( )

A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 【解析】 特称命题的否定是全称命题,

原命题的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选 B. 【答案】 B
巧得高分

技能挖掘:寻规律 得方法

易错易误之二 ———— [1 个示范例]

命题的否定≠否命题 ———— [1 个防错练] ————

(2013· 四川高考)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若 命题 p:?x∈A,2x∈B,则( A.非 p:?x∈A,2x?B C.非 p:?x?A,2x∈B
抓基础 固根源 保基础分

) B.非 p:?x?A,2x?B D.非 p:?x∈A,2x?B
攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 30 of 59



【解析】

由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得.

命题 p 是全称命题: ?x∈A,2x∈B,则非 p 是 特称命题:?x∈A,2x?B.故选 D. 该处在求解时易出现错选A或B的情形,出错的原因有两点: ?1?把命题的否定与否命题相混淆致误. ?2?没有改写量词或未对结论进行否定. 【防范措施】 1.命题的否定是只否定这个命题的结论;而对于“若 p,则

q”形式的否命题为“若非 p,则非 q”. 2.对于全(特)称命题的否定,书写时应从两方面着手:一是对量词或对量 词符号进行改写;二是对命题的结论进行否定.两者缺一不可. (2014· 揭阳一中联考)已知命题 p:对任意 x∈R,有 cos x≤1,则( A.非 p:存在 x∈R,使 cos x≥1 B.非 p:对任意 x∈R,有 cos x≥1 C.非 p:存在 x∈R,使 cos x>1 D.非 p:对任意 x∈R,有 cos x>1 【解析】 因为命题 p 是全称命题, 故非 p 是特称命题,其形式为: 存在 x∈R,使 cos x>1. 【答案】 C )

(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时限时检测
命题报告 考查知识点及角度 p∧q、p∨q 及綈 p 的真假 全(特)称命题的真假 全(特)称命题的否定 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. (高考)已知命题 p: ?x1, x2∈R, (f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0, 则綈 p 是( A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 ) 题号及难度 基础 3 1,2,7 4 6 12 中档 5,9,10,11 8 稍难

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 31 of 59



B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 【解析】 非 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.【答案】 C 2.(模拟)已知命题 p:?x∈R,sin x=1;命题 q:?x∈R,x2+1<0,则 下列结论正确的是( A.p 是假命题 )

B.非 p 是假命题 C.q 是真命题 D.非 q 是假命题 π π 【解析】 p 是真命题,如取 x=2,则 sin2=1,从而非 p 是假命题,q 是 假命题,因为?x∈R,x2+1≥1,从而非 q 是真命题.结合四个选项可知 B 正 确. 【答案】 B 3.下列命题既是全称命题,又是真命题的个数是( ) (1)对数函数都是单调函数; (2)至少有一个整数,它既能被 2 整除,又能被 5 整除; (3)对于任意的无理数 x,x2 是无理数; (4)存在一整数 x,使得 log2x>0. A.1 【解析】 B.2 C.3 D.4

(1)既是全称命题又为真命题;(2)是特称命题;(3)对于任意的无

理数 x,x2 是无理数,是假命题;(4)存在一整数 x,使得 log2x>0 是特称命题.所 以满足题意的命题个数为 1.故选 A.【答案】 4.(高考)下列命题中,真命题是( A.?x0∈R,ex0≤0 a C.a+b=0 的充要条件是b=-1 ) B.?x∈R,2x>x2 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 A

【解析】 对于?x∈R,都有 ex>0,故选项 A 是假命题;当 x=2 时,2x= a x2,故选项 B 是假命题;当b=-1 时,有 a+b=0,但当 a+b=0 时,如 a=0, a b=0 时,b无意义,故选项 C 是假命题;当 a>1,b>1 时,必有 ab>1,但当 ab>1 时,未必有 a>1,b>1,如当 a=-1,b=-2 时,ab>1,但 a 不大于 1,b 不大 于 1,故 a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件,选项 D 是真命题. 【答案】 D

