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2013寒假高二


第一课………………………………………………数系的扩充与复数的引入 第二课………………………………………………复数的四则运算及几何意义 第三课………………………………………………复数的综合应用 第四课………………………………………………导数的概念与意义 第五课………………………………………………导数的运算 第六课………………………………………………导数的单调性(1) 第七课…………

……………………………………导数的单调性(2) 第八课………………………………………………导数与极值 第九课………………………………………………导数与最值 第十课………………………………………………导数的单调性、极值、最值 第十一课……………………………………………导数的应用 第十二课……………………………………………导数与函数专项测试

主编:叶敏 编辑:金来华、曹飞、曹鹏 校稿:金牌教研中心高数组
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第一课. 数系的扩充与复数的引入

1. 虚数单位 i :(1)它的平方等于-1,即 加、乘运算律仍然成立.

i ? ?1 ;
2

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有

2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x2=-1 的一个根,方程 x2=-1 的另一个根是- i ! 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1,
i
4n+3

=-i,

i

4n

=1

4. 复数的定义:形如 a ? b i ( a , b ? R ) 的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部全体复数所成的集合 叫做复数集,用字母 C 表示* 5. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? b i ( a , b ? R ) ,把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复 数的代数形式。 6. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? b i ( a , b ? R ) ,当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b ∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0.

7. 复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 8. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 这就是说,如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 复数相等的定义是求复数值, 在复数集中解方程的重要依据 一般地, 两个复数只能说相等或不相等, 而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小. 现有一个命题: “任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对 如果两个复数都是实数,就可以比较 大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 9. 复平面、实轴、虚轴:
? (1)复平面内的点 Z ( a , b ) ? ? ? ? 平面向量 O Z
一一对应

????

? (2)复数 z ? a ? b i ? ? ? ? 平面向量 O Z

一一对应

????

10.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于 0 的 两个共轭复数也叫做共轭虚数,通常记复数 z 的共轭复数为 z 。

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例 1 请说出复数 2 ? 3 i , ? 3 ?

1 2

i,?

1 3

i,?

3 ?

5 i 的实部和虚部,有没有纯虚数?

例 2 实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是:

(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

例3

已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y.

例 4. (1)若 ? ? ?

? 3

5 ? π , π ? ,则复数 (c o s ? ? s in ? ) ? (s in ? ? c o s ? )i 在复平面内所对应的点在( 4 ? ? 4



A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

(2)满足条件 | z ? i | ? |3 ? 4 i | 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 例 5.已知复数 z1=cosθ -i,z2=sinθ +i,求| z1·z2|的最大值和最小值.

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数系的扩充与复数的引入课堂训练
1. 设集合 C={复数} ,A={实数} ,B={纯虚数} ,若全集 S=C,则下列结论正确的是( A.A∪B=C B. C S A=B C.A∩ C S B= ? D.B∪ C S B=C ) )

2. 复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i 为虚数,则实数 x 满足( A.x=-
1 2

B.x=-2 或-

1 2

C.x≠-2

D.x≠1 且 x≠-2 )

3. 已知集合 M= {1, (m2-3m-1)+(m2-5m-6)i} 集合 P= 2, , {-1, .M∩P= 3} {3} 则实数 m 的值为( , A.-1 B.-1 或 4 C.6 D.6 或-1
?
3

4. 在复平面内,把复数 3 ? (A)2 3

3 i 对应的向量按顺时钟方向旋转

,所得向量对应的复数是: (



(B) ? 2 3 i

(C) 3 ? 3 i

(D)3+ 3 i

5. 已知复数 z 的模为 2,则│z-i│的最大值为:( (A)1 (B)2 (C) (D)3

)

6. 若 z ? C 且 | z ? 2 ? 2 i | ? 1, 则 | z ? 2 ? 2 i | 的最小值是( A.2 B.3 C.4 D.5



7. 若 a , b 为非零实数,则下列四个命题都成立: ①a ?
1 a
2

? 0

②? a ? b ? ? a ? 2ab ? b
2 2

2

③若 a ? b ,则 a ? ? b

④若 a ? a b ,则 a ? b 则对于任意非零复数 a , b ,上述命题仍然成立的序号是 _____ 。
m (m ? 2) m ?1

8.已知 m∈R,复数 z=

+(m2+2m-3)i,当 m 为何值时,

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数系的扩充与复数的引入加强训练
1. 满足方程 x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0 的实数对(x,y)表示的点的个数是_____. 2. 复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要条件是__ 3. 若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数 m 的值。

4. 设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果 z 是纯虚数,求 m 的值。

-1

5. 在复数范围内解方程 | z | ? ( z ? z ) i ?
2

3?i 2 ? i

( i 为虚数单位) 。(1)z∈R; (2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数。

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第二课. 复数的四则运算及几何意义
一、加减运算 1. 若 A ( x , y ) , O ( 0 , 0 ) ,则 O A ? ? x , y ? 2. 若 a ? ( x 1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) 3. 若 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 AB ? ? x 2 ? x 1 , y 2 ? y 1 ? 4.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 5. 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 6. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 7. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 二、乘除运算 1.乘法运算规则: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 2. 乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
??? ?

(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

3. 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复数 c+di 的商,记为: (a+bi) ? (c+di)或者
a ? bi c ? di

4.除法运算规则: (a+bi)÷(c+di)=
ac ? bd c
2

? d

2

?

bc ? ad c
2

? d

2

i . 分母实数化法

例 1 计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+?+(-2002+2003i)+(2003-2004i)

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例 2 计算: (1)(3+4i) (3-4i)

(2) (1+ i)2

(3) (1 ? 2 i ) ? (3 ? 4 i )

(4)

(1 ? 4 i )( 1 ? i ) ? 2 ? 4 i 3 ? 4i

例 3 已知 z 是虚数,且 z+

1 z

是实数,求证:

z ?1 z ?1

是纯虚数.

