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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题八


阶段性测试题八(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(2014· 山东省博兴二中质检)“m=-1”是“直线 mx+(2m- 1)y+2=0 与直线 3x+my+3=0 垂直”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 若两直线垂直,则 3m+m(2m-1)=0,∴m=0 或-1, 故选 A. 2.(文)(2014· 三峡名校联盟联考)直线 x-y+1=0 与圆(x-1)2+ y2=2 的位置关系是( A.相离 C.相交且过圆心 [答案] B |1-0+1| [解析] 圆心 C(1,0)到直线的距离 d= = 2,∴选 B. 2 (理)(2014· 天津市六校联考)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2= 2 有公共点,则实数 a 取值范围是( A.[-3,-1] C.[-3,1] [答案] C ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) ) B.相切 D.相交但不过圆心 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

|a-0+1| [解析] 由条件知, ≤ 2,∴-3≤a≤1,故选 C. 2 x 2 y2 3.(2014· 韶关市曲江一中月考)已知双曲线a2- 5 =1 的右焦点为 (3,0),则该双曲线的离心率等于( 3 14 A. 14 3 C.2 [答案] C c 3 [解析] 由条件知,a2+5=9,∴a2=4,∴e=a=2. 4.(2014· 山西曲沃中学期中)对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B [解析] 若方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆,则 m>0,n>0,从而 mn>0,但当 mn>0 时,可能有 m=n>0,也可能有 m<0,n<0,这时 方程 mx2+ny2=1 不表示椭圆,故选 B. 5.(文)(2014· 云南景洪市一中期末)点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2 =25 内一条弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( A.x+y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.2x-y-5=0 [答案] C 1 [解析] 圆心 C(1,0),由条件知 PC⊥AB,∴kAB=-k =1,∴
PC

) 3 2 B. 4 4 D.3

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

直线 AB 的方程为 y-(-1)=1×(x-2),即 x-y-3=0.

(理)(2014· 银川九中一模)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 [答案] B [解析] 设圆心 C(x0,-x0),则 |x0-?-x0?| |x0-?-x0?-4| = , 2 2 ∴x0=1,∴圆心 C(1,-1),半径 r= 2, 方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 6.(2014· 广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心 1 率为3,长轴长为 12,则椭圆方程为( x2 y2 x2 y2 A.144+128=1 或128+144=1 x2 y 2 B. 6 + 4 =1 x2 y 2 x2 y2 C.36+32=1 或32+36=1 x2 y 2 x2 y2 D. 4 + 6 =1 或 6 + 4 =1 [答案] C c 1 [解析] 由条件知 a=6,e=a=3,∴c=2,∴b2=a2-c2=32, 故选 C. 7.(2014· 云南景洪市一中期末)从抛物线 y2=4x 图象上一点 P 引 抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线焦点为 F,则 △MPF 的面积为( ) ) )

A.10 C.6 [答案] A

B.8 D.4

[解析] 设 P(x0,y0),∵|PM|=5,∴x0=4,∴y0=± 4, 1 ∴S△MPF=2|PM|· |y0|=10. x2 y 2 8.(文)(2014· 河南淇县一中模拟)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右 顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B| 成等比数列,则此椭圆的离心率为( 1 A.4 1 C.2 [答案] B [解析] 由条件知,|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, 5 由条件知,(2c)2=(a-c)· (a+c),∴a2=5c2,∴e= 5 . 7 (理)(2014· 抚顺二中期中)在△ABC 中,AB=BC,cosB=-18.若 以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e=( 3 A.4 3 C.8 [答案] C [解析] 设|AB|=x>0,则|BC|=x, AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB 3 B.7 3 D.18 ) ) 5 B. 5 D. 5-2

7 25 5 =x2+x2-2x2· (-18)= 9 x2,∴|AC|=3x, 由条件知,|CA|+|CB|=2a,AB=2c, 5 c 2c x 3 ∴3x+x=2a,x=2c,∴c=a=2a=8 =8. 3x x-y≥1, ? ? 9. (2014· 威海期中)已知变量 x, y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?2x-y≤4, y z=x的最大值为( 3 A.2 5 C.2 [答案] B x-y≥1, ? ? 不等式组 ?x+y≥1, ? ?2x-y≤4 ) 2 B.3 2 D.5



