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河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题 理


石家庄市第一中学 2015—2016 学年第二学期高二年级第二次月考试题 数学(理)
第 I 卷(选择题,共 6 0 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 A. ?i

5 ? 2i ? 2 ? 5i
C. ?

/>B. i

21 20 ? i 29 29

D. ?

4 10 ? i 21 21

b? 2.设向量 a , b 满足 a ? 2 , a ?

3 , a ? b ? 2 2 ,则 b ? 2
C. 2 D.

A. 1

B . 2

3 4

3.若 m , n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,则下列命题中,错误的是 A.若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n B.若 m ? ? , ? / / ? ,则 m / / ? C.若 m / /? , n / /? , 则 m / / n D.若 m / / n , m / /? , n ? ? ,则 n / /? 4.下列说法正确的是
2 2 A. 命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

2 B.命题“ ?x0 ? R,x0 ? 1”的否定是“ ?x ? R,x ? 1 ”

2

2 C.命题“ x ? 1 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的必要不充分条件”为假命题

D.命题“若 x ? y ,则 cos x ? cos y ”的逆命题为假命题 5.同时具有性质“周期为 ? ,图象关于 x ? A. y ? sin(

?
3

对称,在 [ ?

? ?

, ] 上是增函数”的函数是 6 3

x ? ? ) 2 6

B. y ? cos( 2 x ?

?
3

)
错误!未找到引用源。
1

C. y ? cos( 2 x ?

?

6

)

D. y ? sin( 2 x ?

?

6

)

6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表 广 告 费 用 x (万元) 销 售 额 y (万元) 4 49 2 26 3 a 5 54

? ? 8x ? 14 ,则表中的 a 的值为 已知由表中 4 组数据求得回归直线方程 y
A.37 7. (1 ? B.38 C.39 D.40

1 )(1 ? x) 5 错误!未找到引用源。的展开式中错误!未找到引用源。项 x3 的系数为 x
B . C.10 D.

A.7

8. 一个棱长为 a 的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则此球的表面积为 A.

7 2 ?a 3

B. 2?a 2

C.

11 2 ?a 4

D.

4 2 ?a 3

9. 已知 a ? 0, b ? 0 若不等式 A.4 B.16

m 3 1 ? ? ? 0 恒成立,则 m 的最大值为 3a ? b a b
C.9 D.3

3 6 ? a 2 上有最小值,则实数 a 的取值范围是 10. 若函数 f ? x ? ? x ? 3x 在 a,

?

?

1 A. ? ? ? 5,

?

1 B. ? 5,

?

?

, C. ? ?31 ?

, D. ??21 ?
1 ? 1, f ?? x?

11. 已知在实数集 R 上的可导函数 f ? x ? , 满足 f ? x ? 1? 是奇函数, 且当 x …1 时, 则不等式 f ? x ? ? x ?1的解集是 A. ? ??, 1? 12. 已知点 P 是椭圆 B. ?1 , ? ?? C. ? 0, 1? D. ? ??, 0?

x2 y 2 ? ? 1 上除顶点外的一动点, F1 、 F2 为椭圆的两个焦点, O 是坐 16 8 ????? ???? ? ???? ? 标原点,若 M 是 ?F 1PF2 的角平分线上的点,且 F 1M ? PM ? 0 ,则 OM 的取值范围为
A. [0,3) B. (0, 2 2) C. [2 2,3) D. [0, 4]

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

?? ??
0

1

?8

? 1 ? x 2 ? 6 x 2 ?dx ? ?


2

14. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

; ;

15.任取实数 x ?? 2,30? ,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 79 的概率是

14 题图

15 题图

? 2 1 ?? x ? x,x ? 0 16. 已知函数 f ? x ? ? ? ,若函数 y ? f ? x ? ? kx 有三个零点,则 k 的取值范 2 ?ln ? x ? 1?,x …0 ?
围为 . 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在等比数列 {an } 中, a2

? 3, a5 ? 81 .

(Ⅰ)求 an 及其前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)设 bn ? 1 ? log3 an ,求数列 ?

?

1 ? ? 的前10 项和 T10 . ? bn ? bn ?1 ?

3 2 18.设函数 f ( x) ? 2x ? 3ax ? 3bx ? 8 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.

(1)求 a , b 的值; (2)求曲线 f ( x ) 在 x ? 0 处 的切线方程.
x x x 19.已知函数 f ( x) ? 2cos ( 3 cos ? sin ) . 2 2 2

(1)设 ? ?[? , ] ,且 f (? ) ? 3 ? 1 ,求 ? 的值; 2 2 (2)在 ?ABC 中, AB ? 1 , f (C ) ? 3 ? 1 ,且 ?ABC 的面积为
3 ,求 sinA ? sin B 的值. 2
3

? ?

