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清北学堂 2013暑假物理竞赛vip特训课程第四次导学——近代物理导学


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2013 暑假物理 vip 特训班导学三

2013 暑假物理竞赛 vip 特训课程第四次导学—— 近代物理导学
自 1897 年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后,物理学的中心问题就是探 索原子内部的奥秘,经过众多科学家的努力,逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律 并建立了描述分子、原

子等微观系统运动规律的理论体系 ——量子力学。本章简单介绍 一些关于原子和原子核的基本知识。 § 1 .1 原子 1 . 1 . 1 、原子的核式结构 1897 年,汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子,由此认识到原子也应该 具有内部结构,而不是不可分的。1909 年,卢瑟福和他的同事以 α 粒子轰击重金属箔, 即 α 粒子的散射实验,发现绝大多数 α 粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进,但有少数 发生偏转,并且有极少数偏转角超过了 90 °,有的甚至被弹回,偏转几乎达到 180 °。 1911 年,卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说,这个学说的 内容是:在原子的中心有一个很小的核,叫原子核,原子的全部正电荷和几乎全部质量 都集中在原子核里,带负电的电子在核外的空间里软核旋转,根据 α 粒子散射的实验数 据可估计出原子核的大小应在 10-14nm 以下。 1 、 1 . 2 、氢原子的玻尔理论 1 、核式结论模型的局限性 通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的 , 但它与经典论发生了严重的分 歧。电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射,运动不停,辐射不止,原子 能量单调减少,轨道半径缩短,旋转频率加快。由此可得两点结论: ①电子最终将落入核内,这表明原子是一个不稳定的系统; ②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。 原子是一个不稳定的系统显然与事实 不符,实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。如此尖锐的矛盾,揭示着原 子的运动不服从经典理论所表述的规律。 为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性,玻尔于 1913 年以氢原子为 研究对象提出了他的原子理论,虽然这是一个过渡性的理论,但为建立近代量子理论迈 出了意义重大的一步。 2 、玻尔理论的内容: 一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中,在这些状态中原子是稳定的,电子 虽做加速运动,但并不向外辐射能量,这些状态叫定态。 二、原子从一种定态(设能量为 E 2 )跃迁到另一种定态(设能量为 E 1 )时,它辐

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射或吸收一定频率的光子,光子的能量由这种定态的能量差决定,即

h? =E -E 2 1

三、氢原子中电子轨道量子优化条件:氢原子中,电子运动轨道的圆半径 r 和运 动初速率 v 需满足下述关系:

rmv ? n

h 2? , n=1 、 2 ??

其中 m 为电子质量,h 为普朗克常量,这一条件表明,电子绕核的轨道半径是不 连续的,或者说轨道是量子化的,每一可取的轨道对应一个能级。 定态假设意味着原子是稳定的系统,跃迁假设解释了原子光谱的离散性,最后由 氢原子中电子轨道量子化条件,可导出氢原子能级和氢原子的光谱结构。

E?
氢原子的轨道能量即原子能量,为

1 2 e2 mv ? k 2 r

m
因圆运动而有 由此可得 根据轨道量子化条件可得:

v2 e2 ?k 2 r r

E ? ?k

e2 2r

v?n

h 2?mr , n=1 , 2 ??

r?k

因 得量子化轨道半径为:

e2 mv 2 ,便有

r?

ke2 4? 2 m 2 r 2 ? m n2h2

rn ?

n2h2 4? 2 kme 2 , n=1 , 2 ??

式中已将 r 改记为 r n 对应的量子化能量可表述为:

2? 2 mk 2 e 4 n 2 h 2 , n=1 , 2 ?? h2 r1 ? 4? 2 kme 2 n=1 对应基态,基态轨道半径为 En ? ?
r1 ? 5.29 ? 10 计算可得: r 1 也称为氢原子的玻尔半径
基态能量为 计算可得: 对激发态,有:
?11

m =0.529 A

?

2? 2 mk 2 e 4 E1 ? ? h2 E 1 = ? 13.6 eV 。

E1 n 2 , n=1 , 2 ? n 越大, r n 越大, E n 也越大,电子离核无穷远时,对应 E ? ? 0 ,因此氢原子的电 rn ? n 2 r1 , En ?
离能为:

E电离 ? E ? ? E1 ? ? E1 ? 13 .6eV

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电子从高能态 E n 跃迁到低能态 E m 辐射光子的能量为:

hv ? E n ? E m

v?

