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全国新课标卷文理科数学2012-2015试题分类汇编21函数与导数


21 函数与导数
( 3 l nx ? 1. ( 2012 新 课 标 文 科 13 ) 曲 线 y ? x
________ 4 x ? y ? 3 ? 0 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题. 【解析】∵ y? ? 3ln x ? 4 ,∴切线斜率为 4,则切线方程为: 4 x ? y ? 3 ? 0 . 2.(2012 新课标文科 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

1 ) 点 ( 1,1 ) 处 的 切 线 方 程 为 在

3.(2012 新课标理科 21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e (1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间;
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2 1 2 x ?1 x ?1 【解析】 (1) f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ? x ? f ?( x) ? f ?(1)e ? f (0) ? x 2
(2)若 f ( x) ?

令 x ? 1 得: f (0) ? 1

f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ?
得: f ( x) ? e ? x ?
x

1 2 x ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2

1 2 x ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ?1 ? x 2

g?( x) ? ex ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增
f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) (2) f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? ex ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, b ? e ? b ? 0
x

③当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0)
令 F ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)
2 2

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当x?

e 时, F ( x ) max ?

e 2 e 2

当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

4. (2013 新课标Ⅰ卷文科 20) (本小题满分共 12 分) 已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为
x 2

y ? 4x ? 4 。

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值。 4.

(I)f 1 ( x) ? e2 (ax ? a ? b) ? 2 x ? 4.由已知得f (0) ? 4, f 1 (0) ? 4, 故b ? 4, a ? b ? 8, 从而a ? b ? 4;
(II) 由(I)知, ( f x) ? 4e x ( x ?1) ? x 2 ? 4x,

1 f 1 ( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ). 2
令 f 1 ( x) ? 0得,x=-1n2或x=-2. 从而当 x ? (??, ?2)
1 (?1n2, ??)时,f 1 ( x) ? 0;当x ? (?2, ?1n2)时,f( x) <0.

故 f ( x)在(-?,),( -2 -1n2, +?)单调递增,在(-2, -1n2)单调递减 . 当 x=-2时,函数( f x)取得极大值,极大值为( f -2)( =4 1-e?2 ) . 5. (2013 新课标Ⅰ卷理科 21) (本小题满分共 12 分)已知函数 f ( x) = x ? ax ? b , g ( x)
2

= e (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x ) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线
x

y ? 4x ? 2
(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值;(Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。
5. (Ⅰ)由已知得 而

f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 ,

b =2, c =2,d =2; f ?( x) = 2 x ? b ,g ?( x) = e x (cx ? d ? c) , ∴ a =4, ……4 分[来源:Zxxk.Com]
f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e x ( x ? 1) ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

设函数 F ( x) = kg ( x) ?

f ( x) = 2ke x ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ) ,

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) ,
有题设可得 F (0) ≥ 0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1) 若1 ? k

? e2 , 则-2< x1 ≤0, ∴当 x ? ( ?2, x1 ) 时,F ( x) <0, 当 x ? ( x1 , ??) 时,F ( x)

>0,即 F ( x) 在 ( ?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x) 在 x = x1 取最小值 F ( x1 ) , 而 F ( x1 ) = 2 x1 ? 2 ? x1 ? 4 x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0,
2

∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x ) 恒成立, (2)若 k

? e 2 ,则 F ?( x) = 2e 2 ( x ? 2)(e x ? e 2 ) ,[来源:学科网]

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F ( ?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x ) 恒成立, (3)若 k

? e 2 ,则 F (?2) = ?2ke ?2 ? 2 = ?2e ?2 (k ? e 2 ) <0,

∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x ) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e ].
2

6. (2013 新课标卷Ⅱ文科 11) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c , 下列结论中错误的是 (C) (A) ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 (B)函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形

(C)若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 (D)若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 7. (2013 新课标卷Ⅱ理科 10) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c , 下列结论中错误的是 (C) (A) ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 (B)函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形

(C)若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在 区间 (??, x0 ) 上单调递减 (D)若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 8. (2013 新课标卷Ⅱ文科 21)(本小题满分 12 分) 2 -x 己知函数 f(X) = x e (I)求 f(x)的极小值和极大值; (II)当曲线 y = f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

9. (2013 新课标卷Ⅱ理科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ln( x ? m) . (Ⅰ)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .

3 2 10. (2014 新课标卷Ⅰ文科 12) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 , 若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,

且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是( C ) (A) ? 2, ??? 【答案】 :C
2 【解析 1】 :由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

(B) ?1, ?? ?

