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2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示


新课导入
复习: 平面向量的基本定理

? ?? ?? ? a ? ?1 e1 ? ?2 e2
其实质:同一平面内任一向量都可以表

示为两个不共线向量的线性组合.

教学目标
? 知识与能力: 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;

? 过程与方法: 学会将实际问题转化为数学问题, 并能够运用向量知识解决. ? 情感态度与价值观: 通过实际应用问题的教学,使学生 产生理论联系实际的价值取向和理论来 源于实践、服务于实践的认识观念.

教学重难点
? 重点: 向量的坐标表示. ? 难点: 坐标表示.

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

如图,光滑斜面上一个木块受到的重力 ?? ? ?? ? ? ? 为G ,下滑力为F ,木块对斜面的压力为 F , 1 2 这三个力的方向分别如何?

三者有何相互关系?

?? ? F 1 ? ? G

?? ? F2

?? ? F 1 ? ? G

?? ? F2

? ? 重力 G产生两个效果,一是木块受平行于 ?? ? 斜面的力的作用 F ,沿斜面下滑;一是木块产 1 ?? ? ? ? 生垂直于斜面的压力 F2.也就是说,重力G 的 ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? 效果等价于F 和F2 得合力效果,即 G = F + F . 1 1 2

在物理中,力是一个向量,力的合成就 是向量的加法运算.力也可以分解,任何一

个大小不为零的力,都可以分解成两个不同
方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向

量中来,就会形成一个新的数学理论.

?? 做把向量正交分解.如图,向量 i, j 是两个互相垂 ? ? 直的单位向量,向量 a 与 i 的夹角是30°, ? ?? ? 且 a ?4 ,以向量 i, j 为基底,向量 a如何表示?

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫

? a ? 2 3i ? 2j

B ? ? a j ? O i

P A

y

?? i, j 是分别与 如图, ?x轴、 ? y轴方向相同 的单位向量,若以 i, j为基底,则
? 对于该平面内的任一向量 a,

C
A

a

D

j o i

x
B

? i =(1,0) 有且只有一对实数x、y,可使 ? ? ? ? j =(0,1) a = xi + y j. ? ( 0, 0) 0 =

这样,平面内的任一向量 a 都可由x,y唯 一确定,我们把(x,y)叫做向量 a 的(直角)

坐标,记作

? a ? ( x, y)



其中,x叫做 a 在x轴上的坐标,y叫做 a 在y轴上的 坐标,①式叫做向量的坐标表示.

概念理解 1.以原点O为起点

y

? a
y

A

??? ? ? 作 OA ? a,点A的
位置由谁确定?

? j
O

? 由 a唯一确定.

? x i ? ? ? a = xi + yj
???? ? ? OA = xi + yj

x

y

? a
y

A

? j
O

? 2.点A的坐标与向量 a 的坐标的关系?
? 向量 a
两者相同
一一对应

? i

x

x

坐标(x ,y)

? ? ? ? ? ? ? j 表示向量 a 、 例1:如图,分别用基底 i , c 、, d b、 并求出它们的坐标.
A2

解:如图可知
? ????? ????? ? ? a = AA1 + AA2 = 2i + 3j ? ?a = (2, 3)
A

A1

同理

? ? ? b = -2i + 3j = (-2, 3); ? ? ? c = -2i - 3j = (-2, -3); ? ? ? d = 2i - 3j = (2, -3).

课堂小结
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对 应关系,它使得向量具有代数意义.将向量的 起点平移到坐标原点,则平移后向量的终点 坐标就是向量的坐标.

高考链接
1(2008辽宁)已知四边形ABCD的三个顶点 ??? ? ??? ? A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC ? 2 AD,则顶点D 的坐标为( A ) A.
7 ( 2, 2



1 ? B.(2, 2



C. (3,2)

D.( 1,3)

解析: 设D(x, y), ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC ? (4, 3), AD ? ( x, y ? 2),由BC ? 2 AD
7 得x=2,y= ,故选A 2

2(2009辽宁)平面向量a与b得夹角为 60°,a=(2,0), b ? 1, a ? 2b ? ( B ) A.

3

B. 2 3

C. 4

D.12

解析: 本题考查向量的求模运算和数量积运算。因 为a=(2,0), b ? 1, 所以 a ? 2, a ? b ? 2 ? 1? cos60? ? 1

故 a ? 2b ? a 2 ? 4 ? a ? b ? 4b 2 ? 2 3

课堂练习

? 1.若向量 a =(1,-2)的终点在原点,那么
这个向量的始点坐标是 (-1,2) .

? 2.若将向量a ? (21) , 围绕原点按逆时针方 ? ? π 向旋转 得到向量 b ,则 b 的坐标为 4
( ? 2 3 2 ? ).
? ? 2 ,2 ? ? ? ?

3.已知点A(8,2),点B(3,5) ,将 ??? ? 沿 x轴 向左平移5个单位得到向量 ???? ,则

AB

??? ? (-5, 3) CD ? ________.

CD

2? ? 4.已知A、B的坐标分别为 A(4,, 6) B ? ?3, ? , 3? ? ??? ? 与 AB 平行的向量的坐标可以是____________. ①②③ (填写正确的序号). ? 9? ? 14 ? ? 14 ? 7 , , 3 , 3 9) ① ? ;③ ? 3 ? ;④ (-7, ? ;② ? 2 ? ? ? ? ? ? 3 ?

5.如图,在直角坐标系中, 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). ???? ? ???? ? 设OA = i,OB = j ,填空:

y
7 4

D

? ? 1 1 (1) | ι |= _____,| j |= ______, ???? 5 | ΟΧ |= ______;
?? ???? ???? (2)若用 i, j 来表示 OC,OD ,则:

B

C

j ? o iA

x
3 5

?? ? ?? ? ???? ?? ? ?? ? ???? 5 i +7 j 3 i +4 j OC = ________,OD = _________.

?? ??? ? (3)向量 CD 能否由 i, j 表示出来?可以的话,

如何表示?

??? ? ?? ? ?? ? CD = 2 i + 3 j



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