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【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习专题突破课件:2-7-2 导数的简单应用


名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基 础 记 忆 提 能 专 训

[二轮备考讲义]
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[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第 1页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

础 记 忆 提 能 专 训

第二部分 二轮知识专题大突破
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第二部分 专题七 第2讲

第 2页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基 础 记 忆 提 能 专 训

专题七
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函数与导数

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第二部分 专题七 第2讲

第 3页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基 础 记 忆 提 能 专 训

第二讲
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导数的简单应用

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

1.本部分内容高考的出题方式常见有三种
基 础 记 忆

?1?利用导数的几何意义求曲线的切线方程;考查定积分的 性质及几何意义. ?2?考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最 值,进而解?证?不等式.
提 能 专 训

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?3?用导数解决日常生活中的一些实际问题,以及与其他知 识相结合,考查常见的数学思想方法.

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第二部分 专题七 第2讲

第 5页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

2.应对策略
基 础 记 忆

首先要理解导数的工具性作用;其次要弄清函数单调性与 导数符号之间的关系,掌握求函数极值、最值的方法步骤,对 于已知函数单调性或单调区间,求参数的取值范围问题,一般 先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题,再
提 能 专 训

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利用分离参数法求解.

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第二部分 专题七 第2讲

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基 础 记 忆

基础记忆
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试做真题

基础要记牢,真题须做熟

提 能 专 训

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基础知识不“背死”,就不能“用活”!
基 础 记 忆

1.导数的几何意义 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f′(x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=
提 能 专 训

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f′(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s′(t)=v(t),v′(t)=a(t).

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

2.四个易误导数公式及两个常用的运算法则
基 础 记 忆

(1)(sin x)′=cos x. (2)(cos x)′=-sin x. (3)(a x)′=a ln a(a>0,且a≠1).
x

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1 (4)(loga x)′= (a>0,且a≠1). xln a (5)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? (6)? [g(x)≠0]. 2 ?′= g ? x ? [ g ? x ? ] ? ?

提 能 专 训

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

3.导数与函数单调性的关系
基 础 记 忆

(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x) =x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某 个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常数,函数不具有单调性.
提 能 专 训

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

4.函数的极值与最值
基 础 记 忆

(1)设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点x, 都有f(x)<f(x0),那么f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值= f(x0);如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函数 的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.
提 能 专 训

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(2)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对 整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题.

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

(3)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函
基 础 记 忆

数的极值可能不止一个,也可能没有. (4)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一 定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.
提 能 专 训

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

高考真题要回访,做好真题底气足
基 础 记 忆

1.(2014· 全国新课标Ⅱ)若函数f(x)=kx-ln ∞)单调递增,则k的取值范围是( A.(-∞,-2] C.[2,+∞) )

x在区间(1,+
提 能 专 训

B.(-∞,-1] D.[1,+∞)

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答案:D

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第二部分 专题七 第2讲

第13页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

解析:利用函数单调性与导函数的关系,将问题转化为恒
基 础 记 忆

成立问题. 1 由于f′(x)=k- x ,f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递 1 增,∴f′(x)=k- x ≥0在(1,+∞)上恒成立.
提 能 专 训

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1 1 由于k≥ x ,而0< x <1,所以k≥1.即k的取值范围为[1,+ ∞).

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第二部分 专题七 第2讲

第14页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

2.(2014· 湖南高考)若0<x1<x2<1,则(
基 础 记 忆

)

A.e -e >ln x2-ln x1 B.e -e <ln x2-ln x1 C.x2e >x1e
x1 x2 x2 x2 x1
提 能 专 训

x2

x1

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D.x2e <x1e

x1

答案:C

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第二部分 专题七 第2讲

第15页

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1 解析:构造函数f(x)=e -ln x,则f′(x)=e - ,故f(x)=ex x
x x

基 础 记 忆

-ln x在(0,1)上有一个极值点,即f(x)=ex-ln x在(0,1)上不是单 调函数,无法判断f(x1)与f(x2)的大小,故A,B错;构造函数g(x) xe -e e ?x-1? ex ex = ,则g′(x)= = ,故函数g(x)= 在(0,1)上单 x x2 x2 x
x x x

提 能 专 训

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调递减,故g(x1)>g(x2),x2ex1>x1ex2,故选C.