复数的四则运算及几何意义课堂训练
1. 已知复数 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 在复平面内所表示的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

2. 设 z=3+i,则

1 z

等于(


3 10 1 10 3 10 1 10

A.3+i 3.
a ? bi b ? ai ? a ? bi b ? ai

B.3-i 的值是( B.i

C. )

i?

D.

?

i

A.0

C.-i
i z1 ? z2 5

D.1 的虚部为( ) D.-i
7

4. 已知 z1=2-i,z2=1+3i,则复数 A.1 B.-1

C.i

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5. 复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1,2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形是( A.直角三角形 B.等腰三角形 ) C.不可能是实数 C.锐角三角形 D.钝角三角形



6. 一个实数与一个虚数的差(

A.不可能是纯虚数 B.可能是实数

D.无法确定是实数还是虚数

7. 计算(- 2 ?

3i) ? (

3 ?

2 i ) ? [(

3 ?

2) ? (

3 ?

2 ) i ] =___

_.

8. 设

x 1? i

?

3 2 ?i

?

y 1? i

(x∈R,y∈R),则 x=___________,y=___________.
OZ 、 2(O 为原点) 若向量 Z 1 Z 2 ,

9. 已知复数 z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量 OZ 对应的复数为纯虚数,求 a 的值。

1

复数的四则运算及几何意义高考题选
1. (07 年北京卷)
2 (1 ? i )
2

?



2. (07 年湖北卷) 复数 z=a+bi,a,b∈R,且 b≠0,若 z ? 4 b z 是实数, 则有序实数对 (a,b) 可以是
2

.(写

出一个有序实数对即可) 3. (07 年广东卷)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 为实数) ,则 b=( (A) -2 (B) 1 2
2



(C)

1 2

(D) 2

? 2i ? 4. (07 年湖南卷)复数 ? ? 等于( ? 1+ i ?

) D. ? 2 i

A. 4 i

B. ? 4 i

C. 2 i

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5. (07 年江西卷)化简 A. 2 ? i

2 ? 4i (1 ? i )
2

的结果是(

) C. 2 ? i D. ? 2 ? i

B. ? 2 ? i
a 1? i 3 2
1 ? 2i z

6. (07 年全国卷 I)设 a 是实数,且 A.
1 2

?

1? i 2

是实数,则 a ? (



B. 1

C.

D. 2
? i ,则 z ? (

7. (07 年全国卷Ⅱ)设复数 z 满足 A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i

) D. 2 ? i

C. 2 ? i
1 2 ? i

8.(07 年陕西卷)在复平面内,复数 z= (A)第一象限 (B)第二象限
1? i 1? i

对应的点位于(D) (C)第在象限 (D)第四象限 ) (D) i

9. 07 年四川卷)复数 ( (A)0

? i 的值是(
3

(B)1

(C) ? 1
2i
3

10. (2007 年天津卷) i 是虚数单位, A. 1 ? i B. ? 1 ? i

1? i

?(

) D. ? 1 ? i

C. 1 ? i

11. 年上海卷) (07 已知 2 ? a i , b ? i 是实系数一元二次方程 x ? p x ? q ? 0 的两根, p , q 的值为 ( 则
2



A、 p ? ? 4 , q ? 5

B、 p ? 4 , q ? 5
2 ? ai 1? 2i

C、 p ? 4 , q ? ? 5

D、 p ? ? 4 , q ? ? 5

12. (07 年安徽卷)若 a 为实数,

=- 2 I,则 a 等于(



(A) 2

(B)- 2

(C)2 2
2

(D)-2 2 )

13. (07 年山东卷)若 z ? co s ? ? i sin ? ( i 虚数单位) ,则 z ? ? 1 使的值可能是( (A)
?
6

(B)

?
4

(C)

?
3 ?5 ? 10i 3 ? 4i

(D)

?
2

14. (07 年宁夏卷) i 是虚数单位,

?

. (用 a ? b i 的形式表示, a, b ? R )

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第三课. 复数的综合应用

例 1.已知关于 x 的方程 x ? (1 ? 2 i ) x ? ( 3 m ? 1) i ? 0 有实根,试求纯虚数 m 的值.
2

例 2.已知复数 z 1, z 2 满足条件 z 1 ? 2 , z 2 ? 3 ,且 3 z 1 ? 2 z 2 ? 6 ,求复数 z 1 和 z 2 .

2 例 3.已知方程 x ? 4 x ? c ? 0 ( c ? R ) 的一个根为 x 1 ? ? 2 ? i ,求 c 的值及方程的另一个根.

例 4.若关于 x 的方程 x ? z x ? 4 ? 3 i ? 0 有纯虚数根,求 z 的最小值.
2

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复数的综合应用课堂训练
1.下列说法中正确的是( ) A.如果实数 a, b 相等,则 ( a ? b ) ? ( a ? b ) i 是纯虚数 B.模相等的两个复数是共轭复数 C.如果 z 是纯虚数,那么 z ? z D.任何数的偶次幂不小于零 2.已知复数 z 满足 z ? 2 z ? 3 ? 0 ,则复数 z 为对应点的轨迹是( A.一个圆 B.线段 C.两个点 D.两个圆 3.下列四个命题中真命题的个数是( ) ①0 比 ? i 大; ②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数; ③ x ? y i ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1 ; ④如果让实数 a 与 a i 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应. A.0 B.1 C.2 D.3 4.下面给出的四个不等式中,正确的是( A. 3 i ? 2 i C. 2 ? i ? 2 i 4 B. 2 ? 3 i ? 1 ? 4 i D. i ? ? i
2