[ 解析 ]

表示的平面区域为图中阴影部

y y 分,z=x表示平面区域内的点 P(x,y)与原点连线的斜率,∴kOA≤x ≤kOB, 2 -3 2 2 2 y 2 ∵kOA= 5 =-5,kOB=3,故-5≤x≤3,选 B. 3

x2 y2 10.(文)(2014· 山东省博兴二中质检)已知双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线的斜率为 2,且右焦点与抛物线 y2=4 3x 的焦点 重合,则该双曲线的离心率等于( A. 2 C.2 [答案] B [解析] ∵抛物线 y2=4 3x 的焦点( 3,0)为双曲线的右焦点, ∴c= 3, b 又a= 2,结合 a2-b2=c2,得 e= 3,故选 B. x2 y2 (理)(2014· 浙北名校联盟联考)过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)上任 →· → 意一点 P, 作与实轴平行的直线, 交两渐近线于 M、 N 两点, 若PM PN =2b2,则该双曲线的离心率为( 6 A. 3 6 C. 2 [答案] C b [解析] 由条件知, 双曲线两渐近线方程为 y=± 设 P(x0, y0), ax, ) B. 3 D. 2 ) B. 3 D.2 3

2 x0 y2 a2y2 0 0 2 则a2-b2=1,∴x0- b2 =a2,

b ay0 ay0 由 y=y0 与 y=± x 得 M ( - , y 0),N( a b b ,y0),
2 ay0 ay0 a2y0 2 → → ∵PM· PN=(- b -x0,0)· ( b -x0,0)=x0- b2 =a2=2b2,

c 6 又 b2=c2-a2,∴3a2=2c2,∴e=a= 2 . 11.(2014· 山西曲沃中学期中)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1, 圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 2-4 B. 17-1 C.6-2 2 D. 17 [答案] A [解析] ⊙C1 的圆心 C1(2,3),半径 r=1,⊙C2 的圆心 C2(3,4), 半径 R=3, 设 E 为 x 轴上任一点,EC1 交⊙C1 于 A,EC2 交⊙C2 于 B,则|EA| +|EB|=|EC1|+|EC2|-4 为 E 到⊙C1 与⊙C2 上的点的距离之和的最小 值,而|EC1|+|EC2|的最小值为|C1′C2|(其中 C1′为 C1 关于 x 轴的对 17 称点),∴当 P 为直线 C1′C2:7x-y-17=0 与 x 轴的交点( 7 ,0) 时 , |PM| + |PN| 取 到 最 小 值 , |PC1| + |PC2| - 4 = 17 ? 7 -2?2+9 + )

17 15 2 20 2 ? 7 -3?2+16-4= 7 + 7 -4=5 2-4,故选 A. y2 12.(2014· 海南省文昌市检测)设 F1,F2 是双曲线 x -24=1 的两
2

个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积 等于( )

A.4 2 C.24 [答案] C [解析]

B.8 3 D.48

由 3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|

-|PF2|=2,∴|PF1|=8,|PF2|=6,又 c2=a2+b2=1+24=25,∴c =5,∴|F1F2|=10, 1 ∴△PF1F2 为直角三角形,S△PF1F2=2|PF1||PF2|=24. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上.) 13.(2014· 西安市长安中学期中)已知椭圆 x2+ky2=3k(k>0)的一 个焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合, 则该椭圆的离心率是________. [答案] 3 2

x2 y2 [解析] 抛物线的焦点为 F(3,0),椭圆的方程为:3k+ 3 =1,∴ 3 3 3k-3=9,∴k=4,∴离心率 e= =2. 2 3 14.(2014· 浙北名校联盟联考)已知直线 l 与圆 O:x2+y2=1 在第 一象限内相切于点 C,并且分别与 x,y 轴相交于 A、B 两点,则|AB| 的最小值为________. [答案] 2 [解析] 设 A(a,0),B(0,b),则 a>0,b>0, x y l:a+b=1,即 bx+ay-ab=0, ∵l 与⊙O 相切,∴ ab 2 2 2 2 2 2=1,∴a +b =a b , a +b