光子频率为 因此氢原子光谱中离散的谱线波长可表述为:

En ? Em E1 1 1 ? ( 2 ? 2) h h n m ,n?m

,n?m 试求氢原子中的电子从第 n 轨道迁跃到 n-1 第轨道时辐射的光波频率,进而证明 当 n 很大时这一频率近似等于电子在第 n 轨道上的转动频率。 辐射的光波频率即为辐射的光子频率 将 代入可得

??

c hc 1 ? ? ( 1 1 ) ?1 r E1 n2 ? m2

? ,应有

? ? ( E n ? En ?1 )

1 h

En ? ?

2? 2 mk 2 e 4 n2h2

? 1 1 ? 2? 2 k 2 me 4 2n ? 1 ?? ? ? ? 2 2 2? 3 n ? h n (n ? 1) 2 ? (n ? 1) 4? 2 k 2 me 4 ?? n3h3 当 n 很大时,这一频率近似为

??

2? 2 k 2 me 4 h3

电子在第 n 轨道上的转动频率为:



Un mvn ? rn ? 2?rn 2?m ? rn 2 h mvn rn ? n ? 2? fn ?
fn ? 4? 2 k 2 me 4 ?? n3h3

代入得 因此, n 很大时电子从 n 第轨道跃迁到第 n-1 轨道所辐射的光波频率,近似等于 电子在第 n 轨道上的转动频率,这与经典理论所得结要一致,据此,玻尔认为,经典 辐射是量子辐射在 n ? ? 时的极限情形。 1 、 1 . 3 、氢原子光谱规律 1 、巴耳末公式 研究原子的结构及其规律的一条重要途径就是对光谱的研究。 19 世纪末,许多 科学家对原子光谱已经做了大量的实验工作。第一个发现氢原子线光谱可组成线系的 是瑞士的中学教师巴耳末,他于 1885 年发现氢原子的线光谱在可见光部分的谱线, 可归纳为如下的经验公式

1 ? 1 ? R? 2 ? 2 ? n ?2 1
式中的

? 为波长,R 是一个常数,叫做里德伯恒量,实验测得 R 的值为 1.096776
、 、 四条谱线的波长符合得很好。

? ? ? , n=3 , 4 , 5 ,?

条光谱线的波长跟从实验测得的 、 氢光谱的这一系列谱线叫做巴耳末系。 2 、里德伯公式

?1 ? 10 7 m 。上面的公式叫做巴耳末公式。当 n=3 , 4 , 5 , 6 时,用该式计算出来的四 H? H ? H ? H ?

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1896 年,瑞典的里德伯把氢原子光谱的所有谱线的波长用一个普遍的经验公式 表示出来,即

? 1 1 ? ? R? ? ? n2 n2 ? ? ? 2 ? n=1 , 2 , 3 ? n2 ? n1 ?1 , n1 ?2 , n1 ?3 ? ? 1 上式称为里德伯公式。对每一个 n 1 ,上是可构成一个谱线系: 1
n 1 ? 1 , n2 ? 2 , 3 , 4 ? n 1 ? 2 , n2 ? 3 , 4 , 5 ? n 1 ? 3 , n2 ? 4 , 5 , 6 ? n 1 ? 4 , n2 ? 5 , 6 , 7 ? n 1 ? 5 , n2 ? 6 , 7 , 8 ?
莱曼系(紫外区) 巴耳末系(可见光区) 帕邢系(红外区) 布拉开系(远红外区)

