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安元杰-第10杰 解析几何初步


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学 员 辅 导 教 案
学生姓名: 教 学 目 标 安元杰 授课时间___2016__年__3__月__29__日(星期_二__) 科目: 数 学
(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念。 (2)理解直线的倾斜角的唯一性。 (3)理解直线的斜率的存在性。 (4)斜率公式的推

导过程,掌握过两点的直线的斜率公式。 (5)理解并掌握两条直线平行与垂直的条件。

教 学 难 点 重 点

第 一 课 时 第 二 课 时

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式。

重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用。 难点:启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题。 注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况。

复 习

函数的概念及表达式

教 学 内 容 及

第 一 课 时


(一)、直线的倾斜角的概念

书 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗? 如
图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

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Y

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a

b

c

O

P

X

(1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角 .特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. ... 问: 倾斜角α 的取值范围是什么? 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度 , 引入直线的倾斜角之后 , 我们就可 以用倾斜角α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
Y a b c

0°≤α <180°.

O

X

如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 案是肯定的.所以一个倾斜角α 不能确定一条直线.

的倾斜角α 相等吗? 答

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 和一个倾斜角 α ...P . ...... .. (二)直线的斜率 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α =45°时, k = tan45°= 1; α =135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

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(三) 直线的斜率公式:

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给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的 推导.(略)

斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α = 90°, 直线与 x 轴垂直; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分 母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是 钝角还是锐角. 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 解:

例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 解:

四、 教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示 直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条 直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角 都为 90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条

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直线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直. (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

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首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果 L1∥L2(图 1-29),那么它们的倾斜角相等: α 1=α 2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α 1, α 2 的关系) ∴tgα 1=tgα 2.即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2,那么 tgα 1=tgα 2. 由于 0°≤α 1<180°, 0°≤α <180°,∴α 1=α 2.又∵两条直线不重合,∴L1∥L2.

结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的 斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不 ........ 成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形.如果 L1⊥L2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α 2<α 1(图 1-30),甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方;乙图的特征是 L1 与 L2 的交 点在 x 轴下方;丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α 1=90°+α 2. 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°.

, 可以推出 : α 1=90°+α 2. L1⊥L2.

结论: 两条直线都有斜率 ,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的 ........ 斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

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注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. (借助计算机, 让学生通过度量, 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持 L1⊥ L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α 1 为锐角,钝角等). (三)、例题:例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置

关系, 并证明你的结论. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ.

例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行四边形,再通过 计算加以验证) 例3 解同上.

已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系.

解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.

例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥BC, 再通过计算 加以验证.(图略)

直线方程的几种形式
1、点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不包括垂 直于 x 轴的直线。 2、斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包括垂 直于 x 轴的直线。 3、两点式:已知直线经过 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 两点,则直线方程为 它不包括垂直于坐标轴的直线。 4、截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b ,则直线方程为

y ? y1 x ? x1 , ? y 2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 ,它不包括垂 a b

直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5、一般式:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)的形式。 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截 距式呢?) (2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 ? 直线的斜率为-1 或直线过原点;直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线两截距绝对值相

西安远东仁民补习学校 一对一个性化辅导中心 等 ? 直线的斜率为 ?1或直线过原点。如过点 A(1, 4) ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___
条(答:3) 注:设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2)知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线); (3)知直线过点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,当斜率 k 不 存在时,则其方程为 x ? x0 ; (4)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; (5)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。

三、两直线之间的位置关系
1、距离公式 (1)平面上的两点错误!未找到引用源。间的距离错误!未找到引用源。。特别地,原点 O(0,0)与任意一点的 P(x,y)的距离错误!未找到引用源。 (2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



(3)两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ? 2、直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系:

C1 ? C2 A2 ? B 2



(1)平行 ? A 1B2 ? A 2B 1 ? 0 (斜率)且 B 1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距); (2)相交 ? A 1B2 ? A2 B 1 ?0; (3)重合 ? A 1B2 ? A 2B 1 ? 0且 B 1C2 ? B2C1 ? 0 ; (4)垂直 ? A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 提醒: (1)

A1 B1 C1 A B A B C 、 1 ? 1 、 1 ? 1 ? 1 仅是两直线平行、相交、重合的充分不 ? ? A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2

必要条件!为什么? (2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何 中提到的两条直线都是指不重合的两条直线; 3、两直线夹角公式 ? ? ?0, ? ? (1) l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的角? , 且 tan ? =

k 2 ? k1 ( k1k2 ? ?1); 1 ? k1 k 2

(2) l1 与 l2 的夹角是指不大于直角的角 ? , ? ? (0,

?
2

] 且 tan ? =︱

k 2 ? k1 ︱( k1k2 ? ?1)。 1 ? k1 k 2

2 x ? y ? 4 ? 0 与 x 轴的交点,把直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45°,得到的直线方程是______ (答: 3x ? y ? 6 ? 0 )
例题:

提醒:解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点 M 是直线

(m ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 3m ,l2: 4 x ? (5 ? m) y ? 16 , 例 1、 两条直线 l1: 求分别满足下列条件的 m
的值. (1) l1 与 l 2 相交; (2) l1 与 l 2 平行; (3) l1 与 l 2 重合;

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(4) l1 与 l 2 垂直; (5) l1 与 l 2 夹角为 45 ? .