∵a2+b2≥2ab,∴(a2+b2)2≥4a2b2=4(a2+b2), ∴a2+b2≥4,∴ a2+b2≥2,即|AB|的最小值为 2. 9 15.(文)(2013· 泗阳县模拟)两个正数 a,b 的等差中项是2,等比 x2 y2 中项是 2 5,且 a>b,则双曲线a2-b2=1 的离心率为________. [答案] 41 5

9 [解析] ∵两个正数 a,b 的等差中项是2,等比中项是 2 5,且 a>b, a+b 9 ? ? 2 =2, ∴? ab=2 5, ? ?a>b,

解得 a=5,b=4,

x2 y2 ∴双曲线方程为25-16=1,∴c= 25+16= 41, x2 y2 c 41 ∴双曲线a2-b2=1 的离心率 e=a= 5 . x2 (理)(2014· 抚顺市六校联合体期中)已知点 F1、F2 分别是双曲线a2 y2 -b2=1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 B 两点, 若△ABF2 为锐角三角形, 则该双曲线的离心率 e 的取值范围 是________. [答案] (1,1+ 2) [解析] ∵双曲线关于 x 轴对称,∴A、B 两点关于 x 轴对称,∴ |F2A|=|F2B|,△ABF2 为锐角三角形?∠AF2B 为锐角?∠AF2F1<45° ?|AF1|<|F1F2|,

b2 b2 ∵F1(-c,0),∴A(-c, a ),即|AF1|= a , 又|F1F2|=2c, b2 ∴ a <2c,∴c2-2ac-a2<0,∴e2-2e-1<0, ∴1- 2<e<1+ 2, ∵e>1,∴1<e<1+ 2. 16.(2014· 山西曲沃中学期中)在平面直角坐标系中,动点 P(x, y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点 P 的轨迹为 曲线 W. (1)给出下列三个结论: ①曲线 W 关于原点对称; ②曲线 W 关于直线 y=x 对称; ③曲线 W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积 1 小于2; 其中,所有正确结论的序号是________; (2)曲线 W 上的点到原点距离的最小值为________. [答案] (1)②③ (2)2- 2

[解析] 由条件知:|x|+|y|= ?x-1?2+?y-1?2, 两边平方得,|xy|=-x-y+1, 当 xy≥0 时,xy=-x-y+1,∴y= 当 xy<0 时,-xy=-x-y+1, ∴(x-1)(y-1)=0,∴x=1(y<0)或 y=1(x<0), ∴曲线 W 如图所示. 1-x 2 = -1, 1+x 1+x

由图易知:W 的图象关于直线 y=x 对称,关于原点不对称,W 1 1 与 x 轴、y 轴非负半轴围成图形的面积 S<2×1×1=2, y=x, ? ? 1-x , 由?y= 1+x ? ?x>0,

得 x=y= 2-1,∴A( 2-1, 2-1)到原点

距离 d= ? 2-1?2+? 2-1?2为 W 上点到原点距离的最小值. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(2014· 广东执信中学期中)已知两点 M(- → |· → |=MN →· →. 1,0)、N(1,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN |NP MP (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 A(t,4)是动点 P 的轨迹上的一点,K(m,0)是 x 轴上的一动 点,试讨论直线 AK 与圆 x2+(y-2)2=4 的位置关系. [解析] +1,y). → |· → |=MN →· →, ∵|MN |NP MP ∴2 ?x-1?2+y2=2(x+1),化简得 y2=4x. → =(2,0),NP → =(x-1,y),MP → = (x (1)设 P(x,y),则MN