普丰德系(远红外区) 以上是氢原子光谱的规律,通过进一步的研究,里德伯等人又证明在其他元素的 原子光谱中,光谱线也具有如氢原子光谱相类似的规律性。这种规律性为原子结构理 论的建立提供了条件。 1 、 1 . 4 、玻尔理论的局限性: 玻尔原子理论满意地解释了氢原子和类氢原子的光谱;从理论上算出了里德伯恒 量;但是也有一些缺陷。对于解释具有两个以上电子的比较复杂的原子光谱时却遇到 了困难,理论推导出来的结论与实验事实出入很大。此外,对谱线的强度、宽度也无 能为力;也不能说明原子是如何组成分子、构成液体个 固体的。玻尔理论还存在逻辑 上的缺点,他把微观粒子看成是遵守经典力学的质点,同时,又给予它们量子化的观 念,失败之处在于偶保留了过多的经典物理理论。到本世纪 20 年代,薛定谔等物理 学家在量子观念的基础上建立了量子力学。彻底摒弃了轨道概念,而代之以几率和电 子云概念。 例题 1 :设质子的半径为 10 m ,求质子的密度。如果在宇宙间有一个恒定的密 度等于质子的密度。如不从相对论考虑,假定它表面的“第一宇宙速度”达到光速, 试计算它的半径是多少。它表面上的“重力加速度”等于多少?( 1mol 气体的分子 数是 6 ? 10 个;光速 ? 3 ? 10 m / s ) ;万有引力常数 G 取为 6 ? 10 一位数做近似计算。
23 8 ?15

?11

Nm 2 / kg 2 。只取

H 2 的 摩 尔 质 量 为 2g/mol , 2 2 g? kg 23 6 ? 10 6 ? 10 26 2 kg 6 ? 10 26 ∴质子的质量近似为
解 : 质 子 的 密 度 ρ

H2 分 子 的 质 量 为

=

25 4 / ? 10 ?15 26 3 6 ? 10

?

?

3

=

1 1 ? ? 1019 kg / m 3 16 ? 45 24 4 ? 6 ? 10 ? 10

?

?

设该星体表面的第一宇宙速度为 v ,由万引力定律,得

mv 2 mM GM ?G v2 ? r r2 , r 4 M ? ?r 3 ? 3 而

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4 G ?r 3 ? v? 3 ? 4Gr 2 ? r ∴ v ? 2? Gp

r?

v 2 G?

?

3 ? 108 2 6 ? 10 ?11 ? 1 ? 1019 24

? 3 ? 10 4 ?m?

4 g ? GM / y 2 ? G ?y 3 ? / y 2 ? 4 yG? 3 由于“重力速度” 1 g ? 4 ? 3 ? 10 4 ? 6 ? 10 ?11 ? ? 1019 ? 3 ? 1012 m / s 2 24 ∴

?

?

【注】万有引力恒量一般取 G ? 6.67 ? 10
??

?11

N ? m / kg 2
?

例题 2 :与氢原子相似,可以假设氦的一价正离子( He )与锂的二价正离子( L )核外的那一个电子也是绕核作圆周运动。试估算
? ??

( 1 ) He 、 L 的第一轨道半径; ( 2 )电离能量、第一激发能量; ( 3 )赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。 解:在估算时,不考虑原子核的运动所产生的影响,原子核可视为不动,其带电 量用 +Ze 表示,可列出下面的方程组:

mv 2n Ze 2 ? rn 4?? 0 y n2
En ?


2



1 Ze mv n2 ? 2 4?? 0 rn , h mvn rn ? n ? 2? , n=1 , 2 , 3 ,? hv ? En 2 ? En1 ,

② ③ ④

1 r E 由此解得 n , n ,并可得出 ? 的表达式: ? h2n2 n2 rn ? 0 2 ? r1 ?me Z Z ,
其中



r1 ?

? 0h ? 0 ? 53 ? 10 ?10 2 ? ?me 米,为氢原子中电子的第度轨道半径,对于 He ,
2

Z=2 ,对于 Li

??

, Z=3 .

me 2 Z 2 Z2 En ? ? ? E1 2 2 2 n 8? 0 h 2 n





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E1 ? ?
其中

me 4 8? 0 h 2
2

??
13.6 电子伏特为氢原子的基态能.

1

?

?

? 1 ? 1 1 ? 1 ? Z 2? ? 2? ? Z 2 R? ? 2? 2 2 ? ? ? ? 8? 0 h c ? n1 n2 ? ? n1 n2 ? . n1 ? 1 , 2 , 3 ,? me 4
2 2



n2 ? n1 ? 1, n1 ? 2 , n1 ? 3 ,?
R 是里德伯常数。 ( 1 )由半径公式⑤,可得到类氢离子与氢原子的第一轨道半径之比:

rHe ? rH

?