5.(课标全国卷Ⅰ)已知命题 p:?x∈R,2x<3x;命题 q:?x∈R,x3=1-x2,
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 32 of 59



则下列命题中为真命题的是( A.p∧q B.非 p∧q

) C.p∧非 q D.非 p∧非 q

【解析】 当 x=0 时,有 2x=3x,不满足 2x<3x,∴p:?x∈R,2x<3x 是假 命题. 如图,函数 y=x3 与 y=1-x2 有交点,即方程 x3=1-x2 有解, ∴q:?x∈R,x3=1-x2 是真命题. ∴p∧q 为假命题,排除 A. ∴非 p 为真命题,∴非 p∧q 是真命题,选 B.【答案】 B 6. (模拟)已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx+c,若 x1 满足关于 x 的方程 2ax+ b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( A.?x0∈R,f(x0)≤f(x1) C.?x∈R,f(x)≤f(x1) 【解析】 )

B.?x0∈R,f(x0)≥f(x1) D.?x∈R,f(x)≥f(x1)

由 f(x)=ax2+bx+c,知 f′(x)=2ax+b.

依题意 f′(x1)=0, 又 a>0,所以 f(x)在 x=x1 处取得极小值. 因此,对?x∈R,f(x)≥f(x1),C 为假命题. 【答案】 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.命题:“对任意 k>0,方程 x2+x-k=0 有实根”的否定是________. 【解析】 全称命题的否定是特称命题,故原命题的否定是“存在 k>0, 存在 k>0,方程 x2+x-k=0 无实根 C

方程 x2+x-k=0 无实根”. 【答案】

8.(模拟)若命题“?x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范 围是________. 【解析】 由题意可知,ax2-ax-2≤0,对?x∈R 恒成立.

(1)当 a=0 时,-2≤0 合题意. ?a<0, (2)当 a≠0 时,只需? 解得-8≤a<0, 2 ?Δ=a +8a≤0, 由(1)(2)可知,实数 a 的取值范围是[-8,0]. 【答案】
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点

[-8,0]

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 33 of 59



9.已知命题 p:?m∈R,m+1≤0,命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒成 立.若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为________. 【解析】 <m<2. ?m+1≤0, 当 p∧q 为真命题时,有? ∴-2<m≤-1. ?-2<m<2, ∴p∧q 为假命题时,实数 m 的取值范围为{m|m≤-2 或 m>-1}. 【答案】 (-∞,-2]∪(-1,+∞) 命题 p 为真命题,若命题 q 为真命题,则 Δ=m2-4<0,即-2

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知命题 p:关于 x 的方程 x2+2x+a=0 有实数解,命题 q:关 于 x 的不等式 x2+ax+a>0 的解集为 R,若(非 p)∧q 是真命题,求实数 a 的取 值范围. 【解】 因为(非 p)∧q 是真命题.所以非 p 和 q 都为真命题, 即 p 为假命题且 q 为真命题. ①若 p 为假命题,则 Δ1=4-4a<0,即 a>1. ②若 q 为真命题,则 Δ2=a2-4a<0,所以 0<a<4. 由①②知,实数 a 的取值范围是{a|1<a<4}. 11.(12 分)(模拟)已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 上[-1,1]有解;命题 q: 只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0.若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的 取值范围. 【解】 ∵方程 a2x2+ax-2=(ax+2)(ax-1)=0 有解,

2 1 显然 a≠0,∴x=-a或 x=a. ?2? ?1? ∵x∈[-1,1],故?a?≤1 或?a?≤1,∴|a|≥1, ? ? ? ? 只有一个实数满足 x2+2ax+2a≤0, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一 个交点,∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴命题 p 或 q 为真命题时,|a|≥1 或 a=0, ∵命题 p 或 q 为假命题,∴a 的取值范围为{a|-1<a<0 或 0<a<1}. ?1 ? 12. (13 分)已知 c>0, 设命题 p: 函数 y=cx 为减函数. 命题 q: ?x∈?2,2?, ? ?

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 34 of 59



1 x+x >c.如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 c 的取值范围. 【解】 若命题 p 为真,则 0<c<1.

