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广东省河源市2013届高三质量检测数学理科卷3


广东省河源市 2013 届高三质量检测数学理科卷 3
(1) 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 数集 X ? ?(2n ? 1)? , n ? Z ? 与 Y ? ?(4k ? 1)? , k ? Z ?之的关系是( ) A. X Y ;B. Y X ; C. X ? Y ;D. X

? Y 2. 下列四个命题中,真命题的个数为( ) (1)若两平面有三个公共点,则这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M ? ?,M ? ? , ? ? ? ? l , 则M ? l ; (4)空间中,相交与同一点的三条直线在同一平面内。 A.1 B.2 C.3 D.4 3. 若 | OA ? OB |?| OA ? OB | 则向量 OA, OB 的关系是( A.平行 B.重合 C.垂直 D.不确定 4. 已 知 函 数
x

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?



f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)
)

(其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数

g ( x) ? a ? b 的图象是(

B C D cosA b 5. 在△ABC 中,若 = ,则△ABC 的形状是.( ) cosB a A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 6. 已知( x ?
2

A

D.等边三角形

1

3 )的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ,则展开式中常数项是 14 x

(A)-1 (B)1 (C)-45 (D)45 7. 从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2004 人中剔除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率

25 1 A.不全相等 B.均不相等 C.都相等且为 1002 D.都相等且为 40
8. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图 2—3,则( ) A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞) 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9 ~ 12 题) 9. 在(x- 2 )
2006

第 8 题图

的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,当 x= 2 时,S 等于

10. 右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到

信号,否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六 个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接 收器能同时接收到信号的概率是 11. 下列四个条件中, p 是 q 的充要条件条件的是 .... ① p : a ? b , q : a 2 ? b2 ② p : a ? b , q : 2a ? 2b ③ p : ax 2 ? by 2 ? c 为双曲线, q : ab ? 0

c b ? ?a ?0 x2 x ⑤ p : m ? ?2 或 m ? 6 ; q : y ? x2 ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点。 5 * 12. 在数列 {an } 在中, an ? 4n ? , a1 ? a2 ? ?an ? an2 ? bn , n ? N ,其中 a , b 为常数,则 2 a n ? bn lim n 的值是 . n ?? a ? b n
④ p : ax2 ? bx ? c ? 0 , q : (二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆 ? =6cos ? 的圆心,且垂直于极轴的直线 的极坐标方程为 14. (不等式选讲选做题)|2x-3|+|3x+2|的最小值是 15. (几何证明选讲选做题) 已知 AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB 于点 D ,且 AD ? 4DB ,设 ?COD ? ? ,则 cos 2? = . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? cos2 ? x ? 对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (2)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 4 x ? 4 ? a在x ? [0,3]时, f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围。

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x .设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条 12 ?

17. (本题满分 12 分) 某学校举办一场以“为希望工程献爱心”为主题的图书义卖活动, 同学甲随机地从 10 本书中买两 本,假设每本书被甲同学买走的概率相同,已知这 10 本书中有 3 本单价定为 10 元,4 本单价 定为 15 元,3 本单价定为 20 元,记甲同学买这两本书所付金额为 ? (元) 。求: (Ⅰ)随机变量 ? 的分布列; (Ⅱ)随机变量 ? 的期望 E? 和方差 D? 。

18. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 边长为 2 的菱形, ?ABC ? 600 , PA ? 平面 ABCD , PC 与平面 ABCD 所成角的大小为 arctan 2 , M 为 PA 的中点. (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)求异面直线 BM 与 PC 所成角的大小(结果用 反三角函数表示)

P

M

A B 19. (本题满分 14 分) 2 已知二次函数 f ( x) ? 3x ? 3x, 直线l1 : x ? 2和l2 : y ? 3tx(其中t为常数, 且0 ? t ? 1),
直线 l2 与函数
1 2

D C

f (x) 的图象以及直线 l 、l 与函数 f (x) 的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示,设这两个 阴影区域的面积之和为 S (t ). (I)求函数 S (t ) 的解析式; y (II)定义函数 h( x) ? S ( x), x ? R.若过点A(1, m)(m ? 4)可作曲线 ? h( x)(x ? R) 的三条切线,
求实数 m 的取值范围。

20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一 个面积为 8 的正方形(记为 Q) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点,过点 P 的直线与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当线 段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线的斜率的取值范围。

21. (本题满分 14 分) ? 等 比 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 对 任 意 的 n ? N

, 点 (n , Sn ) , 均 在 函 数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.