, H . ( 2 )由能量公式⑥,可得到类氢离子与氢原子的电离能和第一激发能(即电子 从第一轨道激发到第二轨道所需的能量)之比:
1 0 ? E He ? 1 0 ? EH

ZH 1 ? ZH? 2

rLi ? ? r

?

ZH 1 ? Z Li ? ? 3

?

? E1 Z He? ? E1 Z H

?

电离能:
1 0 ? E Li ?? 1 0 ? EH

22 ?4 12



?

? E1 Z Li ? ? ? E1 Z H
E1

?

32 ?9 12

第一激发能:

E

E ?E

2 He? 2 H

?E

1 He? 1 H

22 22 ? E 1 2 22 1 ? ?3 ? 4 ? 2 3 1 12 ? E1 2 ? E1 2 4 2 1 ,

E Li ? ? ? E Li ? ?
2 1 2 1 EH ? EH

32 32 ? 27 ? E 1 2 2 2 1 ? 4 ?9 ? 2 1 12 3 E1 2 ? E1 2 ? 2 1 4 。 E1
2 1

(其中: E 表示电子处在第二轨道上的能量, E 表示电子处在第一轨道上的能 量) ( 3 )由光谱公式⑦,氢原子赖曼系第一条谱线的波长有:

?1 1? ? R? 2 ? 2 ? ?H ?1 2 ? 1
相应地,对类氢离子有:

1

? He
1

?

1? ?1 ? 22 R? 2 ? 2 ? 2 ? ?1 1? ?1 ? 32 R ? 2 ? 2 ? 2 ? ?1
??



? Li
?

??



因此 :

? He 1 ?li 1 ? ? ?H 4 , ?H 9。

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?

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?

例 3: 已知基态 He 的电离能为 E=54.4Ev , ( 1) 为使处于基态的 He 进人激发态, 入射光子所需的最小能量应为多少?( 2 ) He 从上述最底激发态跃迁返回基态时, 如考虑到该离子的反冲,则与不考虑反冲相比,它所发射的光子波长的百分变化有多 大?(离子 He 的能级 En 与 n 的关系和氢原子能级公式类中, 可采用合理的近似。 ) 分析 : 第( 1 )问应正确理解电离能概念。第( 2 )问中若考虑核的反冲,应用能 量守恒和动量守恒,即可求出波长变化。 解 :( 1 )电离能表示 He 的核外电子脱离氦核的束缚所需要的能量。而题问最小 能量对应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态,所以
? ? ?

1 ?1 E m in ? E ? ? 2 ? 2 2 ?1

? ? 1? ? ?1 ? ? ? ?? ? 54.4 ? 4 ? 40.8eV

( 2 )如果不考虑离子的反冲,由第一激发态迁回基态发阜的光子有关系式:

E m in ? hv0
现在考虑离子的反冲,光子的频率将不是 则由能量守恒得 又由动量守恒得

v0

1 Mv2 而是 v , 2 为反冲离子的动能,

E min ? hv ?

1 Mv 2 2 v Mv ? h ? c h? v c 是发射光子的动量的大小,于是,波长

式中 Mv 是反冲离子动量的大小,而 的相对变化

??

??

?

2 ? ? 由于 Mc ?? hv ?? h v ? v 0

? ? ?o v 0 ? v hv0 ? hv Mv 2 Mvc hv ? ? ? ? 2 ?o v hv 2Mc 2 = 2Mvc 2Mc
hv0 h(v ? v0 ) hv ? 2 2Mc 2Mc 2 2Mc 2

??
所以

?
??

?

0

代入数据 o 即百分变化为 0.00000054%

?

?

40.8 ? 1.60 ? 10 ?19 ? 5.4 ? 10 ?9 ? 27 8 2 2 ? 4 ? 1.67 ? 10 ? ?3 ? 10 ?

