tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年高考全国2卷理数试题(含解析)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 M={0,1,2} ,N= ? x | x 2 ? 3 x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1} ) D. {1,2} )

r />
2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. - 5 B. 5 C. - 4+ i ) D. 5 ) D. 1 D. - 4 - i

3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( A. 1 B. 2 C. 3

4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

A. 5

B.

5

C. 2

5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两为优良的概率 是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概 率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是 某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛 坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3


7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

? x ? y ? 7≤0 ? 9. 设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 5≥0 ?
( ) A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

10.设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3 x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A. 1 B. 2 C.

10

5

30 10

D.

2 2
2

2 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取 m

值范围是( A.

) B.

? ??, ?6 ? ? ? 6, ? ?

? ??, ?4 ? ? ? 4, ? ?

C.

? ??, ?2 ? ? ? 2, ? ?

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ? ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)
10

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________. 15.已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减, f ? 2 ? ? 0 . 若 f ? x ? 1? ? 0 ,则 x 的取值范围是 __________. 16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围 是________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an ?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 1 2.9 2 3.3 3 3.6 4 4.4 5 4.8 6 5.2 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

? ? ? y ? bt ,a

2

20. (本小题满分 12 分)
2 y2 设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,

a

b

直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1 N ,求 a,b. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2 x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写

清题号. 22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 ? O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 ? O 相交于点 B,C, PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 ? O 于点 E.证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2 23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的 极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3 x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标.

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 (1)D (7)D 二、填空题 (13) 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)由 an ?1 ? 3an ? 1 得 a n ?1 ? 又 a1 ? (2)A (8)D (3)A (9)B (4)B (10)D (5)A (11)C (16) ? ?1,1? (6)C (12)C

1 2

(14)1

(15) ? ?1,3?

1 1 ? 3(an ? ). 2 2

1 3 3 1? ? ? ,所以 ?an ? ? 是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2? ?

an ?

1 3n 3n ? 1 。 ? ,因此 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2 2
1 2 . ? n an 3 ? 1
1 1 ? . 3 ? 1 2 ? 3n ?1
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

因为当 n ? 1 时, 3n ? 1 ? 2 ? 3n ?1 ,所以 于是

1 1 1 1 1 3 1 3 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? n -1 ? ( 1- n ) ? . a1 a2 an 3 3 2 3 2
1 1 1 1 3 ? ? ??? ? . a1 a2 a3 an 2

所以

(18) 解: (Ⅰ)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 Q 为 BD 的终点. 又 E 为PD的终点,所以 EO//PB. EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,所以 PB//平面 AEC. (Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直。 如图,以 A 为坐标原点, AB 的方向为 x 轴的正方向, AP 为单位长,建立空间直角坐标系

??? ?

??? ?

A- xyz ,则 D 0, 3, 0 , E (0,

?

?

3 1 3 1 , ). AE ? (0, , ). 2 2 2 2
????

设 B (m, 0, 0)(m ? 0), 则 C (m, 3, 0), AC ? ( m, 3, 0)

设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ACE 的法向量,

???? ? ?n1 ? AC ? 0, 则 ? ??? ? n ? AE ? 0. ? ? 1
可取 n1 ? (

?mx ? 3 y ? 0, ? 即? 3 1 y ? ? 0. ? ? 2 2

3 , ?1, 3). m

又 n2 ? (1, 0, 0) 为平面 DAE 的法向量。 由题设 cos(n1 , n2 ) ?
1 ,即 2

3 1 ? ,解得 2 3 ? 4m 2

3 m? . 2
1 。三棱锥 E-ACD 的体积 2

因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E-ACD 的高为
1 1 3 1 3 V ? ? ? 3? ? ? . 3 2 2 2 8
(19)解: (Ⅰ)由所给数据计算得

t?

1? 2 ? ? ? 7 ? 4, 7 2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9 y? ? 4.3 7

? (t
t ?1

7

1

? t )2
=9+4+1+0+1+4+9=28

? (t
t ?1

7

1

? t )( y1 ? y )

=( ? 3)×( ? 1.4)+( ? 2)×( ? 1)+( ? 1)×( ? 0.7)+0×0.1+1×0.5 +2×0.9+3×1.6 =14.

?? b

? (t
t ?1

7

1

? t )( y1 ? y )
1

? (t
t ?1

7

?

? t )2

14 ? 0.5 28


? ? y ? bt ? ? 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3 a .
所求回归方程为

? y ? 0.5t ? 2.3 .
(Ⅱ) 由(I)知,b=0.5﹥0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加, 平均每年增加 0.5 千元。 将 2015 年的年份代号 t=9 带入(I)中的回归方程,得

? y ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8
故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.

(20)

b2 M (c, ), 2b 2 ? 3ac 2 2 a 解: (I)根据 c ? a ? b 及题设知
c 1 c ? , ? ?2 将 b ? a ? c 代入 2b ? 3ac ,解得 a 2 a (舍去)
2 2 2 2

1 故 C 的离心率为 2 .
(Ⅱ)由题意,原点 O 为

F1 F2 的中点, MF2 ∥ y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0, 2)

b2 MF1 的中点,故 a ? 4 ,即 是线段
b 2 ? 4a
由 设 ① 。

MN ? 5 F1 N



DF1 ? 2 F1 N

N ( x1 , y1 ) ,由题意知 y1 ? 0 ,则

3 ? x1 ? ? c, ? ?2(?c ? x1 ) ? c 2 ? ? ? ? 2 y ? 2 y ? ? 1 ? 1 ,即 ? 1

9c 2 1 ? 2 ?1 2 b 代入 C 的方程,得 4a 。 9(a 2 ? 4a) 1 ? ?1 2 2 4a 2 4a 将①及 c ? a ? b 代入②得

解得 a ? 7, b ? 4a ? 28 ,
2

故 a ? 7, b ? 2 7 .