(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

参考答案
1—8 CACACDCA 14. 4 9.

-2

3008

10.

8 15

11. ②⑤

12. 1

13. ? cos ? =3

1 3

15. ?

7 25

一、选择题 1.答案:C 【解析】从题意看,数集 X 与 Y 之间必然有关系,如果 A 成立,则 D 就成立,这不可能; 同样,B 也不能成立;而如果 D 成立,则 A、B 中必有一个成立,这也不可能,所以只能是 C 2.答案:A 【解析】根据命题本身涉及的知识去判断真假,判断一个命题为真,一般要进行严格的逻辑推 理,判断一个命题为假,只要举出一个反例即可.(1)是假命题,两平面也可能相交; (2) 是假命题,若两直线是异面直线,不可能确定一个平面; (4)是假命题,两相交直线确定 一个平面,第三条直线过该交点,可与该平面相交。 3.答案:C 【解析】 | OA ? OB | 与 | OA ? OB | 分别表示平行四边形的两条对角线,它们相等,即说明四边 形 ABCD 为矩形。故选 C 4.答案:A 【解析】由 象是 A 5.答案:C

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) 的图象知 o ? a ? 1, b ? ?1,所以函数 g ( x) ? a x ? b 的图

cosA b cosA sinB 【解析】由已知 = 及正弦定理得 = cosB a cosB sinA ∴sin2A=sin2B π ∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= , 2 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.选 C 6.答案:D
2 4 【解析】第三项的系数为 Cn ,第五项的系数为 Cn ,由第三项与第五项的系数之比为

3 可得 n 14

=10,则 Tr ?1 ? C ( x )
r 10

2 10 ? r

40?5 r 1 r r r (? ) = (?1) C10 x 2 ,令 40-5r=0,解得 r=8,故所求的常 x

8 数项为 (?1)8 C10 =45,选 D

7.答案:C 8. 答案:A 3 2 【解析】解法一:分别将 x=0,x=1,x=2 代入 f(x)=ax +bx +cx+d 中,求得 d=0,a

1 2 b,c=- b, 3 3 1 3 2 bx 3 1 2 [( x ? ) 2 ? ] . ∴f(x)= b(? x ? x ? x) ? ? 3 3 3 2 4 3 2 1 当 x∈(-∞,0)时,f(x)<0,又 [( x ? ) ? ] >0,∴b<0. 2 4 3 2 1 x∈(0,1)时,f(x)>0,又 [( x ? ) ? ] >0, 2 4
=- ∴b<0.

3 2 1 ) ? ] <0,∴b<0. 2 4 3 2 1 x∈(2 ?+∞)时,f(x)>0,又 [( x ? ) ? ] >0,∴b<0. 2 4
x∈(1,2)时,f(x)<0,又 [( x ? 故 b∈(-∞? 0). 解法二:由此题的函数图象可以联想到解高次不等式时所用的图象法 ∴a>0,x1,x2,x3 为图象与 x 轴的交点 x1=2,x2=1,x3=0, 3 2 ∴ax +bx +cx+d=a(x-x1) (x-x2) (x-x3)=a(x-2) (x-1) (x-0) 3 2 ∴f(x)=ax -3ax +2ax,又∵a>0,∴b=-3a,b<0 ∴选 A 解法三:函数 f(x)的图象过原点,即 f(0)=0 得 d=0 又因 f(x)的图象过点(1,0) ,得 f(1)=a+b+c=0 ① 由图象得 f(-1)<0,即-a+b-c<0 ② ①+②得 2b<0,∴b<0. (2) 填空题 9.答案:-2
3008

【解析】设(x- 2 )2006=a0x2006+a1x2005+?+a2005x+a2006 则当 x= 2 时,有 a0( 2 )2006+a1( 2 )2005+?+a2005( 2 )+a2006=0 (1) 当 x=- 2 时,有 a0( 2 )2006-a1( 2 )2005+?-a2005( 2 )+a2006=23009 (2) (1)-(2)有 a1( 2 )2005+?+a2005( 2 )=-23009?2=-23008 8 10.答案: 15 【解析】将六个接线点随机地平均分成三组,共有


2 C6 ? 4 ? 2 C2 C2 ? 15 种结果,五个接收器能同时 3 A3

1 接收到信号必须全部在同一个串联线路中,有 C4 ? 2 ? 1 ? 8 种结果,这五个接收器能同时接收 C1 C1

到信号的概率是

8 15

11.答案:②⑤ ① p 不是 q 的充分条件,也不是必要条件;② p 是 q 的充要条件;③ p 是 q 的充分条件,不 是必要条件,④p 是 q 的是必要不充分条件⑤p 是 q 的充要条件 12.答案:1

