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吉林省长春市实验中学2013届高三上学期第一次东北大联考数学理试题


吉林省长春市实验中学 2013 届高三上学期 第一次东北大联考数学理试题
本卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.总分 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.每小题选

出答案后,请填涂在答题卡上. ) 1. 若集合 A ? {?1, 0,1}, B ? { y | y ? cos x, x ? A}, 则 A ? B ? ( ) A. {0} B. {1} C. {0,1} D. {?1, 01}

2.设向量 a=(1,2) ,b=(-2,y) ,若 a∥b,则|3a+2b|=( ) A. 5 3.已知函数 f ( x) ? B. 6 C. 17 为奇函数,则 f ( ) ? ( D. 26 )

x?2 ?a 4? x
2

a 2

A. 2 4. 1 ? “

B. ? 2

C.

3 2

D. ?

3 3

3 ? 0 ”是“ ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ”的( ) x ?1
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

A.充分不必要条件 C.充要条件

5. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a sin A sin B ? b cos A ? ( ) A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2

2a ,则 ?

b a

6. 已知函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
4

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函

数 g ( x) ? cos ?x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象( ) A.向左平移 C.向左平移

?
8

个单位长度

B.向右平移

?
8

个单位长度 个单位长度

?

4

个单位长度

D.向右平移

?
4

7.下列四种说法中,错误的个数是( ) ① A ? ?0,1?的子集有 3 个; ②命题“存在 x 0 ? R, 2 ③函数 f ( x) ? e
?x
x0 x “不存在 x 0 ? R, 2 0 ? 0 ; ? 0 ”的否定是:

? e x 的切线斜率的最大值是 2 ;

④函数 y ? sin ? ? 2 x ? A. 1 8.曲线 y ? e A.
?2 x

? ?

? 5? ? ? ?k ? Z ? . ? 的单调增区间是 ?? k? ? ,?k? ? 3? 12 12 ? ? ? B. 2 C. 3 D. 4

??

? 1 在点 (0,2) 处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为( )
B.

1 3

1 2

C.

2 3

D.1

9.已知 y ? f (2 x ? 1) 为奇函数, y ? f ( x ) 与 y ? g( x ) 图象关于 y ? x 对称,若

x1 ? x2 ? 0 ,则 g( x1 ) ? g( x2 ) ?
A.2 B.-2 C.1 D.-1 ( ) 10.已知 G 是 ?ABC 的重心, A ? 120? , AB ? AC ? ?2 ,则 | AG | 的最小值是 A.

3 3

B.

2 2

C.

2 3

D.

3 4

11.若函数 f (x) 的导函数是 f ' ( x) ? ? x( x ? 1) ,则函数 g ( x) ? f (log a x) (0 ? a ? 1) 的单调递减区间是 A. ?? 1,0? ( )

B. ? ,?? ? , ?0,1?
g ( x)

?1 ?a

? ?

C. ?1, ? a

? 1? ? ?

D. (??, ) , ( ,??)

1 a

1 a

12. 求形如 y = f ( x)

的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:

ln y = g ( x) ln f ( x) ,再两边同时求导得

1 ' 1 于是得到: y ? g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) f ' ( x) , y f ( x)
1

1 y = f ' ( x)] 运用此方法求得函数 y = x x 的一个单调递 y ? =f(x)f ( x)[ g ( x) ln f ( x) + g ( x) f ( x)
'

g ( x)

'

增区间是 ( ) A.(e, 4)

B.(3,6)

C.(0,e)

D.(2,3)

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题纸相应的空内. ) 13. 已知 tan(? ?

?
4

)?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 . x?2 ??? ???? ? ???? ??? ???? ? 15. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1 ,若 AB ? AC ? 2 AO ,且 OA ? AC ,则向量
14.若 f ( x) ?

2sin 2 ? ? sin 2? 1 ? ? ,且 ? ? ? ? 0 ,则 ? 2 2 cos(? ? ) 4

.

??? ? ??? ? BA 在向量 BC 方向上的投影为

.

16. 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 当 x ? ?? 2,0? 时 ,

f ( x) ? (

2 x ) ? 1 ,若在区间 (?2,6) 内关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 0 ,恰有 4 2
.

个不同的实数根,则实数 a (a ? 0, a ? 1) 的取值范围是

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 17. (本题满分 10 分)已知集合 A ? x x 2 ? 5 x ? 6 ? 0, x ? R ,

?

?

B ? {x | y ? ? x 2 ? 2 x ? 15} , C ? ? x a ? x ? a ? 1, x ? R? ,
求实数 a 的取值范围,使得 ? A ? B ? ? C ? ? 成立.

18. (本题满分 12 分) 已知 p :对任意 m ? [?1,1] , 不等式 a ? 5a ? 3 ?
2

m 2 ? 8 恒成立;

“ q :存在 x ,使不等式 x 2 ? ax ? 2 ? 0 成立,若“ p 或 q ”为真, p 且 q ”为假,求实数 a 的取值范围.

19. (本题满分 12 分)设函数 f(x)=a·b,其中向量 a ? (2 cos x,1) ,向量 b ? (cos x, 3 sin 2 x)( x ? R) . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, f ( A) ? 2, a ? 3, b ? c ? 3 , 求 b, c 的长.

20. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ? ae (1)求函数 f (x) 的单调区间;

x ?1

.

(2)若 f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中, (1)判断 ?ABC 的形状;

?
3

?C ?

?
2

,且

b sin 2C . ? a ? b sin A ? sin 2C

(2)若 BA ? BC ? 2, 求 BA ? BC 的取值范围.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

22. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2 (I)求函数 f(x)在[t,t+2] (t>0)上的最小值; (II)若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1,x2(x1<x2)且 x2-x1>ln2, 求实数 a 的取值范围.

长春市实验中学 2012-2013 年度上学期高三年级第一次东北大联 考 数学答案(理科)

22. (本题满分 12 分)


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