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曲线与方程


曲线与方程
1.曲线与方程的定义 1.曲线与方程的定义

三象限平分线方程是x- = 一、三象限平分线方程是 -y=0 如果点M(x0,y0)是这条直线上的任意一点,它到两 是这条直线上的任意一点, 如果点 是这条直线上的任意一点 坐标轴的距离一定相等, 坐标轴的距离一定相等,即x0=y0,它的坐标是方 程x-y=0的解 - = 的解 直线上的点的坐标都是直线方程的解. 即:直线上的点的坐标都是直线方程的解. 如果(x 是方程x- = 的解 的解, 如果 0,y0)是方程 -y=0的解,即x0=y0,那么这 是方程 个解为坐标的点到两轴的距离相等, 个解为坐标的点到两轴的距离相等,它一定在这条 平分线上. 平分线上 以直线方程的解为坐标的点都在直线上. 即:以直线方程的解为坐标的点都在直线上. 为圆心,r为半径的圆的方程是 以(a,b)为圆心 为半径的圆的方程是 为圆心 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 如果点M(x 是圆上的点,那么( 一定是 如果点M(x0,y0)是圆上的点,那么(x0,y0)一定是这个 方程的解 如果( 是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解,那么以它为 的解, 如果(x0,y0)是方程 圆上. 坐标的点一定在这个圆上 坐标的点一定在这个圆上

曲线C 看做 某曲线C(看做 适合某种条件的 点的集合或轨迹) 点的集合或轨迹 纯 这条直线上的所 这条曲线上的所有 上的点与一个二 上的点与一个二 粹 有点的坐标都是 点的坐标都是这个 元方程f(x,y)=0 元方程f 这个方程的解 方程的解 性 的实数解 直线的方程和 方程的直线 曲线的方程和 方程的曲线 完 备 性 定 义
以一个方程的 解为坐标的点 都是这条直线 上的点 这个方程就叫 做直线的方程, 做直线的方程, 这条直线就叫 做方程的直线

以这个方程的解 为坐标的点都是 这条曲线上的点 这个方程就叫做 曲线的方程, 曲线的方程, 这条曲线就叫做 方程的曲线

两个方面 同时成立

一个定 义的两 个方面

定义的理解
1.证明与两条坐标轴的距 离的积是常数 k ( k > 0)的点的 轨迹方程是 xy = ± k . 2.下列命题是否正确?说 明原因. 下列命题是否正确? (1)过点 A( 2,0)平行于 y轴的直线 l的方程是 x = 2; ( 2)到两坐标轴距离相等的 点的轨迹方程是 y = x . 3.判断点 A( ?4,3), B ( ?3 2 ,?4), C ( 5 ,2 5 )是否在 方程 x 2 + y 2 = 25( x ≤ 0)所表示的曲线上 . 4.抛物线 P : y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0)过两点 (1,2), ( ?2,?1) (1)用 a的代数式表示 b, c; ( 2) * 对任意 a ≠ 0, 抛物线 P均不过点 ( m , m 2 + 1), 求 m .

5.如果曲线 上的点的坐标满足方程 如果曲线l上的点的坐标满足方程 如果曲线 上的点的坐标满足方程f(x,y)=0,则以下说法 = , 正确的有哪些( 正确的有哪些( ) A.曲线 的方程是 曲线l的方程是 曲线 的方程是f(x,y)=0 = B.方程 方程f(x,y)=0的曲线是 的曲线是l 方程 = 的曲线是 C.坐标不满足方程 坐标不满足方程f(x,y)=0的点不在曲线 上 的点不在曲线l上 坐标不满足方程 = 的点不在曲线 D.坐标满足方程 坐标满足方程f(x,y)=0的点在曲线 上 的点在曲线l上 坐标满足方程 = 的点在曲线 E.以方程 以方程f(x,y)=0的解为坐标的点,可能有些不在曲线 上 的解为坐标的点, 以方程 = 的解为坐标的点 可能有些不在曲线l上 F.不在曲线 上的点的坐标都不是方程 不在曲线l上的点的坐标都不是方程 不在曲线 上的点的坐标都不是方程f(x,y)=0的解 = 的解 6.命题 曲线 上的点的坐标都是方程 命题p:曲线 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0 的解; 命题 曲线C上的点的坐标都是方程 = 的解; 命题q:曲线C是方程 命题 :曲线 是方程f(x,y)=0 的曲线, = 的曲线, 是方程 成立是q成立的 则p成立是 成立的( ) 成立是 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件

