湖南省湘阴县第一中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题

湘阴一中 2015 年下学期高一年级期中考试 数 学 试 卷
时 量：120 分钟 满 分：120 分

一 、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题的 4 个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? B ? ?2,3, 4? ,则 (CU A) ? B ? （ A． ?3, 4? B. ） D. ?1, 2,3, 4?

?3, 4,5?
）

C.

?2,3, 4,5?

2.函数 y ? log3 (3 ? x) 的定义域为（ A. (??,3] B. (??,3)

C. (3,??)

D. [3,??) ） D． y ? lg | x |

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ A． y ?

1 x

B． y ? ? x ? 1
2

C. y ? e

?x

4. 将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是 （ A． 4? ） B． 3? C． ? D． 2? ）

? 5. 已知幂函数 f ( x) ? x 的图象过点 (2, ) ，则函数 f ( x ) 的值域为（

1 2

A． (??, 0)

B． (0, ??)

C． (??,0) ? (0, ??) ）

D． (??, ??)

6. 右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是（

正视图

侧视图

A
0.4

B
3

C

D ） C． c ? b ? a ） D.(2,3)
俯视图 (第 6 题)

7. 已知 a ? 3 ， b ? 0.4 ， c ? log0.4 3 ，则（ A． b ? a ? c
x

B． c ? a ? b

D． a ? c ? b

8. 函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的区间为（ A.(－1,0) B.(1,2) C.(0,1)

2 9.已知函数 y ? f ( x) 在 R 上为奇函数，且当 x ? 0 时， f ( x) ? x ? 2x ，

-1-

则 f (?3) ? （ A．-3 10. 函数

） B．3 C．15 ） D．-1 5

f ( x) ? lg( x 2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间为（
B． （2，+∞） C． （－∞， ）

A． （－∞，1）

3 ） 2

D． （

3 ，+∞） 2

11. 函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是（

A

B

C

D

12. 已知偶函数 f ? x ? 在区间 ?0, ??? 单调递减，则满足 f ? ln x? ? f ? 1? 的 x 取值范围是 （ A. ? ）

?1 ? ,1? ?e ?

B. ? 0, ? ?

?

1? ? e?

?1, ?? ?

C. ?

?1 ?e

,e ?
?

?

D. (0,1) ? (e, ??)

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．将答案填在题中横线上.
x 13 ．已知函数 y ? f ( x) 是 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的反函数，且函数 y ? f ( x) 的图象过点

(9, 2) ，则 a ?

. .

14.已知正方体的棱长为 1，则正方体的外接球的体积为
2

15.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在 (0, 2) 上有两个零点，则实数 a 的取值范围 为 .

?4 log 2 x , 0 ? x ? 2 ? 16.已知函数 f ( x) ? ? 1 ，若存在实数a, b, c, d 满足 2 ? x ? 5x ? 12, x ? 2 ?2
f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ), 其中d ? c ? b ? a ? 0 ，则 abcd 的取值范围
是 ．

三、解答题：本大题共 6 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本题满分 8 分)
-2-

已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | x2 ?12x ? 20 ? 0} , C ? {x | x ? a} . （1）求 (?R A) ? B ； （2）若 A ? C ? A ,求 a 的取值范围.

18.(本题满分 8 分)

1 ? x2 已知函数 f ( x ) ? . x?2 ?2
(1)求函数 f ( x ) 的定义域； ( 2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性，并说明理由．

19.(本题满分 8 分) 若函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 在区间 [ 2, 8] 上的最大值与最小值之差为 2 ， 求 a 的值．

20.(本题满分 10 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆．当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出．当每辆车 的月租金每增加 50 元时， 未租出的车将会增加一辆． 租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元． (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

21.(本题满分 10 分)

已知函数 f ( x ) ? ?

?cx ? 1 ? ?2 ?
? x c2

(0 ? x ? c) (c ? x ? 1)

?1

,满足 f (c ) ?
2

9 ． 8

(1)求常数 c 的值；
-3-

(2)解不等式 f ( x) ?

2 ? 1． 8

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 9 (9 x ?1) ? kx( k ? R) 是偶函数． （1）求 k 的值； （2）若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ?
x

1 x ? b 没有交点，求 b 的取值范围 . 2

) ，若函数 f ( x)与h( x) 的图象有且只有一个公共点，求实 （3）设 h(x) ?log (9 a3? ? a
数 a 的取值范围．

4 3

湘阴一中 2015 年下学期高一年级期中考试数学 参考答案 一.选择题（48 分，每题 4 分） 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 C 6 D 7 C
3 ? 2

8 B

9 A

10 B

11 A

12 C

二.填空题（16 分，每题 4 分） 13. 15. ( ? 三.解答题 17.（8 分） 解： （1） Q A ? { x | 3 ? x ? 7} ， B ? { x | x ? 12 x ? 20 ? 0} ? { x | 2 ? x ? 10}
2

3

14.