(C) ? ??, ?2?

(D) ? ??, ?1?

2 , a

当 a ? 0 时, x ? ? ??,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x ) 有小于零的零点,不符合题意。 当 a ? 0 时, x ? ? ??,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? ,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 a? ?a ?
2 a
2

要使 f ( x ) 有唯一的零点 x0 且 x0 >0,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 , a ? ?2 .选 C

3 2 【解析 2】 :由已知 a ? 0 , f ( x ) = ax ? 3x ? 1 有唯一的正零点,等价于 a ? 3

1 1 ? x x3

有唯一的正零根,令 t ?

1 3 ,则问题又等价于 a ? ?t ? 3t 有唯一的正零根,即 y ? a 与 x

y ? ?t 3 ? 3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧,记 f (t ) ? ?t 3 ? 3t f ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ,由 f ?(t ) ? 0 , t ? ?1 , t ? ? ??, ?1? , f ?(t ) ? 0; t ? ? ?1,1? , f ?(t ) ? 0; ,

t ??1, ??? , f ?(t ) ? 0 ,要使 a ? ?t 3 ? 3t 有唯一的正零根,只需 a ? f (?1) ? ?2 ,选 C
11.(2014 新课标卷Ⅰ文科 21) (12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? 为0 (I)求 b; (II)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ? 11【解析】 : (I) f ?( x) ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜率 2

a ,求 a 的取值范围。 a ?1

a ? (1 ? a ) x ? b , 由题设知 f ?(1) ? 0 ,解得 b ?1. ……………4 分 x 1? a 2 x ?x, (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,??),由(Ⅰ)知, f ( x) ? a ln x ? 2

f ?( x) ?

a 1? a ? a ? ? (1 ? a) x ? 1 ? ?x? ? ? x ? 1? x x ? 1? a ?

1 a ? 1 ,故当x?(1,??)时, f '(x) ??0 , f (x)在(1,??)上单调递增. ,则 2 1? a a a 1? a a ?1 ? 所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x0 ) ? 的充要条件为 f (1) ? ,即 1? a 1? a 2 1? a

(i)若 a ?

所以? 2 ?1 ??a ?? 2 ?1;

1 a a a ? a ? 1 ,则 ? 1 ,故当x?(1, , ?? ) )时, f '(x) <?0 , x?( 2 1? a 1? a 1? a a a , ?? 单调递增. 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)在(1, )上单调递减,f (x)在 1? a 1? a a a a )? 所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x0 ) ? 的充要条件为 f ( ,而 1? a 1? a 1? a
(ii)若

a a a2 a a ,所以不和题意. f( ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2 ?1 ? a ? 1 ? a 1 ? a
(ⅲ) 若 a ? 1 ,则 f (1) ?

综上,a 的取值范围为: ? 2 ? 1, 2 ? 1 ? ?1, ?? ?

?

1? a ?1 ? a a ?1 ? ? 。 2 2 a ?1

?

12. (2014 新课标卷Ⅰ理科 11)已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,
3 2

若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为( C )

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

13. (2014 新课标卷Ⅰ理科 21)(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 x

y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 .
(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 . (13)解:

a b b (I)函数f ( x)的定义域为(0,+?),f '( x) ? ae x1nx ? e x ? 2 e x ?1 ? e x ?1. x x x 由题意可得f (1) ? 2, f '(1) ? e. 故a ? 1, b ? 2.
……5 分

2 2 (II)由(I)知f ( x) ? e x1n ? e x ?1 , 从而f ( x) ? 1等价于x1nx ? xe ? x ? . x e 设函数g ( x) ? x1nx, 则g '( x) ? 1nx.
1 1 所以当x ? (0, )时,g '( x) ? 0; 当x ? ( , ??)时,g '( x) ? 0. e e

1 1 故g ( x)在(0, )单调递减,在( , ??)单调递增,从而g ( x)在(0,?)的最小值为 e e 1 1 g( )=- . e e
……8 分

2 设函数h( x) ? xe ? x ? , 则h '( x) ? e ? x (1 ? x). e 所以当x ? (0,1)时h '( x) ? 0; 当x ? (1, ??)时,h '( x) ? 0.故h( x)在(0,1)单调递增, 1 在(1,+?)单调递减,从而h( x)在(0, ?)的最大值为h(1) ? ? . e 综上,当x ? 0时,g ( x) ? h( x), 即f ( x) ? 1.
……12 分

14.(2014 新课标卷Ⅱ文科 3)函数 f ( x ) 在 x ? x0 处导数存在,若 p : f ( x0 ) ? 0 ;q : x ? x0 是 f ( x ) 的极值点,则( C ) A. p 是 q 的充分必要条件 B. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 15.(2014 新课标卷Ⅱ文科 11)若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取 值范围是( D ) (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? (D) ?1, ?? ?