2





5.已知复数 z 满足 z ? ? z ,则 z 的实部( A.不小于 0
2

) D.小于 0

B.不大于 0
2 2

C.大于 0 )
2

6.对于虚数 z,z ,z , z 的关系是( A.互不相等 C. z
2

B. z
? z
2

2

? z ? z

? z ? z

2

? z

2

D. z

2

2

2

7.复平面上矩形 A B C D 的四个顶点中, A, B , C 所对应的复数分别是 2 ? 3i ,3 ? 2 i ,? 2 ? 3i ,则 D 点 对应的复数是( ) A. ? 2 ? 3i B. ? 3 ? 2 i C. 2 ? 3i D. 3 ? 2 i 8.若复数 z 满足 z ? 3 ? 4 i ? 4 ,则 z 的最小值是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) )

9.设 a ? 1 ,复数 z 满足 (1 ? a i ) z ? i ? a ,则 z 对应的点在复平面中的( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

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复数的综合应用加强训练
1.已知 ? ? ?
1 2 ? 3 2 i ,则下列命题:① ?
2

? ? ;② ?

2

?

1

?

;③ 1 ? ? ? ? ? 0 ;④ ? ? 1 .其中真命
2 3

题的个数是( ) A. 1 B. 2

C. 3

D. 4 )

2.已知 z ? C ,满足不等式 z z ? iz ? i z ≤ 0 的点 Z 的集合用阴影表示为(

3.设 z ? ( 2 t ? 5 t ? 3 ) ? ( t ? 2 t ? 2 ) i , t ? R ,则以下结论正确的是(
2 2



A. z 对应的点在第一象限 C. z 对应的点在实轴的下方 4.定义运算
ab c d
?1? i ? ? ?1? i ?
2003

B. z 一定不为纯虚数 D. z 一定为实数
1 ?1 z zi ? 2 的复数 z 为

? a d ? b c ,则符合条件



5. 设 z ? ? 1 ? ?

,则 z ?
4n 4n



?1? i ? 6. 若 n 为奇数,则 ? ? ? 2 ?

?1? i ? ?? ? ? 2 ?

?



7. 复平面内,复数 z ? x ?
2

1 3

i ( x ? R ) 所对应的点都在单位圆内,则实数 x 的取值范围是



8.已知关于 x 的方程: x ? ( 6 ? i ) x ? 9 ? a i ? 0 ( a ? R )有实数根 b . (1)求实数 a, b 的值; (2)若复数 z 满足 z ? a ? b i ? 2 z ? 0 ,求 z 为何值时, z 有最小值,并求出 z 的最小值.

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第四课. 导数的概念与意义?

(一)曲线的切线及切线的斜率 如图,当 Pn ( x n , f ( x n )) ( n ? 1, 2 , 3, 4 ) 沿着曲线 f ( x ) 趋近于点 P ( x 0 , f ( x 0 ) ) 时,割线 P Pn 的变化趋势是什 么? 问题: (1)割线 P Pn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系? (2)切线 PT 的斜率 k 为多少?

说明: (1)设切线的倾斜角为 ? , 那么当 ? x ? 0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x 0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多. (二)导数的几何意义 函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处的导数等于在该点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线的斜率, 即 f ? ( x 0 ) ? lim 说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x 0 处的变化率 f ? ( x 0 ) ? lim 切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. (三)导函数 由函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处求导数的过程可以看到,当 x ? x 0 时, f ? ( x 0 ) 是一个确定的数,那么,当 x 变 化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f ( x ) 的导函数. 记作: f ? ( x ) 或 y ? ,即 f ? ( x ) ? y ? ? lim
f (x ? ?x) ? f (x) ?x
f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x
?x? 0

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

?x? 0

? k

? k 得到曲线在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 的

.

?x? 0

注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (四)函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ? ( x 0 ) 、导函数 f ? ( x ) 、导数之间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f ? ( x 0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常 数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的,就是函数 f ( x ) 的导函数.
' (3)函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ( x 0 ) 就是导函数 f ? ( x ) 在 x ? x 0 处的函数值,这也是求函数在点 x 0 处

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的导数的方法之一. 1.用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δ y; (2)求平均变化率
?y ?x

; (3)取极限,得导数 f′(x0)= lim

?y ?x

?x? 0

.

2.导数的几何意义和物理意义 几何意义: 曲线 f(x)在某一点(x0,y0)处的导数是过点(x0,y0)的切线斜率. 物理意义: 若物体运动方程是 s=s(t),在点 P(t0,s(t0))处导数的意义是 t=t0 处的瞬时速度.

例 1. (1) y ? x ? 1 ,当 x ? 2 时 , lim
3

?y ?x

?

?x? 0

(2)任一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s ? 3 t ? t ,则物体的初速度 v 0 =
2

(3)质点运动规律为 s ? t ? 3 ,则质点在 t ? 3 的瞬时速度为 (4)函数 y ? x ?
1 x

2

, 在 x ? 1 处的导数是

例 2. (1)求曲线 y=x2 在点(1,1)处的切线方程.

(2).若直线 y ? ? x ? b 为函数 y ?

1 x

图象的切线,求 b 的值和切点坐标.