5 , ?2) 2

16. （16,24）

∴ ?R A ? { x | x ? 3或x ? 7} ∴

(?R A) ? B ? { x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10}.

-4-

（2） Q A ? C ? A, ? A ? C

Q A ? { x | 3 ? x ? 7}, C ? { x | x ? a} ，

? a ? 7.
18. （8 分）
2 ? ?1- x ? 0 由? , 解得： ? 1 ? x ? 1, 且x ? 0 x ? 2 2 ? 0 解：(1) ? ?

?函数的定义域为? x ?1 ? x ? 1, 且x ? 0?
1 ? x2 x

(2)函数 f(x)是奇函数，理由如下： 由(1)知，函数 f(x)的定义域关于原点对称，且 f ( x) ?

且 f(－x)＝

1 ? ( ? x) 2 1 ? x2 ?? ? ? f ( x) ?x x

∴ 函数 f(x)为奇函数． 19.（8 分） 解：因为 0 ? a ? 1 ， 所以函数 f ( x) ? loga x 在区间 [ 2, 8] 上是减函数， 当 x ? 2 时有最大值 f (2) ? loga 2 ，当 x ? 8 时有最小值 f (8) ? loga 8 ． 由已知得 即 log a

loga 2 ? loga 8 ? 2 ．

1 1 ? 2 ，可得 a ? ． 4 2 1 故 a? 2
3 600－3 000 ＝12， 50

20. （10 分） 解：(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，未租出的车辆数为 所以这时租出了 100－12＝88 辆车． (2)设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为

f( x)＝ ?100－
?

?

1 x－3 000 ? x－3 000 2 ×50＝－ (x－4 050) ＋307 050． ? (x－150)－ 50 ? 50 50

所以，当 x＝4 050 时，f(x)最大，其最大值为 f(4 050)＝307 050． 当每辆车的月租金 定为 4 050 元时，月收益最大，其值为 307 050 元． 21. （10 分） 解：解：(1)因为 0 ? c ? 1 ，所以 c ? c ；
2

-5-

由 f (c ) ?
2

9 9 1 3 ，即 c ? 1 ? ， c ? ． 8 8 2

?1 1? ? ?? ? x ? ? ? 2 x ? 1， 2? ? ? (2)由(1)得 f ( x) ? ? ?? ? ?2?4 x ? 1， ? ≤ x ? 1? ? ?? ? ?
由 f ( x) ?

2 ? 1 得， 8
1 2 1 时，解得 ?x? ， 2 4 2

当0 ? x ? 当

1 1 5 ≤ x ? 1 时，解得 ≤ x ? ， 2 2 8

所以 f ( x) ?

? 2 5? 2 ? ? ? x ? ?． ? 1 的解集为 ? x 8? 8 ? 4 ? ?

22. （12 分） 解： （1）因为 y=f（x）为偶函数，所以? x∈R，f（﹣x）=f（x） ， ﹣x x 即 log9（9 +1）﹣kx=log9（9 +1）+kx 对于? x∈R 恒成立． 即 恒成立

即（2k+1）x=0 恒成立，而 x 不恒为零，所以 （2）由题意知方程
x

．
x

即方程 log9（9 +1）﹣x=b 无解．

令 g（x）=log9（9 +1）﹣x，则函数 y=g（x）的图象与直线 y=b 无交点． 因为 任取 x1、x2∈R，且 x1＜x2，则 于是 ，从而 ．

，即 g（x1）＞g（x2） ，

所以 g（x）在（﹣∞，+∞）是单调减函数． 因为 ，所以 ．

所以 b 的取值范围是 (??, 0] ． （3）由题意知方程 有且只有一个实数根．

-6-

令 3 =t＞0，则关于 t 的方程 有且只有一个正根． 若 a=1，则 ，不合，舍去；

x

（记为（*） ）

若 a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根． 由 或﹣3；但 ，不合，舍去；而 ；

方程（*）的两根异号?（a﹣1）?（﹣1）＜0，即﹣a+1＜0，解得：a＞1． 综上所述，实数 a 的取值范围{﹣3}∪（1，+∞） ．

-7-