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第二部分 专题七 第2讲

第16页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

3.(2014· 广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线
基 础 记 忆

方程为________.
答案:5x+y+2=0
提 能 专 训

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

解析:先由导数的几何意义求切线的斜率,再求直线的方
基 础 记 忆

程. 因为y′|x=0=-5e0=-5,所以曲线在点(0,-2)处的切线 方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
提 能 专 训

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基 础 记 忆

热点盘点
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细研深究

提 能 专 训

必须回访的热点名题

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

导数的几何意义及运算
基 础 记 忆

[试题调研] [例1] 率等于( A.2e (1)(2014· 全国大纲)曲线y=xex 1在点(1,1)处切线的斜


) B.e C.2 D.1

提 能 专 训

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[答案] C

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第二部分 专题七 第2讲

第20页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

[解析]
基 础 记 忆

利用导数的几何意义求解.

y′=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,故曲线在点(1,1)处的切线斜 率为y′|x=1=2.
提 能 专 训

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第二部分 专题七 第2讲

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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

(2)(2014· 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2
基 础 记 忆

b + x (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直 线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.
提 能 专 训

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[答案]

-3

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第二部分 专题七 第2讲

第22页

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[解析]
基 础 记 忆

b b 由曲线y=ax + 过点P(2,-5)可得-5=4a+ .① x 2
2

b 又y′=2ax-x2, b 7 所以在点P处的切线斜率4a- =- .② 4 2
提 能 专 训

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由①②解得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.

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第二部分 专题七 第2讲

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基 础 记 忆

(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切 线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一 定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐
提 能 专 训

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标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率 间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之 间的关系,进而和导数关联起来求解.

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第二部分 专题七 第2讲

第24页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

[回访名题]
基 础 记 忆

(2014· 安徽质检二)已知函数f(x)=x-ax(a>0,且a≠1). (1)当a=3时,求曲线f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)存在极大值g(a),求g(a)的最小值.
提 能 专 训

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第二部分 专题七 第2讲

第25页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

解:(1)当a=3时,f(x)=x-3x.
基 础 记 忆

∴f′(x)=1-3xln 3, ∴f′(1)=1-3ln 3,又f(1)=-2, ∴所求切线方程为y+2=(1-3ln 3)(x-1), 即y=(1-3ln 3)x-3+3ln 3.
提 能 专 训

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(2)f′(x)=1-axln a, ①当0<a<1时,ax>0,ln a<0,∴f′(x)>0, ∴f(x)在R上为增函数,f(x)无极大值. ②当a>1时,设方程f′(x)=0的根为t,得

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第二部分 专题七 第2讲

第26页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基 础 记 忆

1 lnln a 1 1 at= ,即t=loga = , ln a ln a ln a ∴f(x)在(-∞,t)上为增函数,在(t,+∞)上为减函数, 1 lnln a 1 ∴f(x)的极大值为f(t)=t-at= ln a -ln a,
提 能 专 训

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1 ln ln a 1 即g(a)= ln a -ln a. 1 ∵a>1,∴ >0. ln a 1 设h(x)=xln x-x,x>0,则h′(x)=ln x+x· x-1=ln x,
[二轮备考讲义] 第二部分 专题七 第2讲
第27页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

令h′(x)=0,得x=1,
基 础 记 忆

∴h(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, ∴h(x)的最小值为h(1)=-1,即g(a)的最小值为-1,此时a =e.
提 能 专 训

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[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第28页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

