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柱、锥、台和球的体积(4)


柱、锥、台和球的体积(1)
教学目标:了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学重点:了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学过程: (一)祖暅原理: 祖暅(音 gèng),一名祖暅之,是祖冲之的儿子,他的活动时期大约在公元 504—526 年.祖氏父子在 数学和天文学上都有杰出的贡献. 祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》.他推导球体积公式的方法非常巧妙. 根据中国

算书《九章算术》中李淳风的注释,下面我们使用现代的术语,并将原来的图形略加修改, 把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下: 作一个几何体 V1.底面 OABC 是一个正方形,边长为 r(图 2-18).高

取一点 S,过点 S 与底面平行的截面为 SPQR,设它的边长为 a,OS 为 h,则截面面积 a =r -h .

2

2

2

另取一个边长为 r 的正方体 V2(图 2-19),连结 O′D′,O′C′,O′A′,锥体 O′-A′B′C′D′记 作 V3,V2-V3 是正方体 O′D′挖去锥体 O′-A′B′C′D′剩下的几何体.下面来证明 V1=V2-V3. 设平行于底面与底面距离为 h 的平面,截 V2 的截面是正方形 P′TS′M,面积等于 r ,截 V3 的截面是 正方形 Q′TR′N,面积等于 h (因为 Q′T=O′T=h),所以这两个正方形的差形成曲尺形 P′Q′NR′S′M, 它的面积等于 r -h . 比较 V1 与 V2-V3 在等高(h)处的截面,它们的面积都是 r -h ,因此体积相等,即 V1=V2-V3. 祖暅原理的原文是“幂势既同,则积不容异.”“幂”是截面积,“势”是几何体的高.意思是:两 个同高的几何体,如果与底等距离的截面积总相等,那么几何体的体积相等.这就是现在说的:夹在两个
2 2 2 2 2 2

平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那 么这两个几何体的体积相等.

积为 V4(是未知数).和 V1 比较,在高 h 处的截面积 C″EF 是以 a 为半

祖暅提出的“幂势既同,则积不容异” ,及“体积之比等于对应截面积之比” ,在这里是当作公理使用.提 法“幂势既同,则积不容异” ,在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches,Prinzip).卡瓦列利 [米兰 Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理,这本书出版于 1635 年. (二)长方体的体积 V ? Sh (三)利用祖暅原理可以说明:等底面积等高的长方体与柱体的体积相等,故柱体的体积为:

V ? Sh
(四)利用祖暅原理可以说明:等底面积等高的锥体的体积均相等 (五)三棱住可以分割成三个体积相等的锥

故锥体的体积为 V ?

1 Sh 3

(六)利用两个锥体做差可得台体的体积公式 V ? (七)例子:

1 ( S '? SS ' ? S )h 3
]

(1) 长方体的三个面的面积分别为 2、6 和 9,则长方体的体积为[

(2)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,在从 B 点出发的三条棱上分别取其中点 E、F、G,则棱锥 B-EFG 的 体积是平行六面体体积的[ ]

(3)如果一个正四面体的体积为 9dm ,则其表面积 S 的值为[

3

]

棱锥的体积是 [

]

(5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为 V1,内切切圆柱体积为 V2,则[ A.V1∶V2=∶1 C.V1∶V2=4∶1 小结: 本节课应了解:祖暅原理以及柱锥台的体积计算公式 课后作业:教材第 34 页 习题 1-1A:7、8. B.V1∶V2=2∶1 D.V1∶V2=8∶1

]

课堂练习:教材第 33 页 练习 A1.2、B1.2.3


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