所以动点 P 的轨迹方程为 y2=4x. (2)由 A(t,4)在轨迹 y2=4x 上,则 42=4t,解得 t=4,即 A(4,4). 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时直线 AK 与圆 x2+(y 4 -2)2=4 相离.当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 y= (x-m),即 4-m 4x+(m-4)y-4m=0. 圆 x2 + (y - 2)2 = 4 的 圆 心 (0,2) 到 直 线 AK 的 距 离 d = |2m+8| , 16+?m-4?2 令 d= 令 d= 令 d= |2m+8| <2,解得 m<1; 16+?m-4?2 |2m+8| =2,解得 m=1; 16+?m-4?2 |2m+8| >2,解得 m>1. 16+?m-4?2

综上所述,当 m<1 时,直线 AK 与圆 x2+(y-2)2=4 相交; 当 m=1 时,直线 AK 与圆 x2+(y-2)2=4 相切; 当 m>1 时,直线 AK 与圆 x2+(y-2)2=4 相离. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 山东省博兴二中质检)在平面直 角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. [解析] (1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交 点为(3+2 2,0),(3-2 2,0). 故可设圆 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1.

则圆 C 的半径为 3. ∴圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2) 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 其 坐 标 满 足 方 程 组 :
?x-y+a=0, ? ? 2 2 ? ??x-3? +?y-1? =9.

消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式 Δ=56-16a-4a2>0. a2-2a+1 从而 x1+x2=4-a,x1x2= .① 2 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0, 又 y1=x1+a,y2=x2+a, 所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.② 由①②得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1. (理)(2014· 北京西城区期末)已知 A,B 是抛物线 W:y=x2 上的两 个点,点 A 的坐标为(1,1),直线 AB 的斜率为 k,O 为坐标原点. (1)若抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,求 k 的取值范围; (2)设 C 为 W 上一点,且 AB⊥AC,过 B,C 两点分别作 W 的切 线,记两切线的交点为 D,求|OD|的最小值. 1 [解析] (1)抛物线 y=x2 的焦点为(0,4). 由题意得直线 AB 的方程为 y-1=k(x-1), 令 x=0,得 y=1-k,即直线 AB 与 y 轴相交于点(0,1-k). 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方, 1 3 所以 1-k>4,解得 k<4.
2 (2)由题意,设 B(x1,x2 1),C(x2,x2),D(x3,y3),

? ?y-1=k?x-1?, 联立方程? 消去 y 得 x2-kx+k-1=0,由韦达 2 ?y=x , ?

定理得 1+x1=k,所以 x1=k-1. 1 1 同理,得 AC 的方程为 y-1=-k (x-1),x2=-k -1. 对函数 y=x2 求导,得 y′=2x, 所以抛物线 y=x2 在点 B 处的切线斜率为 2x1, 所以切线 BD 的方
2 程为 y-x2 1=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x1.

同理,抛物线 y=x2 在点 C 处的切线 CD 的方程为 y=2x2x-x2 2.
2 ? ?y=2x1x-x1, x1+x2 1 1 联立两条切线的方程? 解得 x = = ( k - 3 2 2 2 k- ? ?y=2x2x-x2,

1 2),y3=x1x2=k-k, 1 1 1 所以点 D 的坐标为(2(k-k-2),k-k). 因此点 D 在定直线 2x+y+2=0 上. 因为点 O 到直线 2x+y+2=0 的距离 d= |2×0+0+2| 2 5 = 5 , 所 22+12

2 5 4 2 1 以|OD|≥ 5 ,当且仅当点 D(-5,-5)时等号成立.由 y3=k -k=- 2 1± 26 1± 26 ,得 k = ,验证知符合题意.所以当 k = 5 5 5 时,|OD|有最 2 5 小值 5 . 19. (本小题满分 12 分)(文)(2014· 韶关市曲江一中月考)设椭圆 C: x2 y2 3 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求椭圆 C 的方程;