利用导数研究函数的单调性
基 础 记 忆

[试题调研] [例2] 常数. x-1 (2014· 山东高考)设函数f(x)=aln x+ ,其中a为 x+1

提 能 专 训

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(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第29页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

[思路方法]
基 础 记 忆

(1)求出切线的斜率和切点坐标,写出切线方

程;(2)根据参数a的不同取值,讨论函数f(x)的导数在区间(0, +∞)内的符号,得出其单调区间. [误区警示] 在解决这类试题时要特别注意函数的定义域,
提 能 专 训

因为函数求导后往往扩大了自变量的取值范围,这时要注意根
热 点 盘 点

据已知的函数式确定自变量的取值范围.不要根据函数的导数 式确定自变量的取值范围.

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第二部分 专题七 第2讲

第30页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

[解析]
基 础 记 忆

x-1 (1)由题意知a=0时,f(x)= ,x∈(0,+∞). x+1

2 此时f′(x)= 2. ?x+1? 1 可得f′(1)=2,又f(1)=0,

提 能 专 训

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所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0. (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞). ax2+?2a+2?x+a a 2 f′(x)= x+ = . ?x+1?2 x?x+1?2

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第二部分 专题七 第2讲

第31页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
基 础 记 忆

当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), 1 ①当a=- 时,Δ=0, 2
提 能 专 训

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1 -2?x-1?2 f′(x)= ≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. x?x+1?2

[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第32页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

1 ②当a<- 时,Δ<0,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞) 2
基 础 记 忆

上单调递减. 1 ③当-2<a<0时,Δ>0. 设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,
提 能 专 训

热 点 盘 点

-?a+1?+ 2a+1 -?a+1?- 2a+1 则x1= ,x2= . a a a+1- 2a+1 a2+2a+1- 2a+1 由x1= = >0, -a -a

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第二部分 专题七 第2讲

第33页

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所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
基 础 记 忆

x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上可得: 当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
提 能 专 训

热 点 盘 点

1 当a≤-2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
? 1 -?a+1?+ 2a+1? ? ? 当- <a<0时,f(x)在?0, ?, 2 a ? ?

[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第34页

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基 础 记 忆

?-?a+1?- ? ? a ?

? 2a+1 ? ,+∞? 上单调递减, ?

?-?a+1?+ 在? ? a ?

2a+1

-?a+1?- 2a+1? ? , ?上单调递增. a ?

提 能 专 训

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[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第35页

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基 础 记 忆

1.利用导数研究函数单调性的步骤: 第一步:确定函数f(x)的定义域; 第二步:求f′(x); 第三步:解方程f′(x)=0在定义域内的所有实数根;
提 能 专 训

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第四步:将函数f(x)的间断点[即f(x)的无定义点]的横坐标和 各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间; 第五步:确定f′(x)在各小区间的符号,由此确定每个区间 的单调性.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第36页

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2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路:
基 础 记 忆

(1)求f′(x). (2)将单调性转化为导数f′(x)在该区间上满足的不等式恒成 立问题求解.
提 能 专 训

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第二部分 专题七 第2讲

第37页

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[回访名题]
基 础 记 忆

1 3 2 (2014· 广东高考)已知函数f(x)=3x +x +ax+1(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间;
? ? 1? ? 1 (2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈ ?0,2? ∪ ?2,1? ,使得f(x0) ? ? ? ?
提 能 专 训

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?1? =f?2?. ? ?