5 3 n(n ? 1) ?4 知,{an } 是公差为 4 的等差数列,故 a1 ? a2 ? ? an ? n ? 2 2 2 b 1 1 ? ( )n 1 ? ( )n n n a ?b 1 a ? lim 4 ?1 ? an2 ? bn ,解得 a ? 2 , b ? ? ,从而 lim n ? lim n ?? a ? b n n ?? b n n?? 1 n 2 1? ( ) 1? ( ) a 4 13.答案: ? cos ? =3
【解析】由 an ? 4n ? 【解析】由题意可知圆的标准方程为 ? x ? 3? ? y2 ? 9 ,圆心是(3.0)
2

所求直线标准方程 x=3,则坐标方程为 ? cos ? =3. 14.答案:4

1 3

4 2 4 2 1 1 |+|x+ |≥|(2x-3)-(2x+ )|+|x+ |≥4 +0=4 。 3 3 3 3 3 3 2 1 当 x=- 时取等号,∴|2x-3|+|3x+2|的最小值为 4 3 3 7 ? 15.答案: 25
【解析】|2x-3|+|3x+2|=|2x-3|+|2x+ 【解析】? AD ? 4DB ?OC ? OD ? 4 ?OC ? OD? , 即 3OC ? 5OD ,

7 ? OD ? ? 3? cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? ? 25 ? OC ? ?5?
(3) 解答题 16. (1)由题设知 f ( x) ?

2

2

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6 π π ? kπ , 2 x0 ? kπ ? ( k ? Z ) 即 . 6 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴, 所以 2 x0 ?

1 1 π sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) . 2 2 6 1 1 3 ? π? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4 1 π 1 5 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? 2 6 4 4 2 (2) x ? ax ? 4 x ? 4 ? a ? 0 x ? [0,3]成立
所以 g ( x0 ) ? 1 ?

x 2 ? 4 x ? 4 ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 1 1 ? ? x ?1? ?2 x ?1 x ?1 x ?1 1 ?a ? 4 ? x ?1? ? 2 ? 4 ( x ? 0时取 “二”) x ?1 17. ? 的所有可能值为 20,25,30,35,40。 ?a ?

P(? ? 20) ?

C32 1 ? 2 C10 15

P(? ? 25) ?

1 1 C3C4 4 ? 2 C10 15

P(? ? 30) ?

1 1 2 C4 C3C3 5 1 ? 2 ? ? 2 C10 C10 15 3

1 1 C4C3 4 P(? ? 35) ? 2 ? C10 15

C32 1 P(? ? 40) ? 2 ? ???5 分 C10 15

∴随机变化 ? 的概率分布为

?
P

20

25

30

35

40

1 15

4 15

1 3

4 15

1 15
7分

(Ⅱ) E? ? 20×

1 4 1 4 1 +25× +30× +35× +40× =30 15 15 3 15 15

??????9 分

D? ? (20 ? 30) 2 ?

1 4 1 4 ? (25 ? 30) 2 ? ? (30 ? 30) 2 ? ? (35 ? 30) 2 ? 15 15 3 15
1 80 ? ???????????12 分 15 3
P

? (40 ? 30 ) 2 ?

18. 解: (1)连结 AC ,因为 PA ? 平面 ABCD , 所以 ?PCA 为 PC 与平面 ABCD 所成的角??(2 分)

PA ? 2 ,而 AC ? 2 , 由已知, tan ?PCA ? AC 所以 PA ? 4 .??(3 分) 底面积 S ? 2 ? 2 ? sin 600 ? 2 3 ,??(4 分) 所以,四棱锥 P ? ABCD 的体积

M

1 1 8 3 A .??(6 分) V ? Sh ? ? 2 3 ? 4 ? 3 3 3 O (2)连结 BD ,交 AC 于点 O ,连结 MO , B 因为 M 、 O 分别为 PA 、 AC 的中点,所以 MO ∥ PC , 所以 ?BMO (或其补角)为异面直线 BM 与 PC 所成的角.??(8 分) 在△ BMO 中, BO ? 3 , BM ? 2 2 , MO ? 5 ,??(10 分) (以下由余弦定理,或说明△ BMO 是直角三角形求得) 6 10 15 或 arccos 或 arctan .??(13 分) ?BMO ? arcsin 4 4 5

D

C

19.