15.(2014 新课标卷Ⅱ文科 11)若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取 值范围是( D ) (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? (D) ?1, ?? ?

16. (2014 新课标卷Ⅱ理科 8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

17.(2014 新课标卷Ⅱ文科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, 2) 处的切线与 x 轴交点的横

坐标为 ? 2 . (1)求 a ; (2)证明:当 k

? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点.

(17)解: (I) f '( x) = 3x 2 ? 6 x ? a , f '(0) ? a . 曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线方程为 y ? ax ? 2 。 由题设得 ?
2 ? ?2 ,所以 a=1. a

(Ⅱ)由(I)知, f ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 2 设 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 2 ? x3 ? 3x2 ? (1 ? k ) x ? 4 由题设知 1 ? k
0.

当 x ≤ 0
g (? 1 ) ?k ? 1

时 , g' x (

k )? 3x2 ? 6 x ? 1 ?

0 g ( x) 单 调 递 增 , ,

g 0 , ,所以 ? ( 0 ) g(x 4) =0 在 ? ??,0? 有唯一实根。 h( x) 。

当x

0 时,令 h( x) ? x3 ? 3x2 ? 4 ,则 g ( x) ? h( x) ? (1 ? k ) x

2 ( x) 在 (0, 2) 单调递减,在 (2, ?? ) 单调递增,所 h ' (x ) ? 3 x? 6 x? 3 x ( x ? ,2h)


g ( x) h( x ? ) h(? 2) 0

所以 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 没有实根. 综上,g ( x) =0 在 R 有唯一实根,即曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。
18. (2014 新课标卷Ⅱ理科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x . (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

(18)解 (Ⅰ) 单调递增 (Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)= (x)=2[ + + -4b( )+(8b-4)x )( + ) + -2≥0,等号仅当 x=0 时成立,所以 f(x)在(—∞,+∞)

]=2( +

当 b ? 2 时,g’(x) ? 0,等号仅当 x=0 时成立,所以 g(x)在(- ? ,+ ? )单调递增, 而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0; 当 b>2 时,若 x 满足,2< e x ? e? x <2b-2 即 0<x<ln(b-1+ b2 ? 2b )时 g’(x)<0, 而 g(0)=0,因此当 0<X ? ln(b-1+ b2 ? 2b )时,g(x)<0 综上,b 的最大值为 2 3 由(2)知,g(ln 2 )= -2 2 b+2(2b-1)ln2 2

当 b=2 时,g(ln 2 )=

3 8 2 ?3 -4 2 +6ln2>0,ln2> >0.6928 2 12

当 b=

3 2 +1 时,ln(b-1+ b2 ? 2b )=ln 2 4
3 -2 2 +(3 2 +2)ln2<0 2

g(ln 2 )= ln2<

18 ? 2 <0.693 28
3

ln2 的近似值为 0.693.
19. (2015 新课标 1 卷文科 14) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ?1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切 线过点 ? 2, 7 ? ,则 a ? 1 .
2x

?

?

20. (2015 新课标 1 卷文科 21) (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e (I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

? a ln x .

2 . a

21.(2015 新课标 1 卷理科 12)设函数 f ( x) ? e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a<1,若存在唯一的
x

整数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围是( D )

3 ,1) 2e 3 3 (C) [ , ) 2e 4
(A) [ ?

3 3 , ) 2e 4 3 (D) [ ,1) 2e
(B) [ ?
2

22.(2015 新课标 1 卷理科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ?

1 , g ( x) ? ? ln x. 4

(Ⅰ)当 α 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (Ⅱ)用 min(m,n)表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min{ f ( x), g ( x)}( x ? 0), 讨论 h(x) 零点的个数.

