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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第13章 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 理


2014 届高考数学(理)一轮复习 13 分类加法计数原理与分步乘法计数原 理
一、选择题 1.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色, 则不同的着色方法共有 A.24 种 C.36 种 ( B.30 种 D.48 种 )

解析:共有 4×3×2×2=48 种着色方法. 答案:D 2.有 A、B 两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两 种车床,丙只 会操作 A 种车床,现在要从三名工人中选 2 名分别去操作以上车床,不同的选派方法有 ( ) A.6 种 C.4 种 B.5 种 D.3 种

解析:若选甲、乙二人,包括甲操作 A 车床,乙操作 B 车床,或甲操作 B 车床,乙操作 A 车床,共 有 2 种选派方法; 若选甲、丙二人,则只有甲操作 B 车床,丙操作 A 车床这一种选派方法; 若选乙、丙二人,则只有乙操作 B 车床,丙操作 A 车床这一种选派方法,故共有 2+1+1=4(种)不同 的选派方法. 答案:C 3.计划在 4 个体育馆举办排球、篮球、足球 3 个项目的比赛,每个项目的 比赛只能安排在一个体育 馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 项的安排方案共有 A.24 种 C.42 种 B.36 种 D.60 种
3

(

)

解析:每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行,共有 4 =64 种安排方案;三个 项目都在同一个 体育馆比赛,共有 4 种安排方案;所以在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 项的安排方案共有 60 种. 答案:D 4.将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到 下分别依次增大,当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法数为 ( )

3

4
1

A.4 C.9

B.6 D.12

解析:如图所示,根据题意,1,2,9 三个数字的位置是确定的,余下的数中,5 只能在 a,c 位置,8 只能在 b, 位置, a, , , )顺序, d 依( b c d 具体有(5,8,6,7), (5,6,7,8), (5,7,6,8), (6,7,5,8), ,8,5,7), (6 (7,8,5,6),合计 6 种. 1 3 2 4

a b
9

c

d

答案:B 5.三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为 A.25 C.36 B.26 D.37 ( )

解析:设另两边长分别为 x、y,且不妨设 1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须 x+y≥12. 当 y 取 11 时,x=1,2,3,…,11,可有 11 个三角形;当 y 取 10 时,x=2,3,…,10,可有 9 个三 角形;……;当 y 取 6 时,x 只能取 6,只有 1 个三角形. ∴所求三 角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36. 答案:C 6.如图,花坛内有 5 个花池,有 5 种不同颜色的花卉可供栽种,每个花 种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则栽种方案的种数为 ( A.180 C.360 B.240 D.420 ) 池内只能

解析:本题中区域 2,3,4,5 地位相同(都与其他四个区域中的 3 个区域相邻),故应先种区域 1,有 5 种栽种方案,再种区域 2,有 4 种栽种方案,接着种区域 3,有 3 种栽种方案,种区域 4 时应注意:区域 2 与 4 种同色花时,区域 4 有 1 种栽种方案,此时区域 5 有 3 种栽种方案;区域 2 与 4 种不同色花时,区域 4 有 2 种栽种方案,此时区域 5 有 2 种栽种方案,故共有 5×4×3×(1×3+2×2)=420 种栽种方案. 答案:D 二、填空题 7.由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是________. 解析:分两种情况:当首位为偶数时有 C2C 3C2C2个,当首位为奇数时有 C3C3C2C2个,因此总共有:C2C3C2 C2+C3C3C2C2=60(个).
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

答案:60 8.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数字必须同时使用,且同一数字不能相邻出现, 这样的四位数有________个. 解析:由题意知,1,2,3 中必有某一个数字重复使 用 2 次,第一步:确定谁被使用 2 次,有 3 种方法; 第二步:把这 2 个相等的数字放在四位数不相邻的两个位置上,也有 3 种方法;第三步:将余下的 2 个数 放在四位数余下的 2 个位置上,有 2 种方法.故共可组成 3×3×2=18 个不同的四位 数. 答案:18 9.如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P-ABC 与一个正三棱柱 ABC 合而成,现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C1 不染色), 面均不同色,则不同的染色方案共有______种. 解析:先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面,然后涂三棱柱 ABC-A1B1C1 的 共有 C3×C2×C1×C2=3×2×1×2=12 种不同的涂法. 答案:12 三、解答题 10.某电视台连续播放 6 个广告,其中有 3 个不同的商业广告、两个不同的世博会宣传广告、一个公 益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放,两个世博会宣传 广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式? 解:用 1、2、3、4、5、6 表示广告的播放顺序,则完成这件事有 3 类方法. 第一类:宣传广告与 公益广告的播放顺序是 2、4、6.分 6 步完成这件事共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 第二类: 宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、4、6,分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 第三类: 宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、 6, 3、 同样分 6 步完成这件事, 共有 3×3×2×2×1×1 =36 种不同的播放方式. 由分类加法计数原理得:6 个广告不同的播放方式有 36+36+36=108 种. 11.某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日语,从中选出会 英语和日语的各一人,有多少种不同的选法? 解:由题意得有 1 人既会英语又会日语,6 人只会英语,2 人只会日语. 第一类:从只会英语的 6 人中选 1 人说英语,共有 6 种方法,则说日语的有 2+1=3(种),此时共有 6×3=18 种; 第二类:不从只会英语的 6 人中选 1 人说英语,则只有 1 种方法,则选会日语的有 2 种, 此时共有 1×2=2 种; 所以根据分类计数原理知共有 18+2=20 种选法.
3
1 1 1 1

- A1B1C1 组 要求相邻的

三个侧面,

12.用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在①②③④四个区域中相邻(有公 共边界)的区域不用同一颜色.

(1)若 n=6,则为甲图着色的不同方法共有多少种; (2)若为乙图着色时共有 120 种不同的方法,求 n 的值. 解:(1)由分步乘法计数原理,对区域①②③④按顺序着色,共有 6×5×4×4=480 种方法. (2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由 2 块变成了 3 块.同样利用分步乘法计数原理,得 n(n-1)(n 2 2 2 2 2 2 -2)(n-3)=120.所以(n -3n)(n -3n+2)=120, n -3n) +2(n -3n)-12×10=0, 即( 所以 n -3n-10 2 =0,n -3n+12=0(舍去),解得 n=5,n=-2(舍去)

4


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