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2015.2李建泉(数论)讲义


2 3 2 6 1.求所有素数 p, q ,使得 p q ? 1, q p ? 1 。

2.求所有正奇数对 ? m, n ? ,使得 n 3m ? 1, m n2 ? 3 。 3.已知 n 是大于 1 的正整数,求 n 元正整数组 a1 , a2 ,?, an 的数目,其中 a1 , a2 ,?, an 两

a ?2a ? ? ? an

。 两不同且两两互素, 并满足对于任意的 i ?1 ? i ? n? , 有 a1 ? a 2 ? ? ? an 1
i i i

4. 证 明 对 于 任 何 正 整 数 m , 存 在 无 穷 多 个 整 数 对 ? x, y ? , 使 得 x, y 互 素 , 且

y x2 ? m, x y2 ? m 。
n 2 p ?1 5.设 p 是素数,且满足 p 2 ? 1 ,证明对于任意的正整数 n , ? p ? 1? p !? 2 至少

?

?

有三个不同的素因数。
2 6.已知 p 是一个大于 5 的素数,若存在正整数 k ,使得 k ? 5 能被 p 整除,证明存在正

整数 m, n ,使得 p 2 ? m2 ? 5n2 。 7.求所有正整数对 ? m, n ? ,使得 2 ? n ? m! 。
n

8.证明不存在整数 x, y, z ? x ? 0? ,满足 2 x4 ? 2 x2 y 2 ? y 4 ? z 2 。 9. 设 正 整 数 n 的 所 有 正 因 数 为 d1 , d2 ,?, dl , 且 满 足 1 ? d1 ? d2 ? ? ? dl ? n , 若

d7 2 ? d1 52 ? d 1 62,求 d17 的所有可能的值。
10.已知 p 为奇素数, a1 , a2 ,?, a p?2 为一列正整数,使得对于 k ??1,2,?, p ? 2? ,均
k 有 p 不整除 ak , p 不整除 ak ?1 ,证明在 a1 , a2 ,?, ap?2 中存在若干个数,它们的乘积模 p

余2 。 11.求 2
561

? 2,3561 ? 3,?,561561 ? 561 的最大公因数。

12.将素数从小到大排列为 p1 , p2 , p3 ,?, pn ,?,设 sn ?

?p
i ?1

n

i

,求证对于任意正整数

n ,存在一个完全平方数 an ,使得 sn ? an ? sn?1 。
13. ?1? 是否存在正整数 a , b , 使得对于任意正整数 n , 数 2 a ? 5 b 是完全平方数? ? 2 ?
n n

是否存在正整数 a, b, c ,使得对于任意正整数 n ,数 2 a ? 5 b ? c 是完全平方数?
n n

1

14.设 f ? x ? ? x ? ? k x ? , x ? 0, k ? 2, f1 ? x ? ? f ? x ? , f n ?1 ? x ? ? f

?

?

? f ? x ? ? ,证明对于每
n

个给定的正整数 a ,数列 fn ? a ? 中必有一项是某个整数的 k 次方。 15.设整数数列 ?an ?? n ? 1,2,?? 满足 a1 ? ?5, a2 ? ?6 ,对于任意正整数 n ? 2 ,均有

?

?

an?1 ? an ? ? a1 ? 1?? 2a2 ? 1??? ? n ? 1? an?1 ? 1? ? n2 ? n ? an ? 2n ? 1 ,证明若素数 p 满足:
对于某个正整数 n ,有 p 整除 nan ? 1 ,则存在正整数 m ,使得 m2 ? 5 ? mod p ? 。 16.试用一个关于 n 的函数表示乘积 9 ? 99 ? 9999 ??? 10 ? 1 在十进制下各位数字 之和。 17.已知整数 k ? 5 ,用 k 进制表示给定的正整数,将这个 k 进制的数的各位数码之和与

?

?

?

2n

?

? k ? 1?

2

的积写在给定的正整数的后面,对于所得到的新的数,继续这种运算,得到一个数

列,证明从某个数开始,其后面的数全相等。 18.证明每个正整数都可以表示为有限个 ? ? ? ? 次幂为 ? 的形式,其中 i 是整数。
i

? ? ?

1? 5 ? ? 的整数 ? 的不同整数次幂的和。 2 ? ?

19.已知正整数 a , Sa 是由素数构成的集合,且满足:对于任意的 p ? Sa ,存在一个奇
2 数 b ,使得 p 2
a

b

? 1 ,证明对于任意正整数 a ,存在无穷多个素数不在 Sa 中。

20. 求最小的正整数 m ,使得对于所有的正整数 n ? m ,都存在非负整数 a , b ,使得

n ? 5a ? 11b 。
21.证明存在正整数 n0 ,使得对于任意正整数 n ? n0 ,任意一个非零有理数的立方都可 以写成 n 个非零有理数的立方之和。 22.某人掷硬币,正面得 a 分,背面得 b 分,其中 a , b 为正整数,且 a ? b ,他每次将得 分进行累计,结果不论他采取怎样的投掷方案以及投掷多少次,都恰有 35 个分值总记录不 到,其中 58 就是记录不到的分值之一,试求 a , b 的值。 23.在 10 ? 10 的每个方格 C ?i, j ??1 ? i, j ? 10? 内填入数 1, 2,?,100 ,每个方格恰填一 个数,问是否可以满足下列条件 ?1? 每行方格内的数之和为 S ; ? 2 ? 每列方格内的数之和为

S ; ? 3? 对于 k ? 1, 2,?,10 ,满足 i ? j ? k ? mod10? 的方格 C ? i, j ? 内所填数之和为 S 。
24.证明在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点, 每段的长为 1 的闭折线, 它的每个顶
2

点的坐标都是有理数。 25.已知 n ? 2 为固定的整数,定义任意整点 ? i, j ? 模 n 的余数为 i ? j 模 n 的余数,求所 有的正整数组 ? a, b ? , 使得以 ? 0,0? , ? a,0? , ? a, b ? , ? 0, b ? 为顶点的长方形具有如下性质:?1? 长方形内整点模 n 的余数分别为 0,1, 2,?, n ? 1 所出现的次数相同; ? 2 ? 长方形边界上整点 模 n 的余数分别为 0,1, 2,?, n ? 1所出现的次数相同。 26.正整数 a0 , a1 ,?, a9 和 b1 , b2 ,?, b9 满足 a9 ? b9 , ak ? bk ?1 ? k ? 8? 。一个取款机中 有 n 元钞票,其中 n 为正整数,且 n ? a9 。对于任意的 1 ? i ? 9 ,若取款机中至少有 ai 元钞 票,可以取 ai 元钞票,然后银行马上在取款机中放入 bi 元钞票,允许取 a0 元钞票,而银行 不往取款机中放入钞票,求所有的正整数 n ,使得经过上述操作,将取款机中的钞票全取出 来(即取款机中没有钞票了) 。

3


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