20. 如图所示,平面 EAD ? 平面 ABCD ,?ADE 是等边三角形, ABCD 是矩形,F 是 AB 的中点, G 是 AD 的中点, EC 与平面 ABCD 成 30 ? 角. (1)求证: EG ? 平面 ABCD ; (2)若 AD ? 2 ,求二面角 E ? FC ? G 的大小; (3) 当 AD 的长是多少时, 点 D 到平面 EFC 的距离为 2, 并说明理 由. 21.在 ?ABC 中,AC ? 2 3 , 点 B 是椭圆 当 AC 在直线 l 上运动时. (1)求 ?ABC 外接圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程; (2)过定点 F (0, ) 作互相垂直的直线 l1 、 l2 ,分别交轨迹 E 于 M 、 N 和 R 、 Q ,求四 边形 MRNQ 面积的最小值. 22. 已知函数 f ? x ? ? x ?

x2 y 2 ? ? 1 在 x 轴上方的顶点,l 的方程是 y ? ?1 , 5 4

3 2

a ? ln x . x

(1)求函数 f ? x ? 的 单调区间和极值点; (2)若对任意的 a ? ? , ,e? 时, f ? x ? ? m 恒成立,求实数 2e2 ? ,函数 f ? x ? 满足当 x ??1 e

?1 ?

? ?

m 的取值范围.

4

参考答案 1.A 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.D 8.A 9.B 10.D

11.A 12.B

13.4

3? + 3 14. 2

1 5.

16. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

17 . (Ⅰ) an ? 3n?1 , Sn ?

1?1 ? 3n ? 1? 3

?

10 3n ? 1 (Ⅱ) 11 2

试题解析: (1)设 ?an ? 的公比为 q,依题意得

1?1 ? 3n ? 3n ? 1 ? a1q ? 3 ?a1 ? 1 n ?1 , 解得 ? ,因此, an ? 3 , Sn ? ? ? 4 q ? 3 a q ? 81 1 ? 3 2 ? ? 1
( 2 ) 由 ( 1 ) 知 bn ? 1 ? l 3o an g ? ? ?n ? 1

??n

, 1 则

1 1 1 1 ? ? ? bnbn?1 n ? n ? 1? n n ? 1
所以

T10 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 ? ??? ? 1? ? ? ??? ? ? 1? ? 1? 2 2 ? 3 10 ? 11 2 2 3 10 11 11 11

18. (1) a ? ?3 , b ? 4 . (2) 12x ? y ? 8 ? 0 . 试题解析:解: (1)∵ f ( x) ? 2 x 3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8 ∴ f ?( x) ? 6 x 2 ? 6ax ? 3b 又∵ f ( x) ? 2 x 3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值 ∴ f ?(1) ? f ?(2) ? 0 ∴ ?
?6 ? 6a ? 3b ? 0 ?24 ? 12a ? 3b ? 0

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (2)由(1)得 f ( x) ? 2 x 3 ? ?9 x 2 ? 12x ? 8 , f ?( x) ? 6 x 2 ? 18x ? 12 , ∴ f (0) ? 8 , f ?(0) ? 12 .∴切线的斜率 k ? 12 .切点为(0,8) 由直线方程的点斜式得切线方程为: y ? 8 ? 12x , 即 12x ? y ? 8 ? 0 . 考点: (1)函数的极值及方程思想. (2)曲线上某点切线方程的算法. 19.(1) ? ?

?
6

或?

?
2

, (2)1+

3 2

试题解析: (本小题 12 分) (1)f(x)=2 3 cos
3 (1+cosx)-sinx=2cos ( x ? 3 +1,得 cos (? ?

2

x x x -2sin cos = 2 2 2

?
6

) + 3 .由 2cos (? ?

?
6

)+ 3=

?
6

)=

1 . 2

于是 ? ?

?
6

? 2k? ?

?
3

k∈Z) ,因为 ? ∈ [?

? ?

, ] ,所以 ? ? 或 ? 2 2 6 2

?

?

(2)因为 C∈(0,π ) ,由(1)知 C= 所以

3 ? .因为△ABC 的面积为 , 2 6

3 1 ? = absin ,于是 ab=2 3 .①在△ABC 中,设内角 A、B 2 2 6
2 2

的对边分别是 a、b.由余弦定理得 1=a +b -2abcos

? 2 2 =a +b -6, 6

所以 a +b =7.②

2

2

? ? ? b?2 ? a?2 由①②可得 ? 或? 于是 a+b=2+ ? ?a ? 3 ?b ? 3 ?

3.