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例 2 当 a 为何值时, 直线 l1: (a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 1 ? 0 与直线 l2: (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相 垂直?

x ? y ? 1 ? 0 和 l2: x ? y ? 6 ? 0 截得的线段 例 3 已知直线 l 经过点 P ( 3 , 1 ) , 且被两平行直线 l1:
之长为 5,求直线 l 的方程.

例 4 已知直线 l:x ? 2 y ? 8 ? 0 和两点 A(2 , 0) 、 B(?2 , ? 4) . (1)在 l 上求一点 P ,使 PA ? PB 最小; (2)在 l 上求一点 P ,使 PB ? PA 最大.

(五)、课堂练习题: 一、选择题 1.直线 2 x ? 3 y ? 6 在 x 轴、 y 轴上的截距分别是( )

( A) 3,2

( B ) ?3, 2

(C ) 3, ?2

( D ) ?3, ?2


2.已知直线 l 经过点 A(3, 2) 、 B(3, ?2) ,则直线 l 的斜率为(

( A) 0
2

( B) 1
2

(C ) ?1

( D ) 不存在
?

3.直线 (2a ? 5a ? 2) x ? (a ? 4) y ? 5a ? 0 的倾斜角为 45 ,则 a 的值为(



( A) ? 3

( B ) ?2

(C ) 2

(D) 3

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4.直线 Ax ? By ? C ? 0 通过第二、三、四象限,则系数 A, B, C 需满足条件(

( A) A, B, C 同号
5.已知直线 y ?

( B ) AC ? 0, BC ? 0

(C ) C ? 0, AB ? 0

( D ) A ? 0, BC ? 0

1 x ? b 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A 、 B ,如果 ?AOB 的面积( O 为坐标原 2


点)不大于 1 ,那么 b 的范围是(

( A ) b ? ?1

( B ) ?1 ? b ? 1

(C ) b ? 1 且 b ? 0

( D ) ?1 ? b ? 1 且 b ? 0

6 .设 a, b, c 是两两不等的实数,直线 l 经过点 P(b, b ? c) 与点 Q(a, a ? c) ,则直线 l 的斜率是 ( )

( A) 0

( B)

3 3

(C ) 1

(D) 3


7.三点 A(3,1) , B(2, m) , C (8,11) 在同一直线上,则实数 m 的值是 (

( A) ?4

( B ) ?3
0

(C ) ?2

( D ) ?1


8.直线的倾斜角为 60 ,直线 l2 垂直于直线 l1 ,则直线 l2 的斜率是(

A

3

B

? 3

C

3 3

D

?

3 3


9.已知 A (0,8) ,B (?4, 0) ,C( m ,-4)三点共线,则实数 m 的值是( A

?6

B

6

C

?5

D

5

10.以 A (?1,1) B (2, ?1) C (1, 4) 为顶点的三角形是( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 以上都不对

课后作业
A.b=a
3

(时间:40 分钟)
)

1.已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB 为直角三角形,则必有 (

1 B.b=a3+ a 1 b-a3- ?=0 C.(b-a3)? a? ? 1 b-a3- ?=0 D.|b-a3|+? a? ? 2. 已知过点 A(m+1,0), B(-5, m)的直线与过点 C(-4,3), D(0,5)的直线平行, 则 m 的值为( A.-1 C.2 B.-2 D.1 )

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)

1 3.当 0<k< 时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在 ( 2 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

4.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 经过定点 ( A.(0,4) C.(-2,4) B.(0,2) D.(4,-2)

)

5.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直线方程为 ( ) B.2x+y-1=0 D.6x+y-8=0

A.x+2y-4=0 C.x+6y-16=0

6 . ( 教材改编 ) 与直线 l1 : 3x + 2y - 6 = 0 和直线 l2 : 6x + 4y - 3 = 0 等距离的直线方程是 ______________. 7.已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,若 l1∥l2,且坐标原点到这两条直线 的距离相等,则 a+b=________. π 8.已知直线 l1:ax+y-1=0,直线 l2:x-y-3=0,若直线 l1 的倾斜角为 ,则 a=________; 4 若 l1⊥l2,则 a=________;若 l1∥l2,则两平行直线间的距离为________. 9.已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求直线 BC 的方程.

10.已知直线 l 经过直线 l1:2x+y-5=0 与 l2:x-2y=0 的交点. (1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值.





直线与圆

本次课程实际授课时间:_____月____日______点至_______点结束


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