[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第38页

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解:(1)f′(x)=x2+2x+a开口向上,Δ=4-4a=4(1-a).
基 础 记 忆

①当1-a≤0,即a≥1时,f′(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调 递增. ②当1-a>0,即a<1时,令f′(x)=0,
提 能 专 训

热 点 盘 点

-2- 4?1-a? 解得x1= =-1- 1-a, 2 x2=-1+ 1-a. 令f′(x)>0,解得x<-1- 1-a或x>-1+ 1-a; 令f′(x)<0,解得-1- 1-a<x<-1+ 1-a;

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第二部分 专题七 第2讲

第39页

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所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-
基 础 记 忆

1-a ),(-1+

1-a,+∞); f(x)的单调递减区间为(-1- 1-a,-1+ 1-a). 综上所述,当a≥1时,f(x)在R上单调递增;当a<1时,f(x) 的单调递增区间为(-∞,-1- 1-a ),(-1+ 1-a ,+
提 能 专 训

热 点 盘 点

∞),f(x)的单调递减区间为(-1- 1-a,-1+ 1-a). (2)当a<0时,x1=-1- 1-a<0,x2=-1+ 1-a>0. ①当-1+ 减,不满足题意;
[二轮备考讲义] 第二部分 专题七 第2讲
第40页

1-a ≥1,即a≤-3时,f(x)在(0,1)上单调递

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②当-1+ 1-a <1,即-3<a<0时,f(x)在(0,-1+ 1-a )
基 础 记 忆

上单调递减,在(-1+ 1-a,1)上单调递增, 所以f(x)min=f(-1+ 1-a), 1 由题意知-1+ 1-a≠2,
提 能 专 训

热 点 盘 点

5 所以a≠-4. 7 f(x)max=max{f(0),f(1)};f(0)=1,f(1)=a+ . 3 7 4 a.当a+3≥1时,即-3≤a<0时,f(x)max=f(1).
[二轮备考讲义] 第二部分 专题七 第2讲
第41页

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?1? 7 ? ? 令f 2 <f(0),解得a<-12, ? ?

基 础 记 忆

4 4 7 5 又因为- ≤a<0,所以- ≤a<- ,且a≠- . 3 3 12 4 7 4 b.当a+3<1时,即a<-3时,f(x)max=f(0).
提 能 专 训

热 点 盘 点

?1? 25 4 ? ? 令f 2 <f(1),解得-12<a<-3. ? ? ? ? ? 25 5 5 ? ? 综上所述,当a∈ a -12<a<-4或-4< ? ? ? ? ? ? 1? 1? ?1 存在x0∈?0,2?∪?2,1?,使得f(x0)=f?2?. ? ? ? ? ? ?

7 a<- 12

? ? ?时, ? ?

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第二部分 专题七 第2讲

第42页

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利用导数研究函数的极值与最值
[试题调研]
基 础 记 忆

[例3]

(2014· 四川高考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其
提 能 专 训

中a,b∈R,e=2.718 28?为自然对数的底数. (1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的

热 点 盘 点

最小值; (2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点.证明:e- 2<a<1.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第43页

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[命题意图] 本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中
基 础 记 忆

的应用、函数的零点等基础知识,考查考生的推理论证能力、 运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类 与整合、化归与转化等数学思想. [思路方法] (1)根据导数研究函数的单调性和最值;(2)利
提 能 专 训

热 点 盘 点

用零点存在定理等知识证明不等式.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第44页

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

[解析]
基 础 记 忆

(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,有g(x)

=f′(x)=ex-

2ax-b. 所以g′(x)=ex-2a. 当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].
提 能 专 训

热 点 盘 点

1 当a≤2时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增, 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b; e 当a≥ 时,g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减, 2

[二轮备考讲义]

第二部分 专题七 第2讲

第45页

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因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;
基 础 记 忆

1 e 当2<a<2时,令g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1). 所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间
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[ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1- 2 b;
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1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a- 2 2
基 础 记 忆

2aln(2a)-b; e 当a≥2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b. (2)证明:设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=
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f(x0)=0可知f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调 递减.

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则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负,故g(x)在区间(0,
基 础 记 忆

x0)内存在零点x1. 同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2. 所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.
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1 由(1)知,当a≤ 2 时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1) 内至多有一个零点. e 当a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减, 2 故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.
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1 e 所以 <a< . 2 2
基 础 记 忆

此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1] 上单调递增. 因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),
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必有g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由f(1)=0有a+b=e-1<2,有 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0. 解得e-2<a<1.