§1、 2

原子核

原子核所带电荷为 +Ze , Z 是整数,叫做原子序数。原子核是由质子和中子组成, 两者均称为核子,核子数记为 A ,质子数记为 Z ,中子数便为 A-Z 。原子的元素符号记 为 X ,原子核可表述为 同位素。
A Z

X ,元素的化学性质由质子数 Z 决定, Z 相同 N 不同的称为

1 在原子物理中,常采用原子质量单位,一个中性碳原子质量的 12 记作 1 个原子

清北学堂-人生需要规划 高中更应如此 单 位 , 即 lu= 1.660566 ? 1
?27

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mn ? 1.008665 u。

电子质量: 1 . 2 . 1 、结合能
A Z

kg 。 质 子 质 量 : m ? ? 1.007226 u。中 子 质 量 : me ? 0.000549 u。

除氢核外,原子核

X 中 Z 个质子与( A-Z )个中子静质量之和都大于原子核的
?M ? Zm ? ? ? A ? Z ?mn ? M x

静质量 M X ,其间之差:

?

?

称为原子核的质量亏损。式中、分别为质子、中子的静质量。造成质量亏损的原 因是核子相互吸引结合成原子核时具有负的能量,这类似于电子与原子核相互吸引力 结合成原子时具有负的能量(例如氢原子处于基态时电子轨道能量为 -13.6eV ) 。据相 对论质能关系,负能量对应质量亏损。质量亏损折合成的能量:

?E ? ?Mc 2
称为原子核的结合能,注意结合能取正值。结合能可理解成为了使原子核分裂成

?E 各个质子和中子所需要的外加你量。 A 称为核子的平均结合能。
1 . 2 . 2 、天然放射现象 天然放射性元素的原子核,能自发地放出射线的现象,叫天然放射现象。这一发 现揭示了原子核结构的复杂性。天然放射现象中有三种射线,它们是:

4
α 射线:速度约为光速的 1/10 的氦核流( 2

He
) ,其电离本领很大。

e ? 1 β 射线:速度约为光速的十分之几的电子流( ) ,其电离本领较弱,贯穿本
领较弱。 γ 射线: 波长极短的电磁波, 是伴随着 α 射线、 β 射线射出的, 其电离本领很小, 贯穿本领最强。 1 . 2 . 3 、原子核的衰变 放射性元素的原子核放出某种粒子后,变成另一种新核的现象,叫做原子核的衰 变,衰变过程遵循电荷守恒定律和质量守恒定律。用 X 表示某种放射性元素, z 表示 它的核电荷数, m 表示它的质量数, Y 表示产生的新元素,中衰变规律为: α 衰变:通式 例如 β 衰变:通式 例如

0

m m?4 4 X ? Y ? He z z?2 2 238 92 U? 234 4 Th ? He 90 2

m m 0 X ? Y? e z z ?1 ?1 234 234 0 Th ? Pa ? e 90 91 ?1 m m X ? X ?? z z ( γ 射线伴随着 α 射线、 β 射线同时放出的。

γ 衰变:通式 原子核放出 γ 射线,要引起核的能量发生变化,而电荷数和质量数都不改变) 1 . 2 . 4 、衰变定律和半衰期 研究发现,任何放射性物质在单独存在时,都遵守指数衰减规律

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2013 暑假物理 vip 特训班导学三 ①

N (t ) ? N?e ? ?t
N

这叫衰变定律。式中 0 是 t=0 时的原子核数目,N( t )是经时间 t 后还没有衰变 的原子核的数目, λ 叫衰变常数,对于不同的核素衰变常数 λ 不同。由上式可得:

??

? dN / dt N ② 式中 ? dN 代表在 dt 时间内发生的衰变原子核数目。分母 N 代表 t 时刻的原子核

总数目。λ 表示一个原子核在单位时间内发生衰变的概率。不同的放射性元素具有不 同的衰变常数,它是一个反映衰变快慢的物理量, λ 越大,衰变越快。 半衰期表示放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间。用 T 表示,由衰变 定律可推得:

T?

ln 2

③ 半衰期 T 也是反映衰变快慢的物理量;它是由原子核的内部因素决定的,而跟原 子所处的物理状态或化学状态无关;半衰期是对大量原子核衰变的统计规律,不表示 某个原子核经过多长时间发生的衰变。由①、③式则可导出衰变定律的另一种形式, 即

?