? 1? 若命题 q 为真,则 c<?x+ x?min, ? ? 1 5 ?1 ? 又当 x∈?2,2?时,2≤x+ x≤2,则必须且只需 2>c,即 c<2. ? ? 因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 所以 p、q 必有一真一假. ?0<c<1, 当 p 为真,q 为假时,? 无解; ?c≥2, ?c≥1, 当 p 为假,q 为真时,? 所以 1≤c<2. ?c<2, 综上,c 的取值范围为[1,2).

第一章 集合与常用逻辑用语高考题

一.基础题组 1.下列命题中,假命题是(
A. ?x ? R,3
x ?2

) B. ?x0 ? R, tan x0 ? 2 D. ?x ? N *, ( x ? 2) ? 0
2

?0

C. ?x0 ? R,lg x0 ? 2

2.集合 A ? {x | k? ? 3 ? x ? k ? ? ? , k ? Z } ,B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,则集合 A
A.[?1, 0] [ ,1] 3

?

B 为( )

?

B. [ , 2 ] 3

?

C. [? 2 , 0 ]

?

3

[

, 2 ] D. [? 2 , 4

?

]

?
3

[

, 2]

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 35 of 59



3.设 A ? {x | y ? ln(x ? 2)} , B ? {?2,?1,0,1,2,} ,则 (C R A) ? B =(
A. {1,2} 【答案】B B. {?2} C. {?2,?1,0} D. {2}



4.设全集是实数集 R , M ? { x | ?2 ? x ? 2}, N ? { x | x ? 1} ,则 (C R M ) ? N ?
( ) A. { x | x ? ?2} B. { x | ?2 ? x ? 1} C. { x | x ? 1} D. { x | ?2 ? x ? 1}

5.设集合 A ? {x | x ? 3}, B ? {x |
A. ? B. (3, 4)

x ?1 ? 0} ,则 A B =( x?4
C. (?2,1)

)

D. (4, ??)

6.下列四个命题中的真命题为(



抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 36 of 59



A. ?x 0 ? R ,使得 sin x0 ? cos x0 ? ?1.5 C. ? x ? R , ? y ? R , y 2 ? x

B. ?x ? R ,总有 x ? 2 x ? 3 ? 0
2

D. ?x 0 ? R , ? y ? R , y ? x0 ? y

7.已知集合 A ? {1,2} , B ? {x ? N | 0 ? x ? 5} ,若 A ? C ? B ,则满足条件的集合 C 的个数
为( (A)4 ) (B)3 (C)2 (D)1

8.下列说法中,正确的是
A.任何一个集合必有两个子集 B.若 C.任何集合必有一个真子集 【答案】D





A ? B ? ? , 则A, B中至少有一个 ?

D. 若 S 为全集, 且A ? B ? S , 则A ?

B?S

9.若集合 M ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 1}, N ? {x |

1 1 x ? ( ) ? 1} ,则 M ? N ? ( ) 4 2

A. {x |1 ? x ? 2} B. {x |1 ? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 2}

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 37 of 59



10.已知全集 U ? R ,设函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域为集合 A ,函数 y ? x2 ? 2 的值域为集 合 B ,则 A ? (CU B) = ( A.[1,2] B.[1,2) ) C.(1,2] D.(1,2)[Zxx

11.已知集合 A ? x | x ? 3 , B ? ? x | x ? 2 ? 0? ,则 A (A) ? ??,3? (B)

?

?

B 等于(



? ??,3?

(C)

? 2,3?

(D)

? ?3, 2?

12.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2, 4? ,则 ? CU A? A.

B 为( ) 4? ?0,2,3,

?1, 2, 4?

B.

4? ?2,3,

C.

?0,2,4?

D.

13.

设 x ? R ,则 x ? 1 是 x ? 1 的( )
2

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 14.已知集合 U ? 2,3, a ? 2a ? 3 , A ? 2a ? 1 , 2 , CU A ? ?5? ,则实数 a 的值为

?

