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异面直线所成角的向量求法


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2 0 0 4年 6 月上 

中学生数学 

思路与方 法  

异面直线所成角的向量求法 
浙江省诸 暨市牌头 中学 ( 3 1 1 8 2 5 )   楼 海虫   异面直线 所成角 的大小 , 是 由空间一点 分  别 引它们的平

行线 所 成 的锐 角 ( 或直 角 ) 来 定  义 的. 因此 , 求 异 面直 线 所成 的 角通 常 要 通 过  平移直线 , 形成角, 然 后 在某 个 三角 形 中求 出   这个 角的大小.  
新教材 引进 了空 间向量 , 避开 了繁 杂的作 

不 建立 空 间坐 标 系也 可 以运 用 向量 的数 乘来 

求 出空间 中任意 两个 向量 间的夹角.  
例2   已知 空 间 四   边 形 AB C D 中, AB—  
BC— CD — DA — AC — 

B D— a , M、 N 分 别 为  B C和 A D 的 中 点, 设 日   AM 和 C N 所 成 的角 为 
t l ',

图, 在求异 面直线所成 的角 时运 用空 间向量 的  
方法很好.   例 1 如图 1 , 在 正 

D 

求C O S t l ' 的值.  

C 

方体 A B C D—A 1 B 1 C 1 D 1  

中, E、 F分别是相邻两侧 
面 B C C 1   B 1及 C D D 1 G 

解  由 已知 得 , 空  间 向 量 AB, AC , AD不 

图2  

买 回 , 且 网网乙1 日 J 阳犬 用 习 力 6 0 .田 l 司重 明 那  

的 中心. 求A   E和 B   F  
所成的角的大小.  

法 可以得 到 

解  以 B 为原 点 ,   B C为  轴 , B A为 _ y   轴, B B  为 2轴 , 设B C   长度为 2 . 则点 A  的坐 标为 ( 0 , 2 , 2 ) , 点 E 的  坐标为 ( 1 , 0 , 1 ) , 点B  的坐标为 ( 0 , 0 , 2 ) , 点F   的坐 标 为 ( 2 , 1 , 1 ) ; 所 以向量E A   的 坐标 为  ( 一1 , 2 , 1 ) , 向量B   F 的坐标为 ( 2 , 1 , 一1 ) ,   这两个 向量 的夹角 0 满足 
EA1?B1   F  图 1  

厨 一  (   +   ) ,  

一一  

+   .  

所 以向量  与 向量N — C的夹 角 ( 即角   或者  的补角 ) 满足 。 。  :   二 _   , 其中   l AM 1 . 1 NCl  

A — M?  

一  (   +   )? ( 一   面 +  )  

一   ( 一  面 ?  
+( 一 


) +面 ? A — C  

)? A — C +A — C? A — C ]  
—  

l   E A   l ?l   B   Fl  
:  

1   a2  ̄ ( 一  1十  1


1   n2
,  

、  

二   ±   ±   二   !   干  丽 ? 、 亿 干 
 

I A — M   I 一 丢 (  +  ) ?( A B + A C )  
一  





6‘  

3口 2 1( 1 +1 +1 )? n  2一  
,  

所 以直线 A   E与直线 B   F所成 的角 的余 
1  

弦值为÷.  
U 

I  ̄' Cl   一( 一  
一  

+   )? ( 一  
一  

+  )  

小结

如果 题 中给 出 的是 一 可 以建 立 坐 

1+ 1

I   n2一

标系 的空 间 图形 , 比如本 题 中的正 方 体 , 或 者 
是 长方体 , 或者 空 间图形 中有三 条直线 两两垂  直, 我们 就可 以建 立 空 间直 角 坐标 系 , 从 而 利 

导 n 2 .  
. 

所以 c 。 s a —I   c o s O I 一   2
( 者 宙   { 车四 澹 )  

用 向量 的坐标表示 来求两 个向量 的夹角. 当然 

皿 


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