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江苏省南师大附中2015届高三数学复习(五)


南师大附中 2015 届高三数学复习(五)
一、填空题:

1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4?,集合 P ? ?1,2,3? , Q ? ?2,3? ,则 P I (? U Q) = 2.已知复数 z 的实部为 1 ,虚部为 ?2 ,则

. .

1 ? 3i ( i 为虚数单位)的模为 z

3.某学校为了解该校 1200 名男生的百米成绩(单位:秒),随机选择了 50 名学生进行调查.下图是这 50 名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布, 估计这 1200 名学生中成绩在 [13,15] (单位: 秒)内的人数大约是 .

[来源:Zxxk.Com]

4.已知 4 张卡 片(大小,形状都相同)上分别写有 1 , 2 , 3 , 4 ,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是 3 的概率为 . .

5.按如图所示的流程图运算,则输出的 S ?

6.已知向量 OA ? ? 0,1? , OB ? (m, m ? 1), OC ? (1,3) , 若 AB // AC ,则实数 m = 7.数列 {an } 成等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a7 ? a13 ? ?? ,则 S13 的余弦值为 8.设 ? , ? 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线,现给出下列四个命题: ①若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; ③若 ? ? ? , ? I ? ? m, n ? ? , n ? m 则 n ? ? ; ④若 m // n, n ? ? , ? // ? , 则 m ? ? .

uur

uu u r

uuu r

uu u r uuu r

. .

其中,所有真命题的序号是 . 9.已知函数 f ( x) , g ( x) 满足 f (1) ? 2 , f ?(1) ? 1 , g (1) ? 1 , g ?(1) ? 1 ,则函数 F ( x) ? ( f ( x) ? 1) ? g ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程为 . 10.在 ?ABC 中, b ? 2, B ?

?

3

, sin 2 A ? sin( A ? C ) ? sin B ,则 ?ABC 的面积为

.

x2 y 2 2 2 2 11.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x ? y ? b ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 O 的两条 a b 切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 .
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? ?? ? 为过点 A ?1, 4 ? 的直线 l 的倾斜角,若当 ? 2? u r r 2 2 2 . m ? n 最大时,直线 l 恰好与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 相切,则 r ? x 1 1 1 3 . 函 数 f ( x) ? ? ? ? a( x ? 0) 恰 有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 实 数 a 的 范 围 是 ___ 4 16 x x ? 1 4x 2 1 4 . 已 知 对 于 任 意 的 实 数 a ? [ 3 ,? ? ) , 恒 有 “ 当 x ? [ a, 3a ] 时 , 都 存 在 y ?[ a, a ]满 足 方 程 . loga x ? loga y ? c ” , 则 实 数 c 的 取 值 构 成 的 集 合 为
12.设 m ? ? 2,1? , n ? ? sin ? , cos ? ? ,其中 ? ? ? 0, 二、解答题: 15.已知角 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的内角, a, b, c 分别是其对边长,向量 m ? (2 3 sin

u r

r

u r

r u r r A n ? (cos , ?2) , m ? n . 2 (1)求角 A 的大小;
(2)若 a ? 6, cos B ?

A A , cos 2 ) , 2 2

6 ,求 b 的长. 3

[来源:学。科。网]

16. 如图, 在四面体 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点. (1)求证: AB ? 平面 CDE ; (2)设 G 为 ?ADC 的重心, F 是线段 AE 上一点,且 AF ? 2 FE . 求证: FG // 平面 CDE .

w

w w .x k b 1.c o m

17.如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于 A, B, C 三点 处, AB ? AC , A 到线段 BC 的距离 AO ? 40 , ?ABO ?
南京清江花苑严老师 2

2? (参考数据: 7

tan

2? 2 3 ). 今计划建一个生活垃圾中转站 P ,为方便运输, P 准备建在线段 AO (不含端点)上. ? 7 3 (1) 设 PO ? x(0 ? x ? 40) ,试将 P 到 三个小区距离的最远者 S 表示 为 x 的函数,并求 S 的最小值; 2? ,试将 P 到三个小区的距离之和 表 (2) 设 ?PBO ? ? (0 ? ? ? y ) 7 示为 ? 的函数,并确定当 ? 取何值时,可使 y 最小?

[来源:Z#xx#k.Com]

18. 如图, A, B 是椭圆 C :


x ? 4.