( I ) 由

? y ? 3x 2 ? 3x , 得x 2 ? (t ? 1) x ? 0 , ? ? y ? 3tx

? ? ? ? 2



所以x1 ? 0, x 2 ? t ? 1. 所以直线l 2 与f ( x)的图象的交点的横坐标 分别为0, t ? 1. 因为0 ? t ? 1, 所以1 ? t ? 1 ? 2.????3分 所以S (t ) ? ? [3tx ? (3 x 2 ? 3 x)]dx ? ? [(3 x 2 ? 3x) ? 3tx]dx
0 t ?1 t ?1 2

3(t ? 1) 2 3(t ? 1) 2 2 x ? x 3 ]t0?1 ? [ x 3 ? x ]t ?1 2 2 ? (t ? 1) 3 ? 6t ? 2.???? 6分 ?[

(II)依据定义, h( x)

? ( x ? 1) 3 ? 6x ? 2, x ? R, 则h?( x) ? 3( x ? 1) 2 ? 6. ????7 分 因为m ? 4, 则点A(1, m)不在曲线y ? h( x)上.
过点A作曲线y ? h( x)的切线, 设切点为M ( x 0 , y 0 ), 则3( x0 ? 1) 2 ? 6 ? ( x0 ? 1) 3 ? 6 x 0 ? 2 ? m , x0 ? 1

3 化简整理得2 x 0 ? 6 x0 ? m ? 0有三个不等实根 . 3 2 设g ( x0 ) ? 2 x0 ? 6 x0 ? m, 则g ?( x0 ) ? 6 x0 ? 6.???? 9分

由g ?( x0 ) ? 0, 得x0 ? 1或x0 ? ?1.

所以g ( x0 )在区间 ??,?1), (1,??)上单调递增 在(?1,1)上单调递增 ????10 分 ( , . 所以,当 x0 ? ?1 ,函数g ( x0 )取极大值 时 ; 当 x0 ? ?1 ,函数g ( x0 )取极小值 ??????11 分 时 ;
因此,关于 x0 的方程 2 x0
3

?g (?1) ? 0 ? 6 x0 ? m ? 0有三个实根的充要条件 ? 是 , ?g (1) ? 0
????12 分

?m ? 4 ? 0 即? ,即 ? 4 ? m ? 4. ?m ? 4 ? 0
故实数 m 的取值范围是(—4,4) 。 ??????14

x2 y 2 20. (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 焦距为 2c , a b 1 2 2 由题设条件知, a 2 ? 8, b ? c, 所以 b ? a ? 4. 2 2 2 x y 故椭圆 C 的方程为 ? ?1 8 4 ---------------3 分 (Ⅱ)椭圆 C 的左准线方程为 x ? ?4, 所以点 P 的坐标 (?4, 0) , 显然直线的斜率 k 存在,所以直线的方程为 y ? k ( x ? 4) 。 如图,设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 线段 MN 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 32k 2 ? 8 ? 0 . ……① 由 ? ? (16k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(32k 2 ? 8) ? 0
解得 ?

2 2 . ?k? 2 2

……②

因为 x1 , x2 是方程①的两根,所以 x1 ? x2 ? ? 于是

16k 2 , 1 ? 2k 2

8k 2 x1 ? x2 4k =? , y0 ? k ( x0 ? 4) ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 8k 2 ? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边, 因为 x0 ? ? 1 ? 2k 2 又直线 F1B2 , F B1 方程分别为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2, 1 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为
x0 ?


? 4k ? y 0 ? x0 ? 2 8k 2 ?1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 2, 即? ? ? y 0 ? ? x0 ? 2 ? 2 ? 4k ? 8k ? 2, ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?

?2k 2 ? 2k ? 1 ? 0, ? 亦即 ? 2 ?2k ? 2k ? 1 ? 0. ?

C A D B

3 ?1 3 ?1 ,此时②也成立. ?k? 2 2 3 ?1 3 ?1 故直线斜率的取值范围是 [? , ]. 2 2
解得 ?

O

P T

21. 因为对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像 上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则 Tn ? 所以 an ? (b ?1)bn?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 2 3 4 n n ?1 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 n ?1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2

1 Tn ? 2

相减,得 Tn ?

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 n ?1 1 2 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2
所以 Tn ?

3 1 n ?1 3 n ? 3 ? ? ? ? 2 2n 2n ?1 2 2n ?1


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