(21)解:
x ?x (I) f '( x) = e ? e ? 2 ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立。

所以 f ( x) 在 (??, ??) (Ⅱ) g ( x) = f (2 x) ? 4bf ( x) ? e
2x

? e ?2 x ? 4b(e x ? e ? x ) ? (8b ? 4) x

2x ?2 x x ?x g '( x) = 2 ? ?e ? e ? 2b(e ? e ) ? (4b ? 2) ? ?

= 2(e ? e
x

?x

? 2)(e x ? e ? x ? 2b ? 2)

(i)当 b ? 2 时, g '( x) ≥0,等号仅当 x ? 0 时成立,所以 g ( x) 在 (??, ??) 单调递增。 而 g (0) =0,所以对任意 x ? 0, g ( x) ? 0 ; (ii)当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e ? e
x ?x

2 ? 2b ? 2 ,即 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b ? 2b ) 时

g '( x) <0.而 g (0) =0,因此当 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b 2 ? 2b ) 时, g ( x) <0.
综上,b 的最大值为 2.

g (ln 2) ?
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 2 .

g (ln 2) ?
当 b=2 时,

8 2 ?3 3 ? 4 2 ? 6 ln 2 2 >0; ln 2 > 12 >0.6928;

b?


3 2 ?1 2 4 时, ln(b ? 1 ? b ? 2b ) ? ln 2 ,
3 ? ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 g (ln 2) = 2 <0,

18 ? 2 ln 2 < 28 <0.6934

所以 ln 2 的近似值为 0.693.

(22)解: (I) 连结 AB,AC.由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB,

? ? 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE ? EC 。
因此 BE=EC. (Ⅱ)由切割线定理得 PA ? PB ? PC 。
2

因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB。 由相交弦定理得 AD ? DE ? BD ? DC , 所以 AD ? DE ? 2 PB .
2

(23)解: (I)C 的普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 1(0 ? y ? 1) .
2 2

可得 C 的参数方程为

? x ? 1 ? cos t , ? ? y ? sin t , (t 为参数, 0 ? t ? x )

(Ⅱ)设 D (1 ? cos t ,sin t ) .由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直,所以直线 GD 与 t 的斜率相同,

tan t ? 3, t ?

?
3.

(1 ? cos
故 D 的直角坐标为

?

3 3 ? ( , ) ,sin ) 3 3 ,即 2 2 。

(24)解: (I)由 a ? 0 ,有 f ( x) ? x ? 所以 f ( x) ≥2.

1 1 1 ? x ? a ? x ? ? ( x ? a) ? ? a ? 2 . a a a

f (3) ? 3 ?
(Ⅱ)

1 ? 3? a a 5 ? 21 2 。

1 当时 a>3 时, f (3) ? a ? ,由 f (3) <5 得 3<a< a
当 0<a≤3 时, f (3) =

6?a?

1? 5 1 a ,由 f (3) <5 得 2 <a≤3.

1 ? 5 5 ? 21 2 综上,a 的取值范围是( 2 , ).


推荐相关:

2014年高考新课标2数学(理)试卷及答案

2014年高考新课标2数学(理)试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(新课标卷二Ⅱ)第Ⅰ卷一.选择题:本大题共 12 ...


2014高考理科数学全国二卷试题及答案

2014高考理科数学全国二卷试题及答案_数学_高中教育_...2014年高考全国卷1理科数... 9页 1下载券 喜欢...2014北京高考数学(理)试... 11页 5下载券 2014...


2014年高考全国2卷理数试题(含解析)

2014年高考全国2卷理数试题(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科(新课标卷二Ⅱ)第Ⅰ卷一.选择题:本大题共 12 小题,每...


2016年高考全国2卷理数试题(解析版)

2016年高考全国2卷理数试题(解析版)_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...


2016年高考新课标2卷理数试题答案另附详细解析

2016年高考新课标2卷理数试题答案另附详细解析_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试 新课标 2 理科数学(1)已知 z ? (m ? 3) ? ...


2014年新课标2卷高考理科数学试题及答案

2014年新课标2卷高考理科数学试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2014年新课标2卷高考理科数学试题及答案 word最终版 修订版 2014 年普通高等学校招生全国统一考试...


2014年高考全国2卷数学(含参考答案)

2014年高考全国2卷数学(含参考答案)_数学_高中教育_教育专区。2014年高考全国2卷数学(含参考答案) 第1 页共 9 页 第 2 页共 9 页 第 3 页共 9 页 第...


2014年新课标2卷高考理科数学试题及答案_word最终版

2014年新课标2卷高考理科数学试题及答案_word最终版...4 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学...


2014年高考全国2卷理数试题及答案

2014年高考全国2卷理数试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (新课标卷Ⅱ)第Ⅰ卷一.选择题:本大题共 12 小题,...


2016年高考全国2卷理数试题(含解析)

2016年高考全国2卷理数试题(含解析)_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com