4 (2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被 C 所截线段的中点坐标. 16 [解析] (1)将点(0,4)代入椭圆 C 的方程,得 b2 =1,∴b=4, a2-b2 9 c 3 16 9 又 e=a=5,则 a2 =25,∴1- a2 =25,∴a=5, x2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为25+16=1. 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y=5(x-3), 设直线与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程 y=
2 4 x2 ?x-3? 2 5(x-3)代入椭圆方程得25+ 25 =1,即 x -3x-8=0,由韦达定

x1+x2 3 43 理得 x1+x2=3, 所以线段 AB 中点的横坐标为 2 =2, 纵坐标为5(2 6 3 6 -3)=-5,即所截线段的中点坐标为(2,-5). (理)(2014· 康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考) 1 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为2. (1)求椭圆 C 的方程; →= (2)设直线 l 经过点 M(0,1), 且与椭圆 C 交于 A, B 两点, 若AM → ,求直线 l 的方程. 2MB x2 y2 [解析] (1)设椭圆方程为a2+b2=1,(a>0,b>0), c 1 ∵c=1,a=2,∴a=2,b= 3, x2 y2 ∴所求椭圆方程为 4 + 3 =1. (2)由题意得直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y=kx+1,则由

?y=kx+1, ?x2 y2 ? 4 + 3 =1.

消去 y 得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且 Δ>0.

-8k x +x = , ? ? 3+4k 设 A(x ,y ),B(x ,y ),∴? -8 x · x = , ? ? 3+4k
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2

→ =2MB → 得 x =-2x , 由AM 1 2 -8k -x = , ? ? 3+4k ∴? -8 - 2 x = , ? ? 3+4k
2 2 2 2 2

8k 2 4 消去 x2 得( , 2) = 3+4k 3+4k2

1 1 解得 k2=4,∴k=± 2, 1 所以直线 l 的方程为 y=± 2x+1,即 x-2y+2=0 或 x+2y-2= 0. 20. (本小题满分 12 分)(文)(2014· 浙北名校联盟联考)已知椭圆 C: x2 y2 3 2+ 2=1(a>b>0)的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且经过点 P(1, ). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,问在椭圆 C 上是 否存在一点 M,使四边形 AMBF2 为平行四边形,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. b2 3 [解析] (1)∵c=1, a =2,a2=b2+c2, x2 y2 ∴a=2,b= 3,∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. (2)假设存在符合条件的点 M(x0,y0),

设直线 l 的方程为 x=my-1,
? ?x=my-1, 由? 2 消去 x 得:(3m2+4)y2-6my-9=0, 2 ?3x +4y =12, ?

由条件知 Δ>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= ∴AB 的中点为(-
2

6m , 3m2+4

4 3m , 2 ), 3m +4 3m +4

∵四边形 AMBF2 为平行四边形, ∴AB 的中点与 MF2 的中点重合, 1 4 =- , ?x + 2 3m +4 即? y 3m = ? 2 3m +4.
0 2 0 2

3m2+12 6m ∴M(- 2 , 2 ), 3m +4 3m +4

把点 M 的坐标代入椭圆 C 的方程得: 27m4-24m2-80=0, 解得 20 m2= 9 , 3 5 ∴存在符合条件的直线 l,其方程为:y=± 10 (x+1). (理)(2014· 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中 x2 y2 2 学一模)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 e= 2 ,以原点为 圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ 2=0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; 2 (2)过右焦点 F 作斜率为- 2 的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点, → +ON → +OH → =0,又点 H 关于原点 O 的对称点为点 G,试问 M、 且OM G、N、H 四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,

请说明理由. [解析] (1)由题意可得圆的方程为 x2+y2=b2, ∵直线 x-y+ 2=0 与圆相切,∴d= 2 =b,即 b=1, 2

c 2 又 e=a= 2 ,及 a2=b2+c2,得 a= 2, x2 2 所以椭圆方程为 2 +y =1. 2 (2)∵直线 l 过点 F(1,0),且斜率为 k=- 2 , 2 ∴l 的方程为 y=- 2 (x-1).

? 联立方程组? 2 y =- ? 2 ?x-1?,
设 M(x1,y1)、N(x2,y2),可得

x2 2 2 +y =1,

消去 y 得 2x2-2x-1=0.

