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2016浙江省数学竞赛模拟试卷4


模拟试卷(4)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

变) ,所得图象关于直线 x ? A. ?

?
4

对称,则 ? 的最小值为( C. ?



于 x 的方程 f ( x) ? ax ? 1 恰有三个不同的解,则实数 a 的 取值范围为 .

1 8

B. ?

1 2

3 4

D.

3 ? 8

12. 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1, a2 ? 3 ,

7. 定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数 轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系; 在平面斜坐标 系 xOy 中,若 OP ? xe1 ? ye2 (其中 e1 、 e 2 分别是斜坐标系 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量,x、y∈R,O 为坐标系原点),则有序数对 (x,y) 称 为 点 P 的 斜 坐 标 . 在 平 面 斜 坐 标 系 xOy 中 , 若

1.已知 P={x| x ? 4 x ? 3 ? 0 },Q={x| y ? x ? 1 ? 3 ? x },则
2

Sk ?2 ? Sk ? 2Sk ?1 ? 2 对任意正整数 k 成立,则 , Sn ? . an ?
13 . 对 于 等 差 数 列 { an } 有 如 下 命 题 : “ 若 { an } 是 等 差 数 列, a1 =0,s、 t 是互不相等的正整数,则有(s-1) a t -(t-1) as =O” . 类比此命题,给出等比数列{ bn }相应的一个正确命题是: “__________________________________________________”. 14.已知 a ? b , c ? a ? 2b ,若 | c |? 10 ,则 c 与 a ? b 夹角 的余弦值的最小值等于 .

“x∈P”是“x∈Q”的( C.充要条件 2.设 a ? R ,则“ a ? ?

) D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

3 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ?1 ? 0 与直线 2

l: +a(a + 1) y+ 4= 0 垂直”的( ▲ ) 2 x
A.充分不必要条件 C.充分必要条件
3

?xOy =120°,点 M 的斜坐标为(1,2),则以点 M 为圆心,1 为半径
的圆在斜坐标系 xOy 中的方程是( )

?

? ?

?

?

?

?

? ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.关于点(0,1)对称 D.关于点(0,-1)对称

A. x 2 ? y 2 ? xy ? 3 y ? 2 ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? xy ? 3 y ? 2 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0

3.函数 f ( x) ? x ? sin x ? 1 的图象( A.关于点(1,0)对称 C.关于点(-1,0)对称

π 15. 若对任意 ? ? R ,直线 l : x cos ? ? y sin ? ? 2sin(? ? ) ? 4 6

4.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命 题正确的是( ▲ ) A. m ? ? , n ? ? , 且 ? ? ? ,则 m ? n B. m / /? , n / / ? , 且 ? / / ? ,则 m / / n C. m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? D. m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ? 5.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 M,N 为
2

? 3x ? y ? a ? 0 与圆 C : ( x ? m)2 ? ( y ? 3m)2 ? 1均无公共点,则实数 m 的取值范 ? 8.已知点 ( x , y ) 的坐标满足条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0 ,且 x, y 均为 围是 . ?2 x ? 2 y ? 9 ? 0 ?
正整数.若 4 x ? y 取到最大值 8,则整数 a 的最大值为( A. 4 B. 5 C. 6 D.7 )

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每空 4 分, 单空题每空 7 分, 共 52 分. 9. ( 1 ? 1)3 ( x ? 2)5 的二项展开式中含 x 项的系数为 ______.( 用数
3

抛物线上的一点,且 | NF |? A.

3 | MN | ,则 ?NMF 2

x

=(

)

字作答) 10. 已知 tan( 值是 ▲

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

5? 12

?
4

??) ? 3 , 则t a n ? 的值是



,cos 2? 的

6.将函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

) 的图象向右平移 ???(? ? 0) 个单



1 位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不 2

11.已知 f ( x) ? ?

??3x 2 ? 4 x, 0 ? x ? 1, ? f ( x ? 1)+1, x ? 1.

则 f (3) ?



;若关

数学(理科)试卷 2-1

三、解答题:本大题共 3 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16.(15 分)已知甲、 乙两个袋子中各装有大小、 形状完全相同的 4 个小球,其中甲袋中有 2 个红球和 2 个黄球,乙袋中有 3 个红球 和 1 个黄球.现从甲袋中随机摸取 2 个球装入乙袋中,再从乙袋 中随机摸取 2 个球装入甲袋,此时甲袋中红球的个数记为随机变 量? . (Ⅰ)求此时乙袋中恰有 1 个红球的概率; (Ⅱ)求 ? 的分 布列和数学期望 E?

19. (17 分) 已知 m 为实数,且 m ? ?

9 ,数列 ?an ? 的前 n 项 2

20. (18 分)设函数 f ( x) ? x x ? a ? b , a, b ? R . (Ⅰ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的零点个数; (Ⅱ)若对于给定的实数 a (?1 ? a ? 0) ,存在实数 b ,使不等式

和 Sn 满足 S n ? 4 an ? 1 ? 3n ? m .(Ⅰ)求证:数列 {an 3 2 等比数列,并求出公比 q ;

?3 } 为

n ?1

1 1 ? f ( x) ? x ? 对于任意 x ?[2a ? 1, 2a ? 1] 恒成立 . 试将 2 2 (Ⅱ) 若 an ? 15 对任意正整数 n 成立, 求证: 当 m 取到最小整数时, 最大实数 b 表示为关于 a 的函数 m( a ) ,并求 m( a ) 的取值范围. 1 1 8 对于 n ? 4, n ? N ,都有 . ?? ? ? ? S4 Sn 135 x?

数学(理科)试卷 2-2



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