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【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测:第8章 第6节 双曲线]


第六节

双 曲 线

[全盘巩固] x2 y2 1. 已知双曲线 C:2- 2=1 的焦距为 10, 点 P(2,1)在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为( ) a b 2 2 2 2 x y x y A. - =1 B. - =1 20 5 5 20 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 80 20 20 80 解析

:选 A 因为双曲线的焦距为 10,所以 c=5. b 又因为 P(2,1)在渐近线上,且渐近线方程为 y= x, a 2b 所以 1= ,即 a=2b. a 2 又因为 c =a2+b2=5b2=25,所以 b2=5,a2=20. x2 y2 即双曲线方程为 - =1. 20 5 2.(2013· 福建高考)双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( ) 1 2 A. B. C.1 D. 2 2 2 解析:选 B 双曲线 x2-y2=1 的顶点为(-1,0),(1,0),渐近线方程为 x+y=0 和 x-y 1 2 =0,由对称性不妨求点(1,0)到直线 x-y=0 的距离,其距离为 = . 2 2 x2 y2 3.已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( ) a 5 3 14 3 2 3 4 A. B. C. D. 14 4 2 3 x2 y2 解析:选 C 因为双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0), a 5 c 3 所以 c=3,又 b2=5,所以 a2=c2-b2=9-5=4.即 a=2.所以双曲线的离心率 e= = . a 2 x2 y2 4.(2014· 惠州模拟)已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值 a b 范围为( ) A.(1, 5) B.(1, 5] C.( 5,+∞) D.[ 5,+∞) b 解析:选 C ∵双曲线的一条渐近线方程为 y= x, a b 则由题意得 >2. a b?2 c ∴e= = 1+? ?a? > 1+4= 5. a x2 y2 5.已知双曲线 - 2=1(b>0)的左,右焦点分别是 F1,F2,其一条渐近线方程为 y=x, 2 b 点 P( 3,y0)在双曲线上.则 PF1 · PF2 =( A.- 12 B.-2 C.0 D.4 )

解析:选 C 由渐近线方程为 y=x 知双曲线是等轴双曲线,不妨设双曲线方程是 x2- y2=2,于是 F1,F2 坐标分别是(-2,0)和(2,0),且 P( 3,1)或 P( 3,-1).由双曲线的对称 性,不妨取 P( 3,1),则 PF1 =(-2- 3,-1), PF2 =(2- 3,-1).所以 PF1 · PF2 = (-2- 3,-1)· (2- 3,-1)=-(2+ 3)· (2- 3)+1=0. x2 y2 6.(2014· 杭州模拟)设 F1,F2 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点, a b 以 F1F2 为直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P,若双曲线 C 的离心率为 5,则 cos ∠PF2F1=( ) 3 A. 5 3 B. 4 4 C. 5 5 D. 6

解析:选 C 据题意可知 PF1⊥PF2,设|PF1|=n,|PF2|=m,又由双曲线定义知 m-n c =2a ①;由勾股定理得 m2+n2=4c2 ②;又由离心率 e= =5 ③,三式联立解得 m= a |PF2| m 8a 4 8a,故 cos∠PF2F1= = = = . |F1F2| 2c 2×5a 5 x2 y2 7.(2013· 江苏高考)双曲线 - =1 的两条渐近线的方程为________________. 16 9 x2 y2 x2 y2 3 解析:因为双曲线 - =1 的两条渐近线方程为 - =0,化简得 y=± x. 16 9 16 9 4 3 答案:y=± x 4 x2 y2 5 8.(2013· 陕西高考)双曲线 - =1 的离心率为 ,则 m 等于________. 16 m 4 2 2 c b m 25 解析:依题意知 m>0,则 e2= 2=1+ 2=1+ = ,解得 m=9. a a 16 16 答案:9 9.(2014· 丽水模拟)已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上 一点,若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________. 解析:不妨设点 P 在双曲线的右支上且 F1,F2 分别为左、右焦点, 因为 PF1⊥PF2,所以(2 2)2=|PF1|2+|PF2|2, 又因为|PF1|-|PF2|=2, 所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得 2|PF1|· |PF2|=4, 则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|=12, 所以|PF1|+|PF2|=2 3. 答案:2 3 10. 已知双曲线的中心在原点, 焦点 F1, F2 在坐标轴上, 离心率为 2, 且过点(4, - 10). (1)求双曲线的方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF MF2 =0; 1 · (3)求△F1MF2 的面积. 解:(1)∵e= 2, ∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵过点 P(4,- 10), ∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0),