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导数的意义与运算课堂训练
1.曲线 y ? x 在 x ? 0 处的(
2

) 没有切线 D 切线方程为 y ? 0 )

A

切线斜率为 1
2

B 切线方程为 y ? 2 x C

2.已知曲线 y ? 2 x 上的一点 A(2,8) ,则点 A 处的切线斜率为( A 4 B 16 C 8 D 2 )

/ 3.函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处的导数 f ( x 0 ) 的几何意义是(

A B C D

在点 x ? x 0 处的函数值 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 与点(0,0)连线的斜率

4. 曲线 y=f(x)在点 P(2,-3)的切线方程为 x+2y+4=0,则 f′(2)等于( A.1 2

) D.-3

B.2
'

C.3 ) 3 D

5.设 f ( x ) ? ax ? 4 ,若 f (1 ) ? 2 ,则 a 的值( A 2 B . -2 C

-3 . .

6. 过点(-1,0)作抛物线 y=x2+x+1 的切线,则切线的方程为 7. 曲线 y ?
1 x

和 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是

8. 求曲线 y=x3 过点(1,1)的切线方程。

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9.在曲线 y ? x 上过哪一点的切线, (1)平行于直线 y ? 4 x ? 5 ;
2

(2)垂直于直线 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 ; (3)与 x 轴成 135 的倾斜角; (4)求过点 R(1,-3)与曲线相切的直线。

?

导数的意义与运算加强训练
1、试推导 y ? x 的导函数。
a

2. 求导公式
C
'

?

(C 为常数); ( x ) ?
a '

; (sin x ) ?
'

; (cos x ) ?
'



(e ) ?
x '



(a ) ?
x '



(ln x ) ?
'

; (log

a

x) ?
'

.

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第五课. 导数的运算

1.用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δ y; (2)求平均变化率
?y ?x

; (3)取极限,得导数 f′(x0)= lim

?y ?x

?x? 0

.

2.导数的几何意义和物理意义 几何意义: 曲线 f(x)在某一点(x0,y0)处的导数是过点(x0,y0)的切线斜率. 物理意义: 若物体运动方程是 s=s(t),在点 P(t0,s(t0))处导数的意义是 t=t0 处的瞬时速度. 3.求导公式
C
x

'

?
'

(C 为常数) ; ;
(a ) ?
x '

(x ) ?
a ' '

; (sin x ) ?
'

; (cos x ) ?
'



(e ) ?

; (ln x ) ?

; (log

a

x) ?
'

.

4.导数的四则运算法则 (1) ? f ( x ) ? g ( x ) ? =
'

(2) ? f ( x ) ? g ( x ) ? =
'

? f (x) ? (3) ? ? = ? g (x) ?

'

, g (x) ? 0 。

例 1、求下列函数导数。 (1) y ? x
?5

(2) y ? 4

x

(3) y ?

x

x

x

(4) y ? log

3

x

(5)y=sin(

?
2

+x)

(6) y=sin

?
3

(7) y ? tan x

(8)y= f ? (1)

(9) y ? x ? ln x

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17

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例 2. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点(1,1),且在(2,-1)处的切线的斜率为 1,求 a、b、c 的值.

例 3. 曲线 y=x3 在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?

例 4.已知点 P 在函数 y=cosx 上, (0≤x≤2π ) ,在 P 处的切线斜率大于 0,求点 P 的横坐标的取值范围。

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18

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导数的运算课堂训练
1 f ?( x ) 是 f ( x ) ?
1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ? ( ? 1) 的值是
3

. . . .

2 过点(-1,0)作抛物线 y=x2+x+1 的切线,则切线的方程为 3 曲线 y ? 4 若曲线 y
1 x
? x
4

和 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 的一条切线 l 与直线 x ?
4y ?8 ? 0

垂直,则 l 的方程为

5 曲线 y=f(x)在点 P(2,-3)的切线方程为 x+2y+4=0,则 f′(2)等于( A.1 2

) D.-3 )

B.2

C.3

6. 函数 y=f(x)的图象过原点且它的导函数 y=f′(x)的图象是如图所示的直线,则 y=f(x)图象的顶点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

7. 求下函数的导函数: (1) y ? 2 ? log
x

2

x

(2) y ?

x

2

2x ? 1

(3) y ?

sin x ? cos x x

(4) y ?

( 3 ? lg x ) e
x

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19

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导数的运算加强训练
1. 已知 f(x)=
1 3

x3+3xf′(0),则 f′(1)等于_________________.

2. 已知直线 y ? x ? 1 ,点 P 为 y=x2 上任意一点,求 P 在什么位置时到直线距离最短.

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20

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第六课 导数与单调性(1)

1. 在某个区间 ? a , b ? 内, (1)如果 f ' ? x ? ? 0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内 (2)如果 f ' ? x ? ? 0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内 (3)如果 f ( x ) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内是
'

, , 。 这时,函数的

2. 如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,函数在这个范围内 图像就比较 ,反之,函数的图像就 。

3. 在某个区间 ? a , b ? 内,如果 f ' ? x ? ? 0 ,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增,反之成立
3 吗?(不成立。如 f ( x ) ? x )

3.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤: (1)求 f′(x). (2)确定 f′(x)在(a,b)内的符号. (3)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数;若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减 函数. 4.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤: (1)求 f′(x). (2)f′(x)>0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f′(x)<0 的解集与定义域的交集的对应区间为减 区间.

例 1 求下列函数的单调区间。
2 (1) f ( x ) ? 3 x ? ln x

(2) f ( x ) ? ?

1 3

ax

3

? 2x

2

? 1( a ? 0 )

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21

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例 2. 已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

例 3. 已知函数 f(x)=ax3+bx2,曲线 y=f(x)过点 P(-1,2),且在点 P 处的切线恰好与直线 x-3y=0 垂直. (1)求 a、b 的值; (2)若 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求 m 的取值范围.