?

?

?

___________.
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 38 of 59



【答案】 a ? 2 【解析】
2 ? ? a ? 2a ? 3 ? 5 试题分析:根据已知得 ? ,解得 a ? 2 .考点:集合间的基本关系 ? ? 2a ? 1 ? 3

15 已知全集 U ? R , A ? {x | y ? 2x ?1} ,则 CU A ? (
A. [0, ??) B. (??, 0) C. (0, ??)

) D. (??, 0]

16.已知命题 p 、 q ,则“ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件



D.既不充分也不必要条件

17.

已知集合 A ? ??1,1? , B ? x 1 ? 2 x ? 4 ,则 A ? B 等于 B. ?1? C. ??1,1? D. ?0,1?

?

?





A. ??1, 0,1? 【答案】B 【解析】

试题分析: B ? x 1 ? 2 x ? 4 ? {x 0 ? x ? 2} ,所以 A ? B ? {1} ,选 B. 考点:1、集合运算;2、指数函数的单调性.

?

?

18.

命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是

(

)

A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数

B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 39 of 59



19.
A.

已知集合 A ? ??11 ,, ? B ? ?m | m ? x ? y, x ? A, y ? A? ,则集合 B 等于( ) B.

??2, 2?

??2,0, 2?

C.

??2,0?

D.

?0?

20.

命题“ ?x2 ? 1, x ? 1 ” 的否定是( ) B. ?x2 ? 1, x ? 1 D. ?x 2 ? 1, x ? 1

A. ?x2 ? 1, x ? 1 C. ?x 2 ? 1, x ? 1 【答案】C

21.

已知集合 A ? x log 4 x ? 1 , B ? x x ? 2 ,则 A ?R B ? B. ? 0, 2 ? C. ? ??, 2?

?

?

?

?

( D. ? 2, 4 ?



A. ? ??,2?

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 40 of 59



22“对任意的实数 x,不等式 x 2 +2x+a>0 均成立”的充要条件是(
A. a>1 B. a≥1 C. a<1

) D. a≤1

23.

设集合 A={x| y=ln(1-x)},集合 B={y| y=x2},则 A∩B= ( B. [0,1) C. (??,1]



A.[0,1]

D. (??,1)

24.已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? ? x ? Z 1 ? x ? 4? ,错误!未找到引用源。错误!未找到
引用源。则 ( A. M ? N ) B. N ? M C. M

N ? {2,3}

D. M

N ? (1, 4)

25.设集合 U ? ??2, ?1,0,1,2? , A ? ?1,2? , B ? ??2, ?1, 2? ,则 A ??U B? 等于(
A. ?1? B. ?1, 2? C. ?2? D. ?0,1, 2?



26.设 U ? R ,集合 A ? ? y
是( )

y ? 2 x , x ? R , B ? x ? Z x 2 ? 4 ? 0 ,则下列结论正确的

?

?

?

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 41 of 59



A. A

B ? ? 0, ???

B. ? UA D. ? UA

?

?

B ? ? ??,0? B ? ?1, 2?

C. ? UA

?

?

B ? ??2, ?1,0?

?

?

27.设集合 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? ,集合 A ? ?2, 4,5? ,集合 B ? ?1,3,5,7? ,则 A ??U B? ?
( A. ?5? ) B. ?2,4? C. ?2, 4,5? D. ?2, 4,6?

28.设集合 A ? {x ?3 ? 2x ?1 ? 3} , 集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域, 则A
( A. (1, 2) ) B. [1, 2] C. [1, 2) D. (1, 2]

B?

? A B ? ?1,2? ,选 D.
考点:1.函数的定义域;2.集合的交集运算

29.设全集 U ? R ,集合 A ? ?x x ? x ? 3? ? 0? ,集合 B ? ? x x ? ?1? ,则下图中阴影部分
表示的集合为 ( A. x ?3 ? x ? ?1 C. x x ? 0 ) B. x ?3 ? x ? 0 D. x x ? ?1

?

?

?

?

?

?

?

?

