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(新课程)高中数学 2.4.1《函数的零点》学案2 新人教B版必修1


2.4 函数的零点 学案
【预习要点及要求】 1.理解函数零点的概念 。 2.会判定二次函数零点的个数。 3.会求函数的零点。 4.掌握函数零点 的性质。 5.能结合二次函 数图象判断一元二次方程式根存在性及根的个数。 6.理解函数零点与方程式根的关系。 7.会用零点性质解决实际问题。 【知识再现】 1.如何判一元二次方程式实根个数? 2.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 顶点坐标,对称轴分别是什么? 【概念探究】 阅读课本 70——71 页完成下列问题 1.已知函数 y ? x 2 ? x ? 6 , x

y =0, x

y <0, x

y >0。

叫做函数 y ? x 2 ? x ? 6 的零点。 2.请你写出零点的定义。

3.如何求函数的零点?

4.函数的零点与图像什么关系?

【例题解析】 1.阅读课本 71 页完成例题。 例:求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的 零点,并画出它的图象。
3 2

2.由上例函数值 大于0,小于0,等于0时自变量取值范围分别是什么?

3.请思考求函数零点对作函数简图有什么作用?

1

4.完成 72 练习B1、2

【总结点拨】 对概念理解及对例题的解释 1.不是所有函数都有零点 2.二次函数零点 个数的判定转化为二次方程实根的个数的判定。 3.函数零点有变量零点和不变量零点。 4.求三次函数零点,关键是正确的因式分解,作图像可先由零点分析出函数值的正负 变化情况,再适当取点作出图像。 【例题讲解】 例1.函数 f ( x) ? ax2 ? x ? 1 仅有一个零点,求实数 a 的取值范围。

例2.函数 f ( x) ? log3 ? x ? 3零点所在大致区间是(
x



A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

例 3.关于 x 的二次方程 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 ,若方程式有两根,其中一 根在区间
2

(?1,0) 内,另一根在(1,2)内,求 m 的范围。

参考答案: 例 1.解:①若 a ? 0 f ( x) ? ? x ? 1 为一次函数,易知函数仅有一个零点。 ②若 a ? 0 f ( x) 为二次函数, ax ? x ? 1 ? 0 仅有一个实根,△=1+4
2

a?0

a??

1 4 1 时,函数仅有一个零点。 4

综上: a ? 0 或 a ? ? 例 2.C 例 3.解:由题意知

1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0 ? ? f (?1) ? 2 ? 0 ?m ? R 5 1 ? ? ?? 1 ?? ?m?? ? 6 2 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0 ?m ? ? 2 ? f (2) ? 6m ? 5 ? 0 ? ? ?m ? ? 5 ? 6 ?

2

【当堂练习】 1.下列函数中在[1,2]上有零点的是( A. f ( x) ? 3x 2 ? 4x ? 5 C. f ( x) ? ln x ? 3x ? 6
2



B. f ( x) ? x 3 ? 5x ? 5 D. f ( x) ? e x ? 3x ? 6 )

2.若方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一个实根,则 a 的取值范围是( A. (??,?1) B. (1,??) C. (?1,1) D. ?0,1?

3.函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,则 f (x) 在 (1,2) 上零点的个数为 ( ) A.至多有一个

B.有一个或两个

C.有且只有一个

D.一个也没有

4.已知函数 y ? f (x) 是R上的奇函数,其零点 x1 , x2 …… x2007 ,则 x1 ? x2 ? ? ? x2007 = 。 。

5.一次函数 f ( x) ? mx ? 1 ? m 在[0, 1]无零点,则 m 取值范围为 6.函数 f ( x) ? x 2 ? (m ? 2) x ? 5 ? m 有两个零点,且都大于2,求 m 的取值范围。

3

参考答案: 1.D 2.B 3.C 4. 0 5. m ? 1

? m?2 ?? 2 ? 2 ?m ? ?2 ? ? ? ?m ? ?5 ? ?5 ? m ? ?4 6.解 ? f (2) ? 0 ?? ? (m ? 2) 2 ? 4(5 ? m) ? 0 ?m ? 4或m ? ?4 ? ? ?

4



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