导数与单调性(1)课堂训练
1 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=
1 x

+2x

2.函数 f ( x ) ? ( x ? 3 ) e 的单调递增区间是 (
x

) D. ( 2 , ?? )

A. ( ?? , 2 )

B.(0,3)

C.(1,4)

3. 函数 f(x)=x3-3x2+1 是减函数的区间为( ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,0)

D.(0,2)
22

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成就学生

4. 函数 f(x)=ax2-b 在(-∞,0)内是减函数,则 a、b 应满足( ) A.a<0 且 b=0 B.a>0 且 b∈R C.a<0 且 b≠0

D.a<0 且 b∈R

5. 设 f ' ? x ? 是函数 f(x)的导函数,y= f ' ? x ? 的图象如下图所示,则 y=f(x)的图象最有可能是(

)

6.设 f ? ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ? ( x ) 的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正确的是( )

7. 函数 f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b 的图象关于原点成中心对称,则 f(x) ( A.在[-4 3 ,4 3 ]上为增函数

)

B.在[-4 3 ,4 3 ]上非单调函数

C. 在[4 3 ,+∞]上为增函数,在(-∞,-4 3 )上为减函数 D. 在(-∞,-4 3 )上为增函数,在[4 3 ,+∞)上也为增函数 8. 讨论函数 y ?
1 3 ax
3

?

1 2

(a ? a ) x
2

2

( ? a x ? a 的单调递减区间。 a ? 0 )
3 2

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23

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导数与单调性(1)加强训练
1.已知函数 f ( x ) ?
ax ? 6 x ?b
2

的图像在点 M ( ? 1, f ( ? 1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 . (2)求函数 y ? f ( x ) 的单调区间.

(1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式;

2.讨论函数 f ( x ) ?
x

bx
2

?1

( b ? 0 , ? 1 ? x ? 1 ) 的单调性

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24

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第七课. 导数与单调性(2)

1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤: (1)求 f′(x). (2)确定 f′(x)在(a,b)内的符号. (3)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数;若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减 函数. 2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤: (1)求 f′(x). (2)f′(x)>0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f′(x)<0 的解集与定义域的交集的对应区间为减 区间.

例 1.已知 f ( x ) ? ( x 实数 a 的取值范围.

2

? 4 )( x ? a ) , a 为实数,若 f ( x ) 在 ( ?? , ? 2 ] 和 [ 2 , ?? ) 上都是递增的,求

例 2.已知函数 f ( x ) ? 2 a x ?

1 x
2

, x ? ? 0 ,1 ? ,若 f ( x ) 在 x ? ? 0 ,1 ? 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

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25

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例 3.设 f ( x ) ? a x ? x 恰有三个单调区间,试求 a 的取值范围,并求其单调区间.
3

导数与单调性(2)课堂训练
1.函数
f (x) ? x
3

? ax

2

? bx ? c

其中 a , b , c 为实数) ,当 a 2 C、常数

? 3b ? 0

时 f ( x ) 是(



A、增函数

B、减函数

D、既不是增函数也不是减函数

2.若函数 y

? a(x

3

? x)

的递减区间为 ( ?

3 3

,

3 3

)

,则 a 的取值范围是

3.已知函数 f ( x ) ? 2 a x ? x , x ? ? 0 ,1 ? , a ? 0 ,若 f ( x ) 在 x ? ? 0 ,1 ? 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
3

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26

成就学生

4.已知函数 f ( x ) ? 4 x ? a x 2 ?

2 3

x ( x ? R ) 在区间 ? ? 1 ,1 ? 上是增函数,求实数 a 的取值范围
3

5.已知向量 a ? ( x , x ? 1), b ? (1 ? x , t ) ,若 f ( x ) ? a ? b 在区间(-1,1)上是增函数,求
2

t

的取值范围

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27

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导数与单调性(2)加强训练

1.(天津理 20)已知函数

,其中



(Ⅰ)当

时,求曲线

在点

处的切线方程;

(Ⅱ)当

时,求函数

的单调区间。

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28

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第八课.导数与极值
1. 极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x) 的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点
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奎屯 新疆

2. 极小值: 一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一 个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点
王新敞
奎屯 新疆

3. 极大值与极小值统称为极值 : (1)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 (2)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,
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奎屯 新疆

王新敞
奎屯

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4. 若函数 f(x)有导数,它的极值可在方程 f′(x)=0 的根处来考察,求函数 y=f(x)的极值方法如下: (1)求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右的值的符号,如果左负右正,那么函数 y=f(x)在这个根处取得极 小值;如果左正右负,那么函数 y=f(x)在这个根处取得极大值.

例 1:观察下图,看函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢? (完成下表)

y

y

o

a

x0

b

x

o

a

x0

b

x

极大值与导数的关系: (图 1)
x
f ? ( x ) (符号)
f ( x ) (单调性)

x 0 左侧

x0

x 0 右侧

极小值与导数的关系: (图 2)
x
f ? ( x ) (符号) f ( x ) (单调性)

x 0 左侧

x0

x 0 右侧

问题: 请问如何判断 f ( x 0 ) 是极大值或是极小值?

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29

成就学生

例 2.求下列函数的极值 (1) y
? x ? 7x ? 6
2

(2) y

? x

2

? 27 x

(3)

f (x) ? x ? 27 x
3

(4) y ?