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 42 of 59



30.已知集合 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,集合 P ? ?1,2,3,4? , Q ? ?3, 4,5? ,则 P ??U Q? ?
( A. ?1, 2,3, 4,6? ) B. ?1, 2,3, 4,5? C. ?1, 2,5? D. ?1, 2?

31.已知集合 M ? ?0,1,2,3,4? , N ? ??2,0, 2? ,则(
A. N ? M B. M

) D. M

N?N

C. M

N ? ?2?

N ? ?0, 2?

32.等差数列 ?an ? 中,“ a1 ? a3 ”是“ an ? an?1 ”的(
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

33.已知 p : 2x ? 3 ? 1, q : log 2 ? x 2 ? x ? 5? ? 0 ,则 ? p 是 ?q 的
A.充分不必要条件 C.充分必要条件





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 43 of 59



考点:1.不等式的解法;2.充分必要条件

34.已知命题 p :对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 ,则(
A. ?p : 存在 x ? R ,使 cos x ? 1 C. ?p : 存在 x ? R ,使 cos x ? 1



B. ?p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 D. ?p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1

35.已知 a ? R 且 a ?
A.充分不必要条件 C.充要条件

0 ,则“

1 ? 1”是 “ a ? 1 ”的( a



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

36.已知集合 M ? {x | x2 ? px ? 6 ? 0}, N ? {x | x2 ? 6x ? q ? 0}, 若M N ? {2}, 则
p ? q 的值为(
A.21 ) B.8 C.7 D.6

37.已知全集 U ? {2, 4,6,8,10} ,集合 M , N 满足 M
M =(
A.{2,4} ) B.{4,8,10}
抓基础 固根源 保基础分

N ? {4} , (CU N ) M ? {10} ,则

C.{4,6,10}
攻考点 破难点

D.{4,10}
拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 44 of 59



38.
( A.

已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ? )

x ? ? ? ?1? ? ? ? 1? , B ? {x log 3 x ? 0} ,则 A ? ?CU B? ? ? ? ? ?2? ?

? x x ? 0?

B.

? x x ? 1?

C.

? x 0 ? x ? 1?

D.

? x 0 ? x ? 1?

【答案】C 【解析】

39.已知函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1, 若命题“ ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0 ”为真,则 m 的取值范围是
___.

40. 已知集合 A ? ??1,0,1 ?,B ? {y | y ? e ,x ? A} ,则 A
x

B?
D. ?0,1?

A. ?0?

B. ?1?

C. ??1?

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 45 of 59



41. 下列选项中,说法正确的是 (
2 2



A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题; B.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”; C.命题“ p ? q ”为真命题,则命题 p和q 均为真命题; D. 设 a, b 是向量,命题“若 a ? ?b, 则 a ? b ”的否命题是真命题.

考点:逻辑用语. 42. 【2013---2014 学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考】已知集合

M ? ?1,2,3,4?, N ? ??2,2? ,下列结论成立的是(
A. N ? M C. M B. M D. M



N ?M

N ? N M ?N ? N

N ? ?2?

: x ? R, x 43. 命题 P “存在

2

? x ? 1 ? 0”的否定 ? P 为__________

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 46 of 59



44. 设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 线 x=

? 对称.则下列判断正确的是 ( 2
B. ? q 为假

? ;命题 q:函数 y=cos x 的图像关于直 2

) C.p 且 q 为假 D.p 或 q 为真

A.p 为真

2 45. 设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a } ,若 M ? N ? N ,则 a 的值是

A.-1

B.0

C.1

D.1 或-1

46. 下列有关命题的说法正确的是 (

)

A.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. B.函数 f ( x) ? tan x 的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z } . C.命题“ ?x ? R, 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R , 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” . D.“ a ? 2 ”是“直线 y ? ? ax ? 2 与 y ?

a x ? 1 垂直”的必要不充分条件. 4

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 47 of 59



2 47. 已知集合 M ? y | y ? 2 x , x ? 0 , N ? x | y ? lg(2 x ? x ) ,则 M ? N 为(

?