? 1 ?T N ? N0 ? ? ? 2 ? ( T 为半衰期, t 表示衰变的时间, N 0 表示衰变前原子核的总量,
N 表示 t 后未衰变的原子核数)

t

? 1 ?T M ? M? ? ? ? 2 ? ( M ? 为衰变前放射性物质的质量,M 为衰变时间 t 后剩余的质 或
量) 。 1 、 2 、 5 、原子核的组成 用人工的方法使原子核发生变化,是研究原子核结构及变化规律的有力武器。确 定原子核的组成有赖于质子和中子的发现。 1919 年,卢瑟福用 α 粒子轰击氮原子核而发现了质子,这个变化的核反应方程:

t

14 4 17 1 N ? He ? O ? H 7 2 8 1
1932 年,查德威克用 α 粒子轰击铍原子核而发现了中子,这个变化的核反应方程 是:

9 4 12 1 Be ? He ? C ? n 4 2 6 0
通过以上实验事实,从而确定了原子核是由质子和中子组成的,质子和中子统称 为核子。某种元素一个原子的原子核中质子与中子的数 量关系为: 质子数 = 核电荷数 = 原子序数 中子数 = 核质量数 - 质子数 具有相同质子数不同中子数的原子互称为同位素,利用放射性同位素可作“示踪 原子” ,用其射线可杀菌、探伤、消除静电等。 1 、 2 、 6 、核能 ①核能 原子核的半径很小,其中质子间的库仑力是很大的。然而通常的原子核却是很稳 定的。这说明原子核里的核子之间一定存在着另一种和库仑力相抗衡的吸引力,这种

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力叫核力。 从实验知道,核力是一种强相互作用,强度约为库仑力的确 100 倍。核力的作用 距离很短,只在 2.0 ? 10
?15

m 的短距离内起作用。超过这个距离,核力就迅速减小到
?15

零。质子和中子的半径大约是 0.8 ? 10 m ,因此每个核子只跟它相邻的核子间才有 核力的作用。核力与电荷无关。质子和质子,质子和中子,中子和中子之间的作用是 一样的。当两核子之间的距离为 0.8 ~ 2.0 fm 时,核力表现为吸力,在小于 0.8 fm 时 为斥力,在大于 10 fm 时核力完全消失。 ②质能方程 爱因斯坦从相对论得出物体的能量跟它的质量存在正比关系,即

E ? mc 2
这个方程叫做爱因斯坦质能方程,式中 c 是真空中的光速, m 是物体的质量, E 是物体的能量。如果物体的能量增加了 △ E ,物体的质量也相应地增加了 △ m ,反过来 也一样。 △ E 和 △ m 之间的关系符合爱因斯坦的质能方程。

?E ? ?m ? c 2
③质量亏损 原子核由核子所组成,当质子和中子组合成原子核时,原子核的质量比组成核的 核子的总质量小,其差值称为质量亏损。用 m 表示由 Z 个质子、 Y 个中子组成的原子

m 核的质量,用 m P 和 n 分别表示质子和中子的质量,则质量亏损为: ?m ? Zm P ? Ym n ? m
④原子核的结合能和平均结合能 由于核力将核子聚集在一起,所以要把一个核分解成单个的核子时必须反对核力 做功,为此所需的能量叫做原子核的结合能。它也是单个核子结合成一个核时所能释 放的能量。根据质能关系式,结合能的大小为:

?E ? ?m ? c 2
原子核中平均每个核子的结合能称为平均结合能,用 N 表示核子数,则:

?E 平均结合能 = N
平均结合能越大,原子核就越难拆开,平均结合能的大小反映了核的稳定程度。 从平均结合能曲线可以看出,质量数较小的轻核和质量数级大的重核,平均结合能都 比较小。中等质量数的原子核,平均结合能大。质量数为 50~60 的原子核,平均结合 能量大,约为 8.6 MeV 。 1 . 2 . 7 、核反应 原子核之间或原子核与其他粒子之间通过碰撞可产生新的原子核,这种反应属于 原子核反应,原子核反应可用方程式表示,例如

14 4 17 1 N ? He ? O ? H 7 2 8 1 4 14 17 1 H He N O 即为氦核( α 粒子) 2 轰击氮核 7 后产生氧同位素 8 和氢核 1 的核反
应,核反应可分为如下几类 ( 1 )弹性散射:这种过程,出射粒子就是入射粒子,同时在碰撞过程中动能保 持不变,例如将中子与许多原子核碰撞会发生弹性散射。 ( 2 )非弹性散射:这种过程中出射粒子也是原来的入射粒子,但在碰撞过程中 粒子动能有了变化,即粒子和靶原子核发生能量转移现象。例如能量较高的中子轰击 原子核使核激发的过程。