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第49页

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所以,函数f(x)在区间(0,1)内有零点时,
基 础 记 忆

e-2<a<1.
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基 础 记 忆

1.函数f(x)在x=x0处取得极值的判断方法 求得导数f′(x)后,检验f′(x)在x=x0左右的符号: (1)左正右负?f(x)在x=x0处取极大值.
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(2)左负右正?f(x)在x=x0处取极小值.

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2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
基 础 记 忆

第一步:求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极 小值); 第二步:将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大 的一个为最大值,最小的一个为最小值.
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[回访名题]
基 础 记 忆

(2014· 江西高考)已知函数f(x)=(4x2+4ax a<0. (1)当a= -4时,求f(x)的单调递增区间;

+a2)

x ,其中
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(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
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解:(1)当a=-4时,
基 础 记 忆

2?5x-2??x-2? 2 由f′(x)= =0得x=5或x=2, x
? 2? 由f′(x)>0得x∈?0,5?或x∈(2,+∞), ? ? ? 2? 故函数f(x)的单调递增区间为?0,5?,(2,+∞). ? ?
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?10x+a??2x+a? (2)f′(x)= ,a<0, 2 x a a 由f′(x)=0得x=- 或x=- . 10 2
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基 础 记 忆

? a? 当x∈?0,-10?时,f(x)单调递增; ? ? ? a a? 当x∈?-10,-2?时,f(x)单调递减; ? ? ? a ? 当x∈?-2,+∞?时,f(x)单调递增. ? ?

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易知f(x)=(2x+a)

2

? a? · x≥0,且f?-2?=0. ? ?

a ①当- ≤1时,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为 2 f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=± 2 2-2,均不符合题意.
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a ②当1<- ≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]上的最小值 2
基 础 记 忆

? a? 为f?-2?=0,不符合题意. ? ?

a ③当- >4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x 2
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=1或x=4处取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a= - 10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)单调递减,f(x) 在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意. 综上有a=-10.

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基 础 记 忆 提 能 专 训 热 点 盘 点

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[典例]
基 础 记 忆

x a 3 (2014· 重庆高考)已知函数f(x)= + -ln x- ,其 4 x 2

1 中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=2x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值.

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[审题策略]

(1)由导数的几何意义求a的值.(2)根据函数的

导数与函数的性质之间的关系求解.先求f′(x)=0的根,进而 得函数的单调区间,确定函数的极值情况.

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[解析]
基 础 记 忆

(1)对f(x)求导,得

1 a 1① f′?x?= - 2- , 4 x x 1 由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=2x,知
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3 f′?1?=- -a=-2 ②, 4 5 解得a= . 4

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x 5 3 (2)由(1)知f(x)= + -ln x- , 4 4x 2
基 础 记 忆

x2-4x-5 则f′(x)= . 4x2 令f′(x)=0.解得x=-1或x=5. 因为x=-1不在f?x?的定义域?0,+∞?内, ③
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故舍去.

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当x∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈
基 础 记 忆

(5,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知 函数f(x)在x=5时 取得极小值f(5)=-ln 5.


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[失分警示] 失分点1:题中①处函数f(x)的导函数求错而造
基 础 记 忆

成失分. 失分点2:题中②处导数的几何意义应用不当而求错a值失 分. 失分点3:题中③处忽略函数f(x)的定义域而造成无谓失
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分. 失分点4:题中④处解题过程不完整或对极值概念理解不清 而造成无谓失分.

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[答题指导] 看到求函数的单调性,要准确求导,判断导函
基 础 记 忆

数的符号,以确定单调性与单调区间;结合函数的单调性,计 算函数的极值与最值,若题目中含有参数,则要注意对参数进 行讨论时选定合适的分类标准,做到有条不紊.
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进入提能专训(二十一)
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