?

?

?



A. (1, 2)

B. (1,??)

C. [2,??)

D. [1,??)

48. 命题“存在 x0 ? R 使得 e A.不存在 x0 ? R 使得 e C.对任意 x0 ? R , e
x0 x0

x0

? 0 ”的否定是(


x0

?0

B.对任意 x0 ? R , e

?0
x0

?0

D.存在 x0 ? R ,使得 e

?0

49. 已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2
2

x ?1

? 1} ,则 A B ? (



A. {x | x ? 1}

B. {x | x ? 3}

C. {x |1 ? x ? 3}

D. {x | ?1 ? x ? 3}

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 48 of 59



50. 已知集合 A={x|x<a}, B={x|x -3x+2<0}且 A∪ (CRB) =R, 则实数 a 的取值范围是( A. a≤1 B. a<1 C.a≥2 D. a>2

2

)

51.若集合 A ? {?2, ?1, 0,1, 2},集合 B ? ?1,0,2,3?
A. {1, 2,3} B. {0,1, 2}

,则 A ? B ? (

) D. {?1, 0,1, 2,3}

C. {0,1, 2,3}

52. 若集合 A ? { x || x | ? x ? 0}, B ? { x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0} 错误!未找到引用源。,则

A? B ?( )
A. { x | 2 ? x ? 3} B. { x | 0 ? x ? 2或x ? 3} 错误!未找到引用源。

C. { x | 0 ? x ? 2或x ? 3}

D. { x | x ? 3} 错误!未找到引用源。

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 49 of 59



53.

已知命题 p: ?x ? R , x 2 >0,则(

) B.非 p:?x ? R , x 2 ? 0 D.非 p:?x ? R , x 2 ? 0

A.非 p:?x ? R , x 2 ? 0 C.非 p:?x ? R , x 2 ? 0

54. x ? 1是 x ? 2 的( A.充分不必要条件 C.充要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
[

55.已知命题“ ?p 或 ?q ”是假命题,则下列命题:① p 或 q ;② p 且 q ;③ ?p 或 q ;
④ ?p 且 q ;其中真命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

二.能力题组
抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 50 of 59



1.已知命题 p:?x∈R,x -3x+3≤0,则下列说法正确的是
2

(

)

A. ? p :?x∈R, x -3x+3 ? 0 ,且 ? p 为真命题
2

B. ? p :?x∈R, x -3x+3 ? 0 ,且 ? p 为假命题
2

C. ? p :?x∈R, x -3x+3 ? 0 ,且 ? p 为真命题
2

D. ? p :?x∈R, x -3x+3 ? 0 ,且 ? p 为假命题
2

【答案】C 【解析】 试题分析:依题意,命题 p:?x∈R,x -3x+3≤0 的否命题为不存在 x∈R,使得 x -3x +3≤0,
2 2

2.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b ,则“ 1 ? a ? 2 ”是“ f
A.充分不必要条件 要条件 B.必要不充分条件

(1) ? f ( 3 ) ”的





C.充要条件

D.既不充分也不必

3.若集合 M ? {x x ? 2 ? 0} , N ? {x log2 ( x ?1) ? 1} ,则 M
A. {x | 2 ? x ? 3} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 3}

N =(



D.{x |1 ? x ? 2}

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 51 of 59



4.

若集合 A ? { y | y ? sin x, x ? R} ,B ? {?2, ?1,0,1, 2} , 则集合 (CR A) B. {?2, ?1, 0,1, 2} C. {?2, ?1, 2}

( B 等于



A. {?2, ?1}

D. {?2, 2}

5.

下列有关命题的说法正确的是 (
2

)
2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”. B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“ ? x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“对 ? x ? R 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.