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( 3 )产生新粒子:这时碰撞的结果不仅能量有变化,而且出射粒子与入射粒子 不相同, 对能量较大的入射粒子, 核反应后可能出现两个以上的出射粒子, 如合成 101 号新元素的过程。

253 4 256 1 Es ? He ? Md ? n 99 2 101 0
( 4 )裂变和聚变:在碰撞过程中,使原子核分裂成两个以上的元素原子核,称 为裂变,如铀核裂变

253 1 139 95 1 U? n? Xe ? S ? 2 n 92 0 54 88 r 0
裂变过程中,质量亏损 0.2u ,产生巨大能量,这就是原子弹中的核反应。 引起原子核聚合的反应称为聚变反应,如

2 1 3 95 H ? H ? He ? S ? ? 1 1 2 88 r
氢弹就是利用氘、氘化锂等物质产生聚变后释放出巨大能量发生爆炸的。 核反应中电荷守恒,即反应生成物电荷的代数和等于反应物电荷的代数和。核反 应中质量守恒,即反应生成物总质量等于反应物总质量。这里的质量指相对论质量, 相对论质量 m 与相对论能量 E 之间的关系是

E ? mc 2
因此质量守恒也意味着能量守恒。核反应中质量常采用原子质量单位,记为 u.lu 相当于 931.5MeV 。 核反应中相对论质量守恒,但静质量可以不守恒。一般来说,反应生成物总的静 质量少于反应物总的静质量,或者说反应物总的静质量有亏损。亏损的静质量记为△ m ,反应后它将以能量形式释放出来,称之为反应能,记为△ E ,有

?E ? ?mc 2
需要注意的是反应物若有动能,其相对论质量可大于静质量,但在算反应能时只 计静质量。反应能可以以光子形式向外辐射,也可以部分转化为生成物的动能,但生 成物的动能中还可以包含反应物原有的动能。 下面讨论原子核反应能的问题: 在所有原子核反应中,下列物理量在反应前后是守恒的:①电荷;②核子数;③ 动量;④总质量和联系的总能量等(包括静止质量和联系的静止 能量) ,这是原子核 反应的守恒定律。下面就质量和能量守恒问题进行分析。 设有原子核 A 被 p 粒子撞击,变为 B 和 q 。其核反应方程如下:

A+p → B+q
上列各核和各粒子的静质量 M 和动能 E 为 反应前

M a Ea M p E p M b Eb M q E q

反应后 根据总质量守恒和总能量守恒可得

Ma ?

Ep Eq Ea Eb ? M p ? 2 ? Mb ? 2 ? Mq ? 2 2 c c c c

由此可得反应过程中释放的能量 Q 为: Q ? Eb ? Eq ? Ea ? Ep ? M a ? M p ? Mb ? M q c2

?

??

? ??

??

??
2

此式表示, 反应能 Q 定义为反应后粒子的动能超 出反应前粒子的动能的差值。 这也等于反应前粒子静 质量超过反应后粒子的静质量的差值乘以 c 。所以 Pp

Pq

?A
Pb

Pp

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反应能 Q 可以通过粒子动能的测量求出,也可以由已知的粒子的静质量来计算求出 。 下面来讨论怎样由动能来求出 Q 。设 A 原子核是静止的。由能量守恒可得

Q ? Eb ? E q ? E p
根据反应前后动量守恒得

PP ? Pb ? Pq
式中 PP 为反应前撞击粒子的动量, 改为标量
2 2 2 P b ?P p ?P q ? 2P pP q cos ?