1 3

x ? 4x ? 4
3

例 3. 设

f ( x ) ? ax ? bx ? cx
3 2

,在 x

?1

和x

? ? 1 处有极值,且 f ( ? 1)

=-1,求 a ,b ,c 的值,并求出相应的值。

3 例 4. 函数 f ( x ) ? x ? 3 ax ? a ( a ? 0 ) 的极大值为正数,极小值为负数,求 a 的取值范围。

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30

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导数与极值课堂训练
1、对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2、下列函数中,x=0 是极值点的函数是( A.y=-x
3

) C.y=tanx-x D.y=
1 x

B.y=cos x

2

3、下列说法正确的是( ) A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

3 2 C.对于 f(x)=x +px +2x+1,若|p|< 6 ,则 f(x)无极值

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D.函数 f(x)在区间(a,b)上一定存在最值 4. 函数 y
? 2 ? x ? x
2 3

王新敞
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新疆

的极值情况是(

) B.有极小值,没有极大值 D.既无极大值也极小值

A.有极大值,没有极小值 C.既有极大值又有极小值 5. 三次函数当 x A. y
3 2

? 1 时,有极大值

4;当 x
3 2

? 3 时,有极小值

0,且函数过原点,则此函数是(
3 2



? x ? 6x ? 9x

B. y
2

? x ? 6x ? 9x

C. y

? x ? 6x

? 9x

D. y )
? ? 1, b ? 5

? x ? 6x ? 9x
3 2

6. 函数 A. a

f (x) ? x ? ax
3

? bx ? a

2

在x

? 1 时有极值

10,则 a、b 的值为( 或a
? ?4, b ? 11

? 3, b ? ? 3

或a

? ?4, b ? 11

B. a

? ?4, b ? 1

C. a

D.以上都不正确

7、如图是导函数 y ? f ? ( x ) 的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数 y ? (2)导函数 y ? f ? ( x ) 有极小值?(3)函数 y ? f ( x ) 有极大值?(4)函数 y ?

有极大值? f ( x ) 有极小值?

f ?( x )

8. 函数

f (x) ? x ? ax ? 3x ? 9
3 2

在x

? ? 3 时有极值,求

a 的值。

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31

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第九课. 导数与最值

1. 一般地, 在闭区间 ? a , b ? 上函数 y ? f ( x ) 的图像是一条连续不断的曲线, 那么函数 y ? f ( x ) 在 ? a , b ? 上 必有最大值与最小值. 2.利用导数求函数的最值步骤: 一般地,求函数 f ( x ) 在 ? a , b ? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x ) 在 ( a , b ) 内的极值; (2)求 f ( x ) 在 ? a , b ? 端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b ) ; (3)将 f ( x ) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b ) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个 是最小值
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例 1、观察下图回答下列问题。
y
(1) 你能找出 y ? f ( x ) 在区间[a,b]的极大值极小值么?

y ? f (x)

a x 1

o

x2

x3

x4

x5

x6 b

x

(2)

你能找出 y ? f ( x ) 在区间[a,b]的最大值最小值么?

结论:一般的,在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.

1 提问:○.如果是在开区间(a,b)上是否一定存在最值情况如何? 2 提问:○如果[a,b]上不连续上述结论还一定还成立吗? 例 2. 求下列函数的最值。
(1) f ( x ) ? x ? 3 x ? 1
3

(2) f ( x ) ?

x

2

x ?1

(?1 ? x ? 4)

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32

成就学生

例 2.已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 6 x
3

2

? a 在[-2,2]上有最小值-37,

(1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x ) 在[-2,2]上的最大值。

例 3. 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c x 在点 x 0 处取得极大值 5 ,其导函数 y ? f '( x ) 的图象经过点 (1, 0 ) ,
3 2

( 2 , 0 ) ,如图所示.求:

(Ⅰ) x 0 的值;

(Ⅱ) a , b , c 的值.

导数与最值课堂训练
1.下列说法正确的是( ) B.当 f ? (x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极小值 D.当 f(x0)为函数 f(x)的极值时,则有 f ? (x0)=0 ) A.当 f ? (x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极大值 C.当 f ? (x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极值

2. 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能
1 4 1 3 1 2

3. 函数 y= A.0

x

4

?

x

3

?

x ,在[-1,1]上的最小值为(
2



B.-2

C.-1

D.
33

13 12

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成就学生

4. 函数 y=

2x ? x x ?1

2

的最大值为(



A.

3 3

B.1

C.

1 2

D.

3 2

5. 设 y=|x|3,那么 y 在区间[-3,-1]上的最小值是( ) A.27 B.-3 C.-1 D.1 6. 设 f(x)=ax3-6ax2+b 在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29,且 a>b,则( A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=-2,b=-3 )

3 2 7. 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 3 x ? 9 x ? a , (1)求 f ? x ? 的单调递减区间; (2)若 f ? x ? 在区间 ? ? 2 , 2 ? 上的

最大值是 20,求该区间上的最小值。

8. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x= 时,y=f(x)有极
3

3

2

2

值. (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

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34

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导数与最值加强训练
1. 已知函数 f ( x ) ? ax
3

? 6 ax

2

? b ,若 f(x)在[-1,2]上的最大值为 3,最小值为 29,求 a、b 的值.

3 2 2. 已知函数 f ( x ) ? a x ? x ? b x (其中常数 a,b∈R), g ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ) 是奇函数.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式;(Ⅱ)讨论 g ( x ) 的单调性,并求 g ( x ) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

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35

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第十课. 导数与单调性,极值,最值

1. 函数的单调性: ⑴ 函数 y= f ( x ) 在某个区间内可导,若 (逆命题不成立) (2) 如果在某个区间内恒有
f ?( x ) ? 0

f ?( x )

>0,则

f (x)



;若

f ?( x )

<0,则

f (x)



.

,则

f ( x)

.

(注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的). (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ① 确定函数 f ( x ) 的 ; ② 求 f ? ( x ) ,令 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根; ③ 把函数 f ( x ) 的间断点 (即 f ( x ) 的无定义点) 的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 f ( x ) 的定义区间分成若干个小区间; ④ 确定 f ? ( x ) 在各小开区间内的 , 根据 f ? ( x ) 的符号判定函数 f ( x ) 在各个相应小开区间内的增减性.