?x1+x2=1, ? 1 x 1x2=- , ? 2

?x1+x2=1, 于是? 2 y 1+y2= ? 2.

→ +ON → +OH → =0,得OH → =(-x -x ,-y -y ), 又OM 1 2 1 2 2 即 H(-1,- 2 ), 2 而点 G 与点 H 关于原点对称,于是可得点 G(1, 2 ). 2 ∴kGH= 2 . 2 若线段 MN、GH 的中垂线分别为 l1 和 l2,则有 l1:y- 4 = 2(x

1 -2),l2:y=- 2x.

?y- 2= 2?x-1?, 4 2 联立方程组? ?y=- 2x.
2 - 8 ). 因此,可求得|O1H|= |O1M|=

1 解得 l1 和 l2 的交点为 O1(8,

9 3 2 3 11 ?8?2+? 8 ?2= 8 ,

1 2 3 11 ?x1-8?2+?y1+ 8 ?2= 8 .

1 2 所以 M、G、N、H 四点共圆,且圆心坐标为 O1(8,- 8 ),半径 3 11 为 8 . 21.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 绵阳市南山中学检测)已知椭圆 x2 y2 6 3 C:a2+b2=1(a>b>0)经过(1,1)与( 2 , 2 )两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上一点 M 1 1 2 满足|MA|=|MB|.求证:|OA|2+|OB|2+|OM|2为定值.

[解析]

6 3 (1)将(1,1)与( 2 , 2 )两点坐标代入椭圆 C 的方程得,

1 1 ? ?a2+b2=1, ?3 3 ? ?2a2+4b2=1,

?a =3, 解得? 2 3 ?b =2.

2

x2 2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为 3 + 3 =1. (2)由|MA|=|MB|知 M 在线段 AB 的垂直平分线上, 由椭圆的对称 性知 A、B 关于原点对称. ①若点 A、 B 是椭圆的短轴顶点, 则点 M 是椭圆的一个长轴顶点, 此时 1 1 2 1 1 2 1 1 2+ 2+ 2= 2+ 2+ 2=2( 2+ 2)=2. |OA| |OB| |OM| b b a a b 同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 是椭圆的一个短轴 顶点,此时 1 1 2 1 1 2 1 1 2+ 2+ 2= 2+ 2+ 2=2( 2+ 2)=2. |OA| |OB| |OM| a a b a b ②若点 A、 B、 M 不是椭圆的顶点, 设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0), 1 则直线 OM 的方程为 y=-kx,设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y=kx, 由?x2 2y2 ? 3 + 3 =1,
∴|OA| =|OB|
2 2 2

解得

2 x1 =

3 3 k2 2 ,y = , 1+2k2 1 1+2k2

3?1+k2? 2 2 =x1+y1= 2 , 1+2k

3?1+k2? 同理|OM| = , 2+k2 1+2k2 2?2+k2? 1 1 2 1 所以|OA|2+|OB|2 +|OM|2 =2× 2 + 2 = 2 ,故 |OA|2 + 3?1+k ? 3?1+k ? 1 2 2+ |OB| |OM|2=2 为定值.

y2 x2 (理)(2014· 浙江台州中学期中)已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: a2+b2 3 =1 经过点 A(1,0),且离心率为 2 . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)过抛物线 C2:y=x2+h(h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两 点 M、N,记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G、H,当 GH 与 y 轴平行 时,求 h 的最小值.

[解析]

?b =1, ? 3 (1)由题意可得?c = a 2, ? ?a =b +c .
2 2 2 2 2

1

解得 a=2,b=1,

y2 所以椭圆 C1 的方程为 x + 4 =1. (2)设 P(t,t2+h),由 y′=2x 知,抛物线 C2 在点 P 处的切线的 斜率为 k=y′|x=t=2t, 所以 MN 的方程为 y=2tx-t2+h, 代入椭圆方 程得 4x2+(2tx-t2+h)2-4=0, 化简得 4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0, 又 MN 与椭圆 C1 有两个交点, ∴Δ=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0,① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 中点 G 的横坐标为 x0,则 x1+x2 t?t2-h? x0= 2 = , 2?1+t2? 1+t 设线段 PA 的中点 H 横坐标为 x3= 2 , t?t2-h? 1+t ∵GH 与 y 轴平行,∴x0=x3,即 = 2 ,② 2?1+t2?