Pb



Pq

是反应后新生二粒子的动量。上式可

由于 p ? 2 ME ,上式可改为
2

M b Eb ? M p E p ? M q Eq ? 2 M p M q E p Eq cos ?
从上式求出

Eb

,代入

Q ? Eb ? E q ? E p

中得

M p M q E p Eq ? Mq ? ? Mq ? Q ? Eq ? cos ? ?1 ? M ? ? ? Ep? ?1 ? M ? ??2 Ab b ? b ? ? ?
从上式中的质量改为质量数之比可得:

如果 例1

Ep

事先测知,再测出

A p Aq E p E q Aq ? Aq ? ? ? ? ? ? Q ? Eq ? 1 ? ? E 1 ? ? 2 cos ? p ? ? Ab ? Ab ? Ab ? ? ? ? Eq
和 β ,即可算得 Q 。
12

已知某放射源在 t=0 时,包含 10 个原子,此种原子的半衰期为 30 天.
8

( 1 )计算 t1 ? 1s 时,已发生衰变的原子数; ( 2 )确定这种原子只剩下 10 个的时刻 t 2 。 解 : 衰变系数 λ 与半衰期 T 的关系为

??

ln 2 0.693 ? T T

衰变规律可表述为:
0.693 ?t T

N ? N? e

??t

? N? e

?

0.693 ?t T



( 1 ) t1 时刻未衰变的原子数为:

N1 ? N ? e

?

已发生衰变的原子数便为:
0.693 ? ?t ? ? T ? ?N ? N ? ? N ? N ? ? 1 ? e ? ? ? ? 0.693 ? ? ? 30?24?3600 ? ? 1012 ? ? 1 ? e ? ? ? ? 5 ? 2.67 ? 10 ( 2 ) t 2 时刻未发生衰变的原子数为:

N 2 ? N? e

?

0.693 ?t T

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t2 ?
由此可解得: =399 天 例 2

0.693 N? 30 1012 ln ? ln 8 T N 2 0.639 10
12

在大气和有生命的植物中,大约每 10 个碳原子中有一个 C14 原子,其半

衰期为 t=5700 年,其余的均为稳定的 C12 原子。在考古工作中,常常通过测定古物中

C14 的含量来推算这一古物年代。如果在实验中测出:有一古木碳样品,在 m 克的碳 原子中,在 △ t (年)时间内有 △ n 个 C14 原子发生衰变。设烧成木炭的树是在 T 年前
死亡的,试列出能求出 T 的有关方程式(不要求解方程) 。 解: 常数。 m 克碳中原有的 C14 原子数为

n? ?

m 1 ? N ? ? 12 12 10 ,式中 N ? 为阿伏加德罗

经过 T 年,现存 C14 原子数为

?1? n ? n? ? ? ?2?

T /?

mN? ? 12 ? 1012
?T / ?

?1? ? ? ?2?

T /?

( 1)

在 △ T 内衰变的 C14 原子数为

?1? ?n ? n ? n? ? ?2?

? ? 1 ? ?T / ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?
N?

( 2)

在( 1 ) 、 ( 2 )二式中,m 、 联立二式便可求出 T 。 例 3. 当质量为 m ,速度为

、τ 、△ T 和 ?n 均为已知,只有 n 和 T 为未知的,

v?

的微粒与静止的氢核碰撞,被氢核捕获(完全非弹性

碰撞)后,速度变为 v H ;当这个质量为 m ,速度为

v?

的微粒与静止的碳核做对心完

全弹性碰撞时,碰撞后碳核速度为

vc

,今测出

v? 4 ? v H 13

,已知

碳核质量 mc ? 12 氢核质量 m H



求此微粒质量 m 与氢核质量 mH 之比为多少? 解: 根据题意有

mv ? ? ?m ? m H ?v H

,即有

vH ?
又因 ( 2)

mv ? m ? mH
mv ? ? mv ? mc v c

( 1)

1 2 1 2 1 mv0 ? mv1 ? mc vc2 2 2 2
由( 2 )式得 由( 3 )式得
2 m v0 ? v12 ? mc vc2

( 3) ( 4) ( 5)

m?v0 ? v1 ? ? mc vc

?

?

由( 4 ) 、 ( 5 )式得

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v0 ? v1 ? vc
( 6 ) ? m ( 4 )得

2mv ? ? ?m ? mc ?vc

vc ?

2mv 0 m ? mc

? m ? 2? ? 1? ? ? 4 m vc 2?m ? m H ? ?? ? ? ? H m vH m ? mc 13 ? 12 mH
m ?1 m 所以 H 。此微粒的质量等于氢核的质量。


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