6.已知命题 p:“若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 ax ? y ? 2 ? 0 垂直,则 a ? 1 ” ;命题 q:
“ a 2 ? b 2 ”是“ a ? b ”的充要条件,则 A.p 真,q 假 B.“ p ? q ”真 C.“ p ? q ”真 D.“ p ? q ”假
1 1

7.已知集合 A ? {x | log 1 ( x ? 1) ? ?1} , B ? {y | y ? 2 x } ,则 (C R A) ? B ? ___
2

__.

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 52 of 59



8. 已知集合 M=?0,1,2,3,4?,N=?1,3,5?,P=M ? N ,则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

)

9.已知三条不重合的直线 m, n, l ,两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题: ①若 l / /? , m / / ? ,且 ? / / ? ,则 l / / m ②若 l ? ? , m ? ? ,且 l / / m ,则 ? / / ? ③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ? ④若 ? ? ? , ?

? ? m, n ? ? , n ? m ,则 n ? ?
) D.1

其中真命题的个数是( A.4 B.3 C.2

10. 函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出四个命题: ①当 C=0 时,y=f(x)是奇函数; ②当 b=0,c>0 时方程 f(x)=0 只有一个实数根;

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 53 of 59



③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根. 上述命题中,所有正确命题的序号是________. 【答案】①②③ 【解析】 试题分析:①当 c ? 0 时, f ( x) ? x x ? bx 的定义域是 R,且有 f (? x) ? f ( x) ,所以

y ? f ( x) 是奇函数正确;

11.

在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题 p 表示“甲的试跳成绩 )

超过 2 米”, 命题 q 表示“乙的试跳成绩超过 2 米”,则命题 (?p) ? (?q) 表示( (A)甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过 2 米 (B)甲、乙两人的试跳成绩都没有超过 2 米 (C)甲、乙至少有一人的试跳成绩超过 2 米 (D)甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过 2 米

12.

给出如下四个命题:

①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则

x ? y ? 5 ”;

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 54 of 59



③在 ?ABC 中,“ A ? 45 ”是“ sin A ? ④命题 “ ?x0 ? R, e ( A. 3 ) B. 2
x0

2 ”的充要条件. 2
其中正确的命题的个数是

? 0 ”是真命题.

C. 1

D. 0

【答案】D 【解析】

13.“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ?| ax 2 ? x | 在区间 (0 ,? ?) 上单调递增”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

14.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9x ? “ ?x ? [0 ,? ?) , f ( x) ? a ? 1 ”是假命题,则 a 的取值范围为

a2 ? 7 .若 x
.

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 55 of 59



15.(本题满分 10 分)已知全集 U ? R , A ?

?x | 2x ? 4 ? 0?,

B ? {x | 2 ? 2x ? 16} , C ? {0,1, 2} .
(1)求 Cu ( A ? B) ; (2)如果集合 M ? ( A

B) C ,写出 M 的所有真子集.

16.

2 已知集合 U ? 2,3, a ? 2a ? 3 , A ? 2a ? 1 , 2 , CU A ? ?5? ,则实数 a 的值为

?

?

?

?

___________.

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 56 of 59



17.

对于集合 M、N,定义 M-N={x|x∈M 且 x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设 ( )

A={y|y=3x,x∈R},B={y|y=-(x-1)2+2,x∈R},则 A⊕B 等于 A.[0,2) C.(-∞,0]∪(2,+∞) B.(0,2]

D.(-∞,0)∪[2,+∞)

18.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算

“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数

时, m ※ n ? m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※ n ? m? n . 则在 此定义下,集合 M ? {(a, b) | a ※ b ? 12, a ? N * , b ? N *} 中的元素个数是 A.10 个 B.15 个 C.16 个 ( )

D.18 个

19.

下列结论中是真命题的是__________(填序号).

b ①f(x)=ax2+bx+c 在[0,+∞)上是增函数的一个充分条件是- <0; 2a ②已知甲:x+y≠3,乙:x≠1 或 y≠2,则甲是乙的充分不必要条件; Sn? ③数列{an}(n∈N*)是等差数列的充要条件是 Pn? ?n, n ?是共线的.

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 57 of 59



考点:1、全称命题与特称命题;2、逻辑连结词.

20.已知命题 p : ?x ? R ,2 x ? 3x ;命题 q : ?x ? R , x3 ? 1 ? x2 ,则下列命题中为真命题
的是( A. p ? q ) B. p ? q
?