1 显然 t≠0,∴h=-(t+ t +1),③ 1 当 t>0 时,t+ t ≥2,当且仅当 t=1 时取得等号,此时 h≤-3 不 符合①式,故舍去; 1 当 t<0 时,(-t)+(- t )≥2,当且仅当 t=-1 时取得等号,此时 h≥1,满足①式. 综上,h 的最小值为 1. 22.(本小题满分 14 分)(文)(2014· 长沙市重点中学月考)已知椭圆 x2 y2 3 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交 于 A、B 两点,当直线 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到直线 l 的距离 2 为2. (1)求椭圆 C 的方程; → =OA → (2)C 上是否存在点 P, 使得当 l 绕 F 转到某一位置时, 有OP → 成立?若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在, +OB 说明理由. [解析] (1)设 F(c,0),当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x-y-c=0, |0-0-c| c ∴O 到 l 的距离为 = , 2 2 由已知得, c 2 = 2 ,∴c=1. 2

c 3 由 e=a= 3 ,得 a= 3,∴b= a2-c2= 2. x2 y2 ∴所求椭圆 C 的方程为 3 + 2 =1.

→ =OA → (2)假设 C 上存在点 P, 使得当 l 绕 F 转到某一位置时, 有OP → 成立, +OB 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 P(x1+x2,y1+y2), x2 y2 由(1),知 C 的方程为 3 + 2 =1. 由题意知,l 的斜率一定不为 0,故不妨设 l:x=ty+1.

?x=ty+1, 由?x2 y2 ? 3 + 2 =1.

消去 x 并化简整理得,(2t2+3)y2+4ty-4=0. 4t , 2t +3
2

由韦达定理,得 y1+y2=-

∴x1+x2=ty1+1+ty2+1=t(y1+y2)+2 4t2 6 =- 2 +2= 2 , 2t +3 2t +3 6 4t ∴P( 2 ,- 2 ). 2 t +3 2t +3 6 4t 2 ? 2 ?2 ?- 2 ? 2 t +3 2t +3 ∵点 P 在 C 上,∴ + =1, 3 2 1 化简整理得,4t4+4t2-3=0,即(2t2+3)(2t2-1)=0,解得 t2=2. 2 3 2 当 t= 2 时,P(2,- 2 ),l 的方程为 2x-y- 2=0; 2 3 2 当 t=- 2 时,P(2, 2 ),l 的方程为 2x+y- 2=0. 3 2 → =OA → +OB → 成立,此时 l 的方程 故 C 上存在点 P(2,± 2 ),使OP 为 2x± y- 2=0. x2 y2 (理)(2014· 西安市长安中学期中)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)

1 y2 2 的离心率为2,椭圆的短轴端点与双曲线 2 -x =1 的焦点重合,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; →· → 的取值范围. (2)求OA OB c 1 [解析] (1)由条件知 e=a=2,b= 3, x2 y2 ∴a =4,b =3,故椭圆的方程为 4 + 3 =1.
2 2

(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4),

?y=k?x-4?, 由?x2 y2 ? 4 + 3 =1,

消去 y 得:(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,

1 由 Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0 得:k2<4, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 64k2-12 32k2 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 4 k +3 4k +3 ∴y1y2=k(x1-4)k(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,
2 2 2 64k -12 2 32k → → ∴ OA · OB = x1x2+ y1y2= (1 + k )· 2 - 4k · 2 + 16k2= 25 4k +3 4k +3



87 , 4k2+3 1 87 87 87 ∵0≤k2<4,∴- 3 ≤- 2 <- 4 , 4k +3 →· → <13,∴OA →· → 的取值范围是[-4,13). ∴-4≤OA OB OB 4 4


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