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高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第六章 不等式、推理与证明 第五节 合情推理与演绎推理


第五节

合情推理与演绎推理

基础盘查一

合情推理

(一)循纲忆知
了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推 理,了解合情推理在数学发现中的作用.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论

一定 正确 ( × )

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情 推理 (√ )

(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比 对象较为合适 ( × )

(4)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是an= n(n∈N*) ( ×)

2.(人教 A 版教材例题改编)已知数列{an}的第 1 项 a1=1,且 an an+1= 1+an

1 n (n=1,2,3, ?), 归纳该数列的通项公式 an=____.

基础盘查二

演绎推理

(一)循纲忆知
1.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并 能运用它们进行一些简单推理;

2.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

(二)小题查验
判断正误
(1)演绎推理的结论一定是正确的 ( × )

(2)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理

( × )

(3)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是 9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的 (√ )

(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确 (× )

考点一

类比推理 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
(1)定义: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某

些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.
(2)特点: 类比推理是由特殊到特殊的推理.

[题组练透]
1.给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数 集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“a,c∈C,则 a -c=0?a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比 推出“a,b,c,d∈Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d ”; ③“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a -b>0?a>b”;

④“若 x∈R, 则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z∈C, 则 |z | <1?-1<z<1”. 其中类比结论正确的个数为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 ( )

解析:类比结论正确的有①②.

2.(2015· 贵州六校联考)在平面几何中:△ABC 的∠C 内角平分线 CE AC AE 分 AB 所成线段的比为BC=BE.把这个结论类比到空间:在三棱锥 ABCD 中(如图),DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E,则 AE S△ACD = EB S△BCD . 得到类比的结论是____________

AE S△ACD 解析:由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得EB= . S△BCD

[类题通法]

(1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为
①找出两类事物之间的相似性或一致性;
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明 确的命题(猜想).
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一 些定理、公式、结论等,可以类比到立体几何中,得到类似的结 论.

考点二

归纳推理 (常考常新型考点——多角探明)

[必备知识]
(1)定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事

物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般 结论的推理.
(2)特点: 是由部分到整体、由个别到一般的推理.

[多角探明]
归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空 题,难度稍大,属中高档题.归纳起来常见的命题角度有: (1)数的归纳;

(2)式的归纳; (3)形的归纳.

角度一:数的归纳

1.(2013· 陕西高考)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第n个等式可为________.

解析:观察规律可知,第n个式子为12-22+32-42+?+(-1)n+1n2 =(-1)
n+1n?n+1?

2

.
2 n+1 2

答案:1 -2 +3 -4 +?+(-1)

2

2

2

n =(-1)

n+1n?n+1?

2

角度二:式的归纳

x 2.(2014· 陕西高考)已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x) 1+x x f2 014(x)= 1+2 014x =f(fn(x)),n∈N+,则 f2 014(x)的表达式为__________________. x ? x ? 1+x x x ? ? 解析:由f1(x)= ?f2(x)=f ?1+x? = = ;又可得 x 1+x 1+2x ? ? 1+ 1+x
x 1+2x x x f3(x)=f(f2(x))= x =1+3x,故可猜想f2 014(x)=1+2 014x. 1+ 1+2x

角度三:形的归纳

3.下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此 n?n+1? 2 规律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是________ .

解析:由图知第 n 个图形的小正方形个数为 1+2+3+?+n. n?n+1? ∴总个数为 2 .

[类题通法] (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得

的结论超越了前提所包含的范围.

(2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验 或试验的基础之上的.
(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学 结论和科学的发现很有用.

考点三

演绎推理 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]

(1)模式:三段论

①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
(2)特点: 演绎推理是由一般到特殊的推理.

[典题例析]
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= 明:
? ?Sn? ? ? (1)数列 n ?是等比数列; ? ? ? ?

n+ 2 * S n(n∈N ).证 n

(2)Sn+1=4an.

n+2 证明:(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= n Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. Sn+1 Sn 故 =2· n, n+1
? Sn ? 故?n ?是以 ? ?

(小前提) (结论)

2 为公比,1 为首项的等比数列.

(大前提是等比数列的定义)

Sn+1 Sn-1 (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1 n-1 n-1 =4an(n≥2). 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1, ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an. (小前提) (小前提) (结论)

[类题通法]

演绎推理的推证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论, 应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提, 如果前提是显然的,则可以省略,本题中,等比数列的定义在解 题中是大前提,由于它是显然的,因此省略不写.
(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几 个三段论才能完成.

[演练冲关]

如图所示,D,E,F分别是BC,CA, AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA. 求证:ED=AF(要求注明每一步推理的 大前提、小前提和结论,并最终把推理 过程用简略的形式表示出来).

证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以DF∥EA.(结论)

(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA且DF∥EA,(小前提) 所以四边形AFDE为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提) ED和AF为平行四边形的对边,(小前提) 所以ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成: ∠BFD=∠A?DF∥EA? ? ??四边形AFDE是平行四边形?ED=AF. ? DE∥BA ?

“课后演练提能”见“课时跟踪检测(三十九)”
(单击进入电子文档)

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