2.可导函数的极值: ⑴ 极值的概念 设函数 f ( x ) 在点 x 0 附近有定义,且对 x 0 附近的所有点都有 一个极大(小)值.称 x 0 为极大(小)值点.

(或

) ,则称

f (x0 )

为函数的

⑵ 求可导函数极值的步骤: ① 求导数 f ? ( x ) ; ② 求方程 f ? ( x ) =0 的 ; ? ( x ) 在方程 f ? ( x ) =0 的根左右的符号, ③ 检验 f 如果在根的左侧附近为正, 右侧附近为负, 那么函数 y= f ( x ) 在这个根处取得 ;如果在根的左侧附近为负,右侧为正,那么函数 y= f ( x ) 在这个根处取 得 .

3.函数的最大值与最小值: ⑴ 设 y= f ( x ) 是定义在区间[a ,b ]上的函数,y= 上 有最大值与最小值;但在开区间内

f ( x)

在(a ,b )内有导数,则函数 y=

f ( x)

在[a ,b ]

有最大值与最小值.

(2) 求最值可分两步进行: ① 求 y= f ( x ) 在(a ,b )内的 ② 将 y= f ( x ) 的各 值与

f (a )

值; 、 f (b ) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. , f (b ) 为函数的 f ( b ) 为函数的 ;若函数 y .

(3) 若函数 y= f ( x ) 在[a ,b ]上单调递增,则 f ( a ) 为函数的 = f ( x ) 在[a ,b ]上单调递减,则 f ( a ) 为函数的 ,

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36

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例 1. 设函数 f(x)=-x(x-a) (x∈R),其中 a∈R. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的极大值和极小值.

2

例 2. 已知函数 f(x)=x -ax-1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;不存在,说明理由; 3 (3)证明:f(x)=x -ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方.

3

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37

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导数与单调性,极值,最值课堂训练
1.函数 y ? f ( x ) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x ) 在这点取极值的( A 充分条件 B 必要条件
3

)w.w.w.k.

C 充要条件

D 必要非充分条件 )

2.函数 f ( x ) ? x ? 3 ax ? b ( a ? 0 ) 的极大值为 6,极小值为 2,则 f ( x ) 的减区间是 ( A. (-1,1) B. (0,1) C. (-1,0) D. (-2,-1)

3.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确的序号是(

)

A.①、②
3 2

B.①、③

C.③、④

D.①、④ y
2

4.函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c x ? d 的图象如图,且 f ( x ) 在 x ? x 0 与 x ? 2 处取得极值,则 f ? (1 ) ? f ? ( ? 1 ) 的值一定( A. 等于 0 C. 小于 0
3 2

).

B. 大于 0 D. 小于或等于 0

x0 -2 O

x

5.函数 y ? 2 x ? 3 x ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是_______. w.w.w. w.w.w.k.s. 6.对于给定的函数 f ( x ) ? x ?
1 x ( x ? 0 ) ,有以下四个结论:

① f ( x ) 的图象关于原点对称;② f ( x ) 在定义域上是增函数; ③ f ( x ) 在区间 ( 0 ,1 ] 上为减函数,且在 [1, ?? ) 上为增函数; ④ f ( x ) 有最小值 2。 其中结论正确的是_____________.

7. 函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)( A.无极大值点,有四个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点

)

B.有三个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点

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38

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8. 设函数 f ? x ? ? x 3 ? b x 2 ? cx ( x ? R ) ,已知 g ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ) 是奇函数。 (Ⅰ)求 b 、 c 的值。 (Ⅱ)求 g ( x ) 的单调区间与极值。

导数与单调性,极值,最值加强训练
1.若函数 y= x3-
3 1 1 2

ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求

实数 a 的取值范围.

2.(重庆文 20)用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问 该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

3. 已知函数 (I)当 a

f ( x ) ? ( a x ? 1) e

x

,a ? R
f (x)

? 1 时,求 f ( x )

的极值; (II)若函数

在区间 ( 0 ,1) 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围.

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成就学生

第十一课.导数的应用

(1) 定 义 :

函 数 f ? x ? 在 x ? x 0 处 的 瞬 时 变 化 率 是 lim

f

? x2 ? ?

f

? x1 ?

?x? 0

x 2 ? x1
f

? lim

?f ?x

,则称它为函数

?x? 0

y ?

f?

?x在 x

? x 0 处的导数,记作 f ? ? x 0 ? 或 y ?

x ? x0

,即 f ? ? x 0 ? ? lim

? x0

? ?x? ? f ?x

? x0 ?



?x? 0

(2)、切线:

函数 y ? f ? x ? 在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ? x ? 在点 ? ? x 0 , f ? x 0 ? ? 处的切线的

斜 率 . 曲 线 y ? f ? x ? 在 点 ? ? x0 , f ? x0 ? ? 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ? ? x0 ? , 切 线 的 方 程 为
y? f

? x0 ? ?

f ? ? x 0 ? ? x ? x 0 ? .若函数在 x 0 处的导数不存在,则说明斜率不存在,切线的方程为 x ? x 0 .

(3)、导数公式: (4)、导数运算法则: 在某个区间 ? a , b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增;若

(5)、导数单调性:

f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f

? x ? 在这个区间内单调递减.

(6)、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是: 1 ○ 解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x 0 ? ? 0 时: 2 ○ 如果在 x 0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x 0 ? 是极大值; 如果在 x 0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x 0 ? 是极小值.

(7)、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a , b ? 上的最大值与最小值的步骤是: 1 ○求函数 y ? f ? x ? 在 ? a , b ? 内的极值; 2 ○将函数 y ? f ? x ? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值.