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点,椭圆 C 的离心率为 ,右准线 l 的方程为 2 a b 2

(1)求椭圆方程; (2)设 M 是椭圆 C 上异于 A, B 的一点,直线 AM 交 l 于点 P ,以 MP 为直径的圆记为 e K . ①若 M 恰好是椭圆 C 的上顶点,求 e K 截直线 PB 所得的弦长; ②设 e K 与直线 MB 交于点 Q ,试证明:直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点,并求该定点的坐标.

19 . 已 知 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 , 数 列 ?bn ? 是 等 比 数 列 , 且 对 任 意 的

n ? N*

,都有

a1b 1? a b ???? 2 ? 2a b 3 3 ? anbn ? n ? 2
南京清江花苑严老师

n?3

.
3

(1)若 ?bn ? 的首项为 4, 公比为 2,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 a1 ? 8 . ①求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; ②试探究:数列 {bn } 中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它 r (r ? N , r ? 2) 项的和?若存在, 请求出该项;若不存在,请说明理由.

[来源:Z.xx.k.Com]

20.已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? ax ,其中 a ? R, x ? R . (1) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (2) 若函数 f ( x ) 在区间(1,2)上不是单调函数,试求 a 的取值范围; (3) 已知 b ? ?1 , 如果存在 a ? (??, ?1] , 使得函数 h( x) ? f ( x) ? f ? ( x) ( x ? [? 1,b ]) 在 x ? ?1 处取 得最小值,试求 b 的最大值.

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4

南师附中高三数学期末复习(五) 答案

2014-01-21



a sin B 6 ? A ? , a ? 6 ,则由正弦定理,得 b ? = 3 ? 4 ,即 b ? 4 ??????????14 分 3 sin A

?

3

16.证明:(1)由
X k b 1 . c o m

BC ? AC ? ? ? CE ? AB ????????????????????????? 3 分 AE ? BE ?

3 2

DE ? E , CE , DE ? 平面 CDE ,∴ AB ? 平面 CDE ??????7 分 (2)连接 AG 并延长交 CD 于点 O,连接 EO.因为 G 为 ?ADC 的重心,所以 AG ? 2GO , 又 AF ? 2 FE ,所以 FG // EO ????????????????????????????11 分 FG / / EO ? 面CDE FG ? 面CDE 又 , , 所 以 平 面
同理, DE ? AB ,又∵ CE

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5

y ? 2?

20 3 2 ? sin ? ?????????????????11 分 ? 40 ? 20 3 tan ? ? 40 ? 20 3 ? cos ? cos ? 2sin ? ? 1 1 ? 因为 y? ? 20 3 ? ,令 y? ? 0 ,即 sin ? ? ,从而 ? ? , 2 cos ? 2 6
当0 ??

?

?
6

时, y? ? 0 ;当

?
6

?? ?

2? 7

时, y? ? 0 .

7
??????? 6 分 又直线 PB 的方程为 3 3x ? 2 y ? 6 3 ? 0 ,故圆心到直线 PB 的距离为 4

3 ????????8 分 31

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6

K 截直线 PB 所得的弦长为 2 7 ? ( 4 3 ) 2 ? 26 31 ???????????????10 分 31 31 ②证:设 M ( x0 , y0 )( y0 ? 0) ,则直线 AM 的方程为 y ? y0 ( x ? 2) ,则点 P 的坐标为 P(4, 6 y0 ) , x0 ? 2 x0 ? 2 又直线 MB 的斜率为 K ? y0 ,而 MB ? PR ,所以 K ? ? x0 ? 2 , MB PR x0 ? 2 y0 从而直线 PR 的方程为 y ? 6 y0 ? ? x0 ? 2 ( x ? 4) ???????????????????13 分 x0 ? 2 y0 2 令 y ? 0 ,得点 R 的横坐标为 x ? 4 ? 6 y0 ??????????????????????14 分 R x0 2 ? 4 x2 y2 3(4 ? x0 2 ) ,故 3 1 又点 M 在椭圆上,所以 0 ? 0 ? 1 ,即 y0 2 ? xR ? 4 ? 6 ? ? ? , 4 3 4 4 2 1 所以直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点,且该定点的坐标为 (? ,0) ?????????????16 分 2 n?3 19. 解 : (1) 因 为 a1b ?1a b ? 2 , 所 以 当 n?2 时 , ab 2 ???? ? a 3nbn ? 3 n? 2 n? 2 , 两 式 相 减 , 得 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? an?1bn?1 ? (n ?1) ? 2 anbn ? n ? 2n?3 ? (n ?1) ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?2 (n ? 2) , 而当 n ? 1 时, a1b1 ? 16 ,适合上式,从而 anbn ? (n ? 1) ? 2n?2 (n ? N * ) ??????? ??????3 分 又因为 ?bn ? 是首项为 4,公比为 2 的等比数列,即 bn ? 2n?1 ,所以 an ? 2n ? 2 ??????????4 分
从而 e