m m ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 m2 m2 kMF1· kMF2= =- . 3 9-12 ∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3. 故 kMF1· kMF2=-1,∴MF1⊥MF2. ∴ MF MF2 =0. 1 · (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3,△F1MF2 的边 F1F2 上的高 h=|m|= 3, 1 ∴S△F1MF2= · |F F |· |m|=6. 2 1 2 x2 y2 11.(2014· 湛江模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0). a b (1)若双曲线的一条渐近线方程为 y=x 且 c=2,求双曲线的方程; (2)以原点 O 为圆心,c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A,过 A 作圆 的切线,斜率为- 3,求双曲线的离心率. b 解:(1)∵双曲线的渐近线为 y=± x,∴a=b, a ∴c2=a2+b2=2a2=4, ∴a2=b2=2, x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 2 2 (2)设点 A 的坐标为(x0,y0), y0 ∴直线 AO 的斜率满足 · (- 3)=-1, x0 ∴x0= 3y0,① 依题意,圆的方程为 x2+y2=c2, 1 2 2 将①代入圆的方程得 3y2 0+y0=c ,即 y0= c, 2 3 ∴x0= c, 2 3 1 ∴点 A 的坐标为? c, c?, 2 ? ?2 3 2 1 2 c c 4 4 代入双曲线方程得 2 - 2 =1, a b 3 2 2 1 2 2 即 b c - a c =a2b2,② 4 4 2 又∵a +b2=c2, ∴将 b2=c2-a2 代入②式,整理得 3 4 c -2a2c2+a4=0, 4 c ?4 ?c?2+4=0, ∴3? - 8 ?a? ?a? ∴(3e2-2)(e2-2)=0, ∵e>1,∴e= 2, ∴双曲线的离心率为 2. y2 x2 12.设双曲线 2- =1 的两个焦点分别为 F1,F2,离心率为 2. a 3 (1)求此双曲线的渐近线 l1,l2 的方程; (2)若 A,B 分别为 l1,l2 上的点,且 2|AB|=5|F1F2|,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线.

解:(1)∵e=2,∴c2=4a2. ∵c2=a2+3,∴a=1,c=2. x2 3 ∴双曲线方程为 y2- =1,渐近线方程为 y=± x. 3 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x,y). ∵2|AB|=5|F1F2|, 5 5 ∴|AB|= |F1F2|= ×2c=10. 2 2 ∴ ?x1-x2?2+?y1-y2?2=10. 3 3 又 y1= x1,y2=- x2,2x=x1+x2,2y=y1+y2, 3 3 3 3 ∴y1+y2= (x1-x2),y1-y2= (x1+x2), 3 3 ∴ [ 3?y1+y2?]2+? 3 ?2=10, ? 3 ?x1+x2??

1 x2 3y2 ∴3(2y)2+ (2x)2=100,即 + =1. 3 75 25

10 3 则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 10 3,短轴长为 的椭圆. 3 [冲击名校] x2 y2 1.已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线的离心率是 a b 5 ,且 PF1 · PF2 =0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( 4 A.5 B.6 C.7 D.8 )

解析:选 C 由 PF1 · PF2 =0,得 PF1 ⊥ PF2 ,设| PF1 |=m,| PF2 |=n,不妨设 m>n,
? ?a=4, 1 c 5 则 m2+n2=4c2,m-n=2a, mn=9, = ,解得? ∴b=3,∴a+b=7. 2 a 4 ?c=5, ?

x2 y2 2.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的 a b 两条渐近线的交点分别为 B,C,若 A,B,C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率 为 ( ) A. 3 B. 5 C. 10 D. 13 解析:选 C 由题知 A 点坐标为(a,0), ∴过 A 且斜率为-1 的直线方程为 y=-x+a, y=-x+a, ? ? a2 ab 由? b 得 C?a+b,a+b?, ? ? ? ?y=ax, y=-x+a, ? 2 ? ? a ,-ab?. 由? 得 B ? ? b ?a-b a-b? y=- x, ? a ? ∵A,B,C 三点横坐标成等比数列, a4 a3 ∴ ,即 b=3a, 2= ?a-b? a+b b2 ∴e= 1+ 2= 10. a [高频滚动] 已知直线 x+ky-3=0 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 上的点到 点 F 的最大距离为 8.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知圆 O:x2+y2=1,直线 l:mx+ny=1,试证:当点 P(m,n)在椭圆 C 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交,并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长 L 的取值范围. 解:(1)直线 x+ky-3=0 经过定点 F(3,0),即点 F(3,0)是椭圆 C 的一个焦点. x2 y2 设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 因为椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8,所以 a+3=8,即 a=5. 所以 b2=52-32=16. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 25 16 (2)因为点 P(m,n)在椭圆 C 上, m2 n2 所以 + =1, 25 16 16m2 即 n2=16- (0≤m2≤25). 25 1 1 所以原点到直线 l:mx+ny=1 的距离 d= 2 2= <1. 9 m +n m2+16 25 2 2 所以直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 恒相交. 1 ?1- ? 2 2 2 9 L =4(r -d )=4? . 2 m +16? ? 25 ? 15 4 6 因为 0≤m2≤25,所以 ≤L≤ . 2 5 15 4 6? 即直线 l 被圆 O 所截得的弦长 L 的取值范围为? . ? 2 , 5 ?


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