22 解:

( x0 , 0)则f ( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? 0即 1 ? 3 ? ? x0 ? ax0 ? ? 0 ? (I)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 ? 4 ? ?3x 2 ? a ? 0 ? ? 0 ? 1 3 解得x0 , a ? ? 2 4 3 因此,当 a ? ? 时,x轴为曲线y ? f ( x)的切线 4 (II)当

x ? (1, ??)时,g( x) ? ?1nx ? 0, 从而h(x)=min? f ( x), g( x)? ? g( x) ? 0, 故h( x)在(1, ??)无零点
5 5 当x ? 1时,若a ? ? 则f (1) ? a ? ? 0, h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0, 故x ? 4 4 是 5 h( x)的零点;若a ? ? , 则f(1)<0,h(1)=min ? f (1), g (1)? ? f (1) ? 0, 故x ? 1不是h( x 4

的零点 当x ? (0,1)时,g( x) ? ?1nx ? 0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数

(i)若a ? -3或a ? 0,则f ?(x)=3x2 +a在(1,0)无零点,故f(x)在(0,1)单调

1 5 f (0) ? , f (1)a ? , 所以当a ? -3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a ? 0时f(x)在(1,0)没有零点 4 4

a a (ii)若 ? 3 ? a ? 0, 则f ( x)在(0,? )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故在(0,1)中 3 3

a 2a a 1 当x ? ? a )? ? ? 3 时,f ( x)取得最小值,最小值为f ( ? 3 3 3 4

a 3 ①若f ( ? ) ? 0.即 ? ? a ? 0, f ( x)在(0,1)无零点; 3 4 a 3 ②若f( ? )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f ( ? ) ? 0, 即 ? 3 ? a ? ? ,由于f (0) ? , f (1) ? a ? ? a ? ? 3 4 4 4 4
5 时,f ( x)在(0,1)有两个零点;当-3<a ? - 时,f ( x)在(0,1)有一个零点. 4 综上,当 3 5 3 5 a ? ? 或a<- 时,h( x)有一个零点;当a ? ? 或a ? ? 时,h( x)有两个零点 4 4 4 4 5 3 当 ? ? a ? ? 时,h( x)有三个零点. 4 4

23 . ( 2015 新 课 标 II 卷 文 科 12 ) 设 函 数 f ( x ) = ln(1+ | x |) f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是( A )

1 ,则使得 1+ x2

1 ( ,1) A. 3

1 B. (?? , ) ? (1,?? ) 3

1 1 C. (? , ) 3 3

1 1 D. (?? ,? ) ? ( ,?? ) 3 3

3 24. (2015 新课标 II 卷文科 13)已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x 的图象过点 (?1,4) ,则 a ?

-2



25 . ( 2015 新课标 II 卷文科 16 ) 已知曲线 y ? x ? ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线

y ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1相切,则 a ?

8



26、 (2015 新课标 II 卷文科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ln x + a(1- x) (I)讨论 f(x)的单调性; (II)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a - 2 时,求 a 的取值范围.
(26)解: (Ⅰ)f(x)的定义域为 (0, ??), f ( x) ?
'

1 ?a x

' 若 a ? 0, 则 f ( x) ? 0, 所以 f ( x)在(0, ??) 单调递增。 ' ' 若 a ? 0 ,则当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? 0, 当 x ? ( , ??) 时, f ( x) ? 0, 所以 f ( x ) 在

1 a

1 a

1 1 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减。 a a
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 当 a ? 0 时, f ( x)在(0, ??) 无最大值; 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 取得最大值,最大值为 f ( ) ? 1n( ) ? a(1 ? ) ? ?1na ? a ? 1 。 因此 f ( ) ? 2a ? 2 等价于 1na ? a ? 1 ? 0 令 g (a) ? 1na ? a ? 1 ,则 g (a ) 在 (0, ??) 单调递增, g (1) ? 0 于是,当 0 ? a ? 1 时 g (a) ? 0 ;当 a ? 1 时, g (a) ? 0 因此, a 的取值范围是 (0,1)

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

27. ( 2015 新课标Ⅱ卷理科 12 ) 设函数 f ?( x) 是奇函数 f ( x) ( x ? R) 的导函数,
f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的

取值范围是( A ) (A) (??,?1) ? (0,1) (C) (??,?1) ? (?1,0) (B) (?1,0) ? (1,??) (D) (0,1) ? (1,??)

28. (2015 新课标Ⅱ卷理科 21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e mx ? x 2 ? mx (Ⅰ) 证明: f(x)在 (??,0) 单调递减,在 (0,??) 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ? [-1,1],都有| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? e ? 1 ,求 m 的取值 范围。


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