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40

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例 1. 设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 a x ? 3 b x ? 8 c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [ 0,] ,都有 f ( x ) ? c 成立,求 c 的取值范围. 3
2

例 2. (重庆理 20)已知函数 数。

(x>0)在 x = 1 处取得极值--3--c,其中 a,b,c 为常

(1)试确定 a,b 的值;(2)讨论函数 f(x)的单调区间;

(3)若对任意 x>0,不等式

恒成立,求 c 的取值范围。

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41

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导数的应用课堂训练
1.设函数 f ( x ) ? 3 x ? 4 x 则下列结论中,正确的是(
4 3



A. f ( x ) 有一个极大值点和一个极小值点 C. f ( x ) 只有一个极小值点

B. f ( x ) 只有一个极大值点 D. f ( x ) 有二个极小值点

2.在下列结论中,正确的结论有( ) ①单调增函数的导函数也是单调增函数 ②单调减函数的导函数也是单调减函数; ③单调函数的导函数也是单调函数; ④导函数是单调,则原函数也是单调的. A.0 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.函数 y=x -8x +2[-1,3]上最大值为 ( A.11 B.2 C.12 4.(全国卷Ⅰ)函数 f ( x ) ? x ? ax
3 2

4

2

) D.10 )

? 3 x ? 9 ,已知 f ( x ) 在 x ? ? 3 时取得极值,则 a =(

A.2
x

B.3
2

C.4

D.5 )

5.曲线 y ? e 在点 ( 2, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
9 4
e
2

A.

e

2

B. 2 e

2

C. e

2

D.

2

6.函数 f ( x ) ? x ln x ( x ? 0 ) 的单调递增区间是 7.已知函数 y= 3 x ? 2 x ? 1 在区间 ( m ,
3 2
2 2

. .

0 ) 上为减函数, 则 m 的取值范围是

8. 设函数 f ( x ) ? tx ? 2 t x ? t ? 1( x ? R , t ? 0 ) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h ( t ) ; (Ⅱ)若 h ( t ) ? ? 2 t ? m 对 t ? ( 0, ) 恒成立,求实数 m 的取值范围。 2

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42

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9.已知函数 f ? x ? ? 的切线方程;

x ?1 x? a

? ln ? x ? 1 ? , 其中实数 a ? 1 。

1)若 a=-2,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 , f ? 0 ? ? 处

2)若 f ? x ? 在 x=1 处取得极值,试讨论 f ? x ? 的单调性。

导数的应用加强训练

1.(天津理 20)已知函数

,其中



(Ⅰ)当

时,求曲线

在点

处的切线方程;

(Ⅱ)当

时,求函数

的单调区间与极值.

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第十二课.导数与函数专项测试
【注:每题的分数与序列号相同,100 分以上为 A,80 分以上为 B,60 分以上为 C】 1.曲线 y
? s in x

在点(

?
3

,

3 2

)处的切线方程为



2.若函数 f ( x ) ? x ? a x ? b 在定义域 ( a ? 3, 2 a ) 上为奇函数,则函数 f ( x ) 的减区间为
3

3.函数 f ? x ? ? x ? 2 c o s x (0 ? x ?

?
2

)

的最大值为



4.函数 f (x) = x – lnx 的单调递减区间是


? 2 xf ' ? 2 ? ,则 f ' ? 5 ? ?

5.已知函数 f ? x ? 的导函数为 f ' ? x ? ,且满足 f ? x ? ?

3x

2



6.曲线 y

?

1 x

和y ? x

2

在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是



7.已知 f ( x ) ? | lo g 3 x | ,若 f ( a ) ? f ( 2 ) ,则 a 的取值范围是



8.已知函数 f ( x ) ? x ? 3 m x ? n x ? m 在 x=-1 时有极值 0,则 m=___________;n=__________.
3 2 2

9.如图为函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c x ? d 的图象, f '( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数,则不等式 x ? f '( x ) ? 0 的 解集为______ ___________.
3 2

? x ? 4 x ? 6, x ? 0 10.设函数 f ( x ) ? ? 则不等式 f ( x ) ? f (1 ) ? x ? 6, x ? 0
2

的解集是



11.若函数 f ? x ?

? mx

2

? ln x ? 2 x

在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是



12.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足: f ( 2 ? x ) ? ? f ( x ) ,且在 ? ? 1, 0 ? 上是增函数,下面关于 f ( x ) 的判 断:① f ( x ) 是周期函数;② f (5 ) =0;③ f ( x ) 在 ?1, 2 ? 上是减函数;④ f ( x ) 在 ? ? 2 , ? 1 ? 上是减函数.其 中正确的判断是 . (把你认为正确的判断都填上)

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13.设函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 ax (1)求 a,b 的值;

2

? 3 bx 的图像与直线

12 x ? y ? 1 ? 0

相切于点(1,-11) 。

(2)讨论函数 f ( x ) 的单调性.

14.设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 ( a ? 1 ) x ? 6 ax ? 8 , 其中 a ? R.
3 2

(1)若 f ( x ) 在 x ? 3 处取得极值,求常数 a 的值; (2)若 f ( x ) 在 ( ?? , 0 ) 上为增函数,求 a 的取值范围.

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45

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15.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 b x ? c x ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5 x ? 1 0 。
3 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设函数 g ( x )
? f ( x) ? 1 3 mx

,若 g ( x ) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x ) 取得极值时

对应的自变量 x 的值.

16.已知函数 f ( x ) ? ln ( a x ? 1) ?

1? x 1? x

, x ? 0 ,其中 a ? 0
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(1)若 f ( x ) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f ( x ) 的单调区间;

(3)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围.

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