由正弦定理得 =1+
3 . 2

sin A sin B sin C 1 1 所以 sinA+sinB= (a+b) ? ? ? 2 a b 1 2

20.证明: (1)∵ ?ADE 是等边三角形,G 是 AD 的中点, ∴ EG ? AD . 又平面 EAD ? 平面 ABCD,平面 EAD ? 平面

ABCD? AD, ∴ EG ? 平面 ABCD .??3 分
(2)连结 CG, FG .由(1)知,?ECG 为 EC 与 平面 ABCD 成的角, ∴ ?ECG ? 30 ? . 由 AD ? 2 ,得 EG ? 3 , ∴

??4 分

GC ? 3, EC ? 2 3 , DC ? 2 2 .

在 ?CGF 中, GC ? 3, GF ? 3, CF ? 6 ,∴

CF ? FG .

由 EG ? 平面 ABCD ,且 CF ? 平面 ABCD ,得 CF ? EG ,又 EG ? FG ? G .

CF ? 面 EFG . ?EFG 二面角 E ? FC ? G 的平面角. EG ?1, 在 Rt ?EFG 中, tan ?EFG ? GF ∴ 二面角 E ? FC ? G 为 45 ? .
∴ ∴ (3)设 AD ? 2a ,由 VD? EFC ? VE ? DFC ,得

??7 分

??9 分 ??10 分

1 1 1 1 ? ? CF EF ? 2 ? ? ? CD CB ? EG , 3 2 3 2

2 ? 6 ? 2 3 ? a2 ? 3a ? 2 2a ? 2a ,
解得 a ? 3 ∴ ??11 分

当 AD 的长是 6 时,D 点平面 EFC 的距离为 2.??12 分

x2 y 2 ? ? 1 ,得点 B(0, 2) , 21.解: (1)由椭圆 5 4
∵ 直线 l 的方程是 y ? ?1 , AC ? 2 3 , AC 在直线 l 上运动, ??2 分

可设 A(m ? 3, ?1) , C(m ? 3, ?1) , 则 AC 的垂直平分线方程为 x ? m ,① AB 的 垂 直 平 分

线







y?

1 m? 3 m? 3 ? (x ? ) .② ??4 分 2 3 2
∵ 点 P 是 ?ABC 外接圆的圆心, ∴ 点 P 的坐标 ( x, y ) 满足方程①和②. 由①和②联立消去 m ,得 y ?

1 2 x . 6



圆心 P 的轨迹 E 的方程为 x2 ? 6 y .

??6 分 ??

(2) 由题意可知, 直线 l1 和 l2 的斜率存在且不为零, 7分 设 l1 的方程为 y ? kx ?

1 3 3 , l2 的方程为 y ? ? x ? . k 2 2

3 ? y ? kx ? ? ? 2 由? ,得 x 2 ? 6kx ? 9 ? 0 . ? y ? 1 x2 ? 6 ?
∵ 直线 l1 与轨迹 E 交于 M、N 两点,∴

??8 分

? ? 36k 2 ? 36 ? 0 .

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6k , x1 x2 ? ?9 . ∴

MN ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 6(1 ? k 2 ) .
1 ). k2
边 形 ??10 分

同理,可得 RQ ? 6(1 ? ∴ 四

MRNQ





S?

1 1 MN ? RQ ? 18(k 2 ? 2 ? 2) ? 72 . 2 k 1 2 当且仅当 k ? 2 ,即 k ? ?1 时,等 号成立. k

故 四边形 MRNQ 面积的最小值为 72. 22.解: (1) f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ,x ?0 x2

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 单调递增,无极 值点;

? ? 1 ? 4a ? 0 , ②当 a ? 0 时, 由 f ? ? x ? ? 0 得 x1 ?
?1 ? 1 ? 4a 2
? ? ?

?1 ? 1 ? 4a (舍) , 2

x2 ?

∴ f ? x ? 在 ? 0, 单调递增减增,

? ?1 ? 1 ? 4a ? ?1 ? 1 ? 4 a ? 单调递增减,在 ? , ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ?

f ? x ? 有极小值点为 x ?
?1 ? ? ?

?1 ? 1 ? 4a ,无极大值点。 2

(2) 当a?? , 由 (1) 可得 f ? x ? 在 ?1 ,e? 上的最大值为 f ?1? 2e2 ? 时, e 和 f ? e ? 中较大者, ∴若 ? x ??1 ,e? , f ? x ? ? m 恒成立,只需 ?

? ?m ? f ?1? ,即 m ? f e ? ? ? ?

?m ? 1 ? a ? a , ? m ? e ? ?1 ? e ?
?1 2 ? 若 上 式 对 任 意 的 a?? , 2e ? 成 立 , 则 ?e ?
m ? 1 ? 2e2 .

? m ? 1 ? 2e 2 ,∴ ? ?m ? 3e ? 1


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