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高一数学函数的基本性质知识点及练习题(含答案)


函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数;如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 ○ 2 ○

函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内

的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 作出相应结论:

若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关 于 y 轴对称; ②设

f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:

奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 注意: 1 ○ 2 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ;

(2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数 y= f[g(x)],其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间,B 是映射 g : x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 第 1 页 共 4 页

4 ○ 5 ○

定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。

(5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 数

f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数;增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;减函

f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。
(1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使

3.最值

得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使 得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 ○ 2 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M) 。

(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 利用图象求函数的最大(小)值; 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= f(x),则称 f(x)为周期函数; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作

f (x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为 f(x)的最小正周 2 2

期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是周期函数,且周期为

T |? |



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函数的基本性质 一、典型选择题 1.在区间 上为增函数的是( )

A.

B.

C.

D.

(考点:基本初等函数单调性) 2.函数 A. (考点:二次函数单调性) 3.如果偶函数在 A.最大值 具有最大值,那么该函数在 B.最小值 有 ( ) D. 没有最小值 B. 是单调函数时, C . 的取值范围 ( ) D.

C .没有最大值

(考点:函数最值) 4.函数 A.偶函数 (考点:函数奇偶性) 5.函数 A. (考点:抽象函数单调性) 6.函数 A. 在区间 是增函数,则 B. C. 的递增区间是 ( D. ) 在 和 B. 都是增函数,若 C. ,且 那么( D.无法确定 ) , 是( ) C.不具有奇偶函数 D.与 有关

B.奇函数

(考点:复合函数单调性) 7.函数 在实数集上是增函数,则( )

A.

B.

C.

D.

(考点:函数单调性) 8.定义在 R 上的偶函数 ,满足 ,且在区间 上为递增,则( )

A. C. (考点:函数奇偶、单调性综合)

B. D.

第 3 页 共 4 页

9.已知 A. C.

在实数集上是减函数,若

,则下列正确的是 B. D.





(考点:抽象函数单调性) 二、典型填空题 1.函数 在 R 上为奇函数,且 ,则当 , .

(考点:利用函数奇偶性求解析式) 2.函数 ,单调递减区间为 ,最大值和最小值的情况为 .

(考点:函数单调性,最值) 三、典型解答题 1.(12 分)已知 (考点:复合函数单调区间求法) ,求函数 得单调递减区间.

2.(12 分)已知 (考点:函数奇偶性,数学整体代换的思想)



,求

.

一、BAABDBAAD

二、1.



2.

和 ,



; ,

三、3. 解: 函数 故函数的单调递减区间为 .

4.解: 已知



为奇函数,即 ,得 ,

=

中 .

,也即



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