n(4 ? 2n ? 2) 4(1 ? 2n ) ? ? 2n? 2 ? n2 ? 3n ? 4 ???????6 分 从而数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn ? 2 1? 2 n ? 1 n?2 n ? 2 (n ? N * ) ,所以 bn ?1 ? ? 2n ?1 ( n ? 2) , (2)①设 an ? kn ? b ,则 bn ? kn ? b kn ? k ? b b n ? 1 kn ? k ? b 设 ?bn ? 的公比为 q ,则 n ? ? ? 2 ? q 对任意的 n ? 2 恒成立 ????????8 分 bn?1 kn ? b n
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

即 k (2 ? q)n2 ? b(2 ? q)n ? 2(b ? k ) ? 0 对任意的 n ? 2 恒成立, 又 a1 ? 8 ,故 q ? 2, b ? k ? 4 ,且 b1 ? 2 ?????????????????????????10 分 从而 an ? 4n ? 4, bn ? 2n ??????? ????????????????????????11 分 ②假设数列 {bn } 中第 k 项可以表示为该数列中其它 r (r ? N , r ? 2) 项 bt1 , bt2 , ???, btr (t1 ? t2 ? ??? ? tr ) 的和,即 bk ? bt1 ? bt2 ???? ? btr ,从而 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ,易知 k ? tr ? 1
k t t t

(*)???????13 分

又 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 r ?
k t t t 1 2 3 t

tr ?1 tr ?1 2(1 ? 2tr ) ? 2 ?2? 2 , 1? 2

所以 k ? tr ? 1 ,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在????????????????????16 分 20.解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ,则 f ?( x) ? 3x ? 2 x ?1,故 k ? f ?(1) ? 4 ??????? ?2 分 又切点为 (1,1) ,故所求切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 3 ? 0 ?????????????4 分
3 2 2

(2)由题意知, f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a 在区间(1,2)上有不重复的零点,
2 2 2 由 f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a ? 0 ,得 (3x ? 1)a ? ?2 x ,因为 3x ? 1 ? 0 ,所以 a ? ?
2

2x ?????7 分 3x 2 ? 1

令y??

2x 2x 6 x2 ? 2 ? , 则 在区间(1,2)上是增函数, y ? ? 0 ,故 y ? ? 2 2 2 2 3x ? 1 3x ? 1 (3x ? 1)
7

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所以其值域为 (?1, ?

4 4 ) ,从而 a 的取值范围是 (?1, ? ) ??????????????????9 分 11 11 3 2 (3) h( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? ax ? (3a ? 1) x ? (2 ? a) x ? a ,
①对 x ? [?1, b] 恒成立 ???????????11 分 ②,

由题意知 h( x) ? h(?1) 对 x ? [?1, b] 恒成立, 即 ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (2 ? a) x ? a ? 2a ?1对 x ? [?1, b] 恒 成立,即 ( x ? 1)[ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a)] ? 0 当 x ? ?1 时,①式显然成立; 当 x ? (?1, b] 时,①式可化为 ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ? 0

令 ? ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ? 即?

?? (?1) ? 0 ?????13 分 ? ? (b) ? 0

?4a ? 0 b 2 ? 2b ? 3 1 ?? , 其等价于 2 b ?1 a ?ab ? (2a ? 1)b ? (1 ? 3a) ? 0 ?

③ ,

因为③在 a ? (??, ?1] 时有解,所以 从而 b 的最大值为

b 2 ? 2b ? 3 1 17 ? 1 ? (? ) max ? 1 ,解得 ?1 ? b ? , b ?1 a 2

17 ? 1 ??????????????????????????????16 分 2

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