已知方程求曲线
7.(1)方程 2 x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y + 3 = 0表示什么曲线? 表示什么曲线? 什么时候表示圆? 迁移 : Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0什么时候表示圆? ( 2)画出方程 x + y = 1表示的曲线 . 迁移: x 表示怎样的曲线? 迁移: ? a + y ? b = 1表示怎样的曲线? 8.方程( x 2 + y 2 ? 4) x + y + 1 = 0表示的曲线形状是 ( )

9.方程( x 2 ? 4) 2 + y 2 ? 4 = 0表示的图形是 ( A.两条直线 B .两个点 C .四个点

)

D .四条直线

曲线与方程
2.求曲线的方程 2.求曲线的方程 求轨迹方程) (求轨迹方程)

直译法求轨迹方程
设A(-1,-1),B(3,7),求线段 求线段 AB的垂直平分线的方程 的垂直平分线的方程. 的垂直平分线的方程
在直角坐标系中,设点 在直角坐标系中,设点M(x,y) 是线段AB的垂直平分线上的 是线段 的垂直平分线上的 任意一点 符合上述条件的点的集合: 符合上述条件的点的集合:

直译法求轨迹方程的步骤 建立适当的直角坐标系, 建立适当的直角坐标系, 用(x,y)表示曲线上任意一 表示曲线上任意一 点M的坐标 的坐标 写出适合条件P的点 的 写出适合条件 的点M的 的点 集合P= 集合 ={M|P(M)} 用坐标表示条件P(M),列 , 用坐标表示条件 出方程f(x,y)=0 出方程 化方程f(x,y)=0为最简形式 为最简形式 化方程 写出x的取值范围( 写出 的取值范围(判断 的取值范围 是否要轨迹的全部) 是否要轨迹的全部)

p = {M || M |=| M |} A B
( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = ( x ? 3) 2 + ( y ? 7 ) 2

x + 2y ?7 = 0

条件直译法求曲线方程的步骤 建立适当的直角坐标系, 建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意 表示曲线上任意 一点M的坐标 一点 的坐标 写出适合条件P的点 的集合P= 的点M的集合 写出适合条件 的点 的集合 ={M|P(M)} 用坐标表示条件P(M),列出方程 用坐标表示条件 ,列出方程f(x,y)=0 化方程f(x,y)=0为最简形式 化方程 为最简形式 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上 的点(写出 的取值范围) 写出x的取值范围 的点 写出 的取值范围 1.已知一条直线 和它上方的一个点 ,点F到l的距离是 , 已知一条直线l和它上方的一个点 的距离是2, 已知一条直线 和它上方的一个点F, 到 的距离是 一条曲线也在l的上方 它上面的每一点到F的距离减 的上方, 一条曲线也在 的上方,它上面的每一点到 的距离减 去到l的距离的差都是 的距离的差都是2,建立适当的坐标系, 去到 的距离的差都是 ,建立适当的坐标系,求这条 曲线的方程. 曲线的方程 2.求到两条坐标轴距离之差恒为 的点的轨迹,并作出 求到两条坐标轴距离之差恒为2的点的轨迹 求到两条坐标轴距离之差恒为 的点的轨迹, 轨迹图形. 轨迹图形

直译法的一类:几何法
直译法:①直接翻译题目给出的等量关系;②利用几何 知识分析图形性质,发现动点运动规律(隐含的等量关 系)。有些参考书把②称为几何法 几何法,其实质还是把几何 关系(等量关系)翻译成代数式。 3.[课本 页A4]过原点的直线与圆 2+y2-6x+5=0相交于 课本37页 过原点的直线与圆x 课本 过原点的直线与圆 相交于 A,B两点,求弦 的中点 的轨迹方程 两点, 的中点M的轨迹方程 两点 求弦AB的中点 的轨迹方程. 4 .[课本 页B1]过点 课本37页 过点P(3,4)的动直线与两坐标轴的交点 的动直线与两坐标轴的交点 课本 过点 分别为A,B,过A,B分别作两轴的垂线交于点 ,求 分别作两轴的垂线交于点M, 分别为 , 分别作两轴的垂线交于点 M的轨迹方程 的轨迹方程. 的轨迹方程 5 .[课本 页B2]一动圆截直线 -y=0和3x+y=0所得弦长 课本37页 一动圆截直线3x课本 一动圆截直线 和 所得弦长 分别为8,4,求动圆圆心的轨迹方程. 分别为 ,求动圆圆心的轨迹方程