C. ? p ? q

D. ? p ? ?q

21.设全集 U ? R , A ? ?x 2x? x?2? ? 1? , B ? ? x
的集合为( A. x x ? 1 )

y ? ln ?1 ? x ? ,则下图中阴影部分表示

?

?

?

B. x 1 ? x ? 2

?

?

C. x 0 ? x ? 1

?

?

D. x x ? 1

?

?

【答案】B

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 58 of 59



22.命题, p : ?? , ? ? R ,使 tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? ;
命题 ? q : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 .则下列命题中真命题为(
2

) D. ??p ? ? q

A. p ? q

B. p ? ? ?q ?

C. ??p ? ? (?q)

23“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析:由直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行,得 B.必要不充分条件



D.既不充分也不必要条件

2 24. “ a ? ?1 ” 是 “直线 a x ? y ? 6 ? 0 与直线 4x ? ? a ? 3? y ? 9 ? 0 互相垂直” 的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分

第一章

集合与常用逻辑用语

Page 59 of 59



25.下列命题中所有真命题的序号是________________.
2 2 ①“ a ? b ”是“ a ? b ”的充分条件;

②“ a ? b ”是“ a ? b ”的必要条件;
2 2

③“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? c ”的充要条件.

a ? c ? b ? c ,另一方面,在不等式 a ? c ? b ? c 两边同时减去 c 得 a ? b ,故“ a ? b ”是
“ a ? c ? b ? c ”的充要条件,命题③正确,故真命题的序号是②③. 考点:1.不等式的性质;2.充分必要条件

抓基础

固根源

保基础分

攻考点

破难点

拿能力分


推荐相关:

集合和常用逻辑用语 (1)

集合和常用逻辑用语 (1)_化学_自然科学_专业资料。第一章 集合与常用逻辑用语 1 若集合 A= ?0,1, 2, 4? ,B= ?1, 2,3? ,则 A ? B ? ( A. ...


高考第一轮复习——集合与常用逻辑用语-1

3. 常用逻辑用语高考以考查四种命题、逻辑联结词全称命题、特称命题的否定为主。 命题预测: 1. 根据考试大纲的要求,结合近几年高考的命题情况,可以预测集合这...


集合与常用逻辑用语1_图文

集合与常用逻辑用语1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。好 考点测试 1 集合 一、基础小题 1. 集合 A={1,2,3,4}, B={x∈N*|x2-3x-4<0},则 A∪...


1 集合与常用逻辑用语

1集合与常用逻辑用语 2页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...


1-1集合与常用逻辑用语

1-1集合与常用逻辑用语_数学_高中教育_教育专区。第1讲 集合与简单逻辑用语 1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:弄清元素是函数关系式中自变量的取 值...


(1) 集合与常用逻辑用语

个性化课程辅导教案 学员姓名 授课时间 教学课题 科目 课时 数学 3 年级 高三复习课 侯耀平 授课老师 第讲:集合与常用逻辑用语 1、掌握元素与集合、集合间的...


集合与常用逻辑用语(1)

D.M∪N=(1,4) ∵N={x∈Z|1<x<4}={2,3}, ∴M∩N={2,3}.抓基础 固根源 保基础分 攻考点 破难点 拿能力分 第一章 集合与常用逻辑用语 Page ...


第1篇 集合与常用逻辑用语

第1篇 集合与常用逻辑用语_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第一篇集合与常用逻辑用语 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (...


1(A4)集合与常用逻辑用语

1(A4)集合与常用逻辑用语_数学_高中教育_教育专区。高考数学专题导学一(集合与常用逻辑用语) 一、思考与感悟:1.若全集 M ? {1, 2, 3, 4, 5} 且 N ?...


第1章-集合与常用逻辑用语

1章-集合与常用逻辑用语_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第一章 第一节 集合与常用逻辑用语 集合的概念与运算 [基础知识深耕] 一、集合的基本概念 1.集合...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com