直译法求轨迹方程:注意取值范围
注意写出变量的取值范围(即注意检查曲线的 完备性和纯粹性,以防“疏漏”和“不纯”) 6.已知△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为 、 已知△ 所对的边分别为a、 已知 中 、 、 所对的边分别为 b、c,且a>c>b成等差数列,|AB|=2,求顶点 的 成等差数列, 、 , 成等差数列 = ,求顶点C的 轨迹方程. 轨迹方程

7.已知两点 M ( ?1,0), N (1,0), 且点P使 MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP成公差小于零的等差数 列,求点 P的轨迹 .
分清轨迹与轨迹 方程的区别

直译法求轨迹方程:注意参数的讨论
8.已知 与两个定点 已知M与两个定点 的距离的比为正数λ, 已知 与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为正数 , 的距离的比为正数 试讨论点M的轨迹 的轨迹. 试讨论点 的轨迹 的距离的比为正数λ, 9.动点 与两定点 1,F2的距离的比为正数 ,求动点 动点P与两定点 动点 与两定点F 轨迹的方程. 轨迹的方程 10.已知直角坐标平面上点 已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆 和圆O:x2+y2=1,动点 已知直角坐标平面上点 和圆 动点 M到圆 的切线长与 到圆O的切线长与 的比等于常数λ(λ>0),求动 到圆 的切线长与|MQ|的比等于常数 的比等于常数 求动 的轨迹方程, 点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线 的轨迹方程 说明它表示什么曲线.

代入转移法求轨迹方程(相关点法) 代入转移法求轨迹方程(相关点法)
已知曲线 C ′ : F ( x , y ) = 0, 点P在曲线上运动, 点Q随P点的 运动按一定规律运动 , 求Q点的轨迹方程 , 可用代入转移 步骤如下: 法( 有些参考书叫相关点法 ),步骤如下: 1.设所求轨迹上任意一点 Q( x , y ),已知轨迹上动点 P ( x0 , y0 ) 2.找出点 P与Q坐标间关系, 求得x0 , y0 (用x , y表示) 3.将x0 , y0 代入已知轨迹方程得 F ( x0 , y0 ) = 0, 从而得 Q的坐标 ( x , y )满足的关系式即为所求 轨迹方程 .

11.已知△ABC的两顶点 已知△ 的两顶点A,B的坐标分别为 的坐标分别为(0,0),(6,0),顶 已知 的两顶点 的坐标分别为 顶 在曲线y=x2+3上运动 求△ABC重心的轨迹方程 上运动,求 重心的轨迹方程. 点C在曲线 在曲线 上运动 重心的轨迹方程 12.设圆 (x-1)2+y2=1,过原点 作圆的任意弦 求所作弦 设圆C: 过原点O作圆的任意弦 设圆 过原点 作圆的任意弦,求所作弦 的中点的轨迹方程. 的中点的轨迹方程

参数法求轨迹方程
参数法:选择恰当的参数t,把所求轨迹上的任 ?x = f (t ) 一点坐标(x,y)都用t表示,即 ? ? y = f (t ) 消去t, 得到x,y的关系式即所求轨迹方程. 13.[课本37页3]已知点 的坐标是(2,2),过点 的直线CA与 13.[课本37页3]已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与 已知点C的坐标是 过点C的直线 课本 x轴交于点 过点 且与直线 垂直的直线 与y轴交 轴交于点A,过点 且与直线CA垂直的直线 轴交于点 过点C且与直线 垂直的直线CB与 轴交 于点B. 设点M是线段 的中点,求点 的轨迹方程. 是线段AB的中点 求点M的轨迹方程 于点 设点 是线段 的中点 求点 的轨迹方程 14.A为定点 线段 在定直线 上滑动 已知 为定点,线段 在定直线l上滑动 已知BC=4,A到l的 为定点 线段BC在定直线 上滑动,已知 到的 距离为3,求△ABC的外心的轨迹方程 距离为 求 的外心的轨迹方程. 的外心的轨迹方程

点差法求轨迹方程
点差法,适用于与弦的中点以及弦的斜率有关的类型, 所谓“点”,就是曲线上有两点,设为(x1,y1)(x2,y2)代 入方程,所谓“差”就是把上述代入后的两方程作差 相减,平方差分解后,x1+x2,y1+y2转化为中点坐标, x1-x2,y1-y2转化为弦的斜率. 例如上述的3、 两题均可使用此法 例如上述的 、12两题均可使用此法


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