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2015-2016学年高中数学 第1章 第11课时 正切函数的性质与图象课时作业(含解析)新人教A版必修4


课时作业(十一)

正切函数的性质与图象

A 组 基础巩固 ? π? 1.(2015·福建三明市高一月考)函数 y=tan?x+ ?的定义域是( ) 3? ? π A.{x∈R|x≠kπ + ,k∈Z} 6 π B.{x∈R|x≠kπ - ,k∈Z} 6 π C.{x∈R|x≠2kπ + ,k∈Z} 6 π D.{x∈R|x≠2kπ - ,k∈Z} 6 π π π 解析:由 x+ ≠kπ + (k∈Z),得 x≠kπ + (k∈Z),故选 A. 3 2 6 答案:A 2.?2015·河北沧州市高一期末?下列函数是以 π 为周期的偶函数的是( ) ? π? A.y=tanx B.y=sin?x+ ? 2? ? π? π? ? ? C.y=sin?2x+ ? D.y=cos?2x+ ? 2? 2? ? ? π? ? ? π? 解析:y=tanx,y=cos?2x+ ?=-sin2x 均为奇函数,y=sin?x+ ?=cosx 为周期 2 2? ? ? ? π? ? 为 2π 的偶函数,y=sin?2x+ ?=cos2x 为周期为 π 的偶函数,故选 C. 2? ? 答案:C ?π ? 3. ?2015·河北衡水中学高一调研? 函 数 y = 2tan ? -2x? 的 一个单调递 减区间是 ?6 ? ( ) ? π π? ? π? A.?- , ? B.?0, ? 6 3 3? ? ? ? ?π 5π ? ?5π ,π ? C.? , ? D.? ? 3 6 ? ? ? 6 ? π π? ? ? ? 解析:y=2tan? -2x?=-2tan?2x- ?. 6 6? ? ? ? π π π 令- +kπ <2x- < +kπ ,k∈Z,得 2 6 2 π kπ π kπ - + <x< + . 6 2 3 2 π 5π 令 k=1,则 <x< ,故选 C. 3 6 答案:C ? π π? 4.(2015·河北衡水中学高一调研)函数在?- , ?上的图象大致为 f(x)=2x-tanx ? 2 2? 的是( )

1

A

B

C

D

π 解析:函数 f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除 B、C 项;又当 x→ 时,f(x)→ 2 -∞,排除 A 项,故选 D. 答案:D 5.?2015·吉林长春市高一期末?在区间[-2π ,2π ]范围内,函数 y=tanx 与函数 y =sinx 的图象交点的个数为( ) A.3 B.5 C.7 D.9 解析: 在同一直角坐标系中画出函数 y=tanx 与函数 y=sinx 的图象(图象略), 由图象 可知其交点个数为 5 个,故选 B. 答案:B ? π π? 6.?2015·华中师大附中高一期末?函数 f(x)=2sinx+tanx+m,x∈?- , ?有零 ? 3 3? 点,则 m 的取值范围是( ) A.[2 3,+∞) B.(-∞,2 3] C.(-∞,2 3)∪(2 3,+∞) D.[-2 3,2 3] ? π π? 解析:令 g(x)=2sinx+tanx,则 g(x)在?- , ?上单调递增,其值域为[-2 3, ? 3 3? 2 3].由题意,得-2 3≤-m≤2 3,则-2 3≤m≤2 3,故选 D. 答案:D π π ?π ? 7. 函数 f(x)=tanω x(ω >0)的图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 , 则 f? ? 4 4 ?4? 的值是( ) A.0 B.1 π C.-1 D. 4 π π ?π ? 解析:由题意,T= = ,∴ω =4,∴f(x)=tan4x,f? ?=tanπ =0,故选 A. ω 4 ?4? 答案:A ? π 3π ? 8.函数 y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间? , ?内的图象是( ) 2 ? ?2

2

A

B

C

D

π 3 解析:当 <x<π ,tanx<sinx,y=2tanx<0;当 x=π 时,y=0;当 π <x< π 2 2 时,tanx>sinx,y=2sinx.故选 D. 答案:D ? π? 9.函数 y=3tan?x+ ?的对称中心的坐标是__________. 3? ? π kπ kπ π 解析:由 x+ = (k∈Z),得 x= - (k∈Z). 3 2 2 3 ?kπ π ? ∴对称中心坐标为? - ,0?(k∈Z). 3 ? 2 ? ?kπ -π ,0?(k∈Z) 答案:? ? 3 ? 2 ? π? ? 10.求函数 y=tan?3x- ?的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 3? ? π π kπ 5π 解析:由 3x- ≠kπ + ,k∈Z,得 x≠ + ,k∈Z. 3 2 3 18 kπ 5π π ∴所求定义域为{x|x∈R,且 x≠ + ,k∈Z},值域为 R,周期 T= ,是非奇非 3 18 3 ?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z)上是增函数. 偶函数,在区间? 18 ? ? 3 18 3 ? B 组 能力提升 π π? ? 11.已知函数 y=tanω x 在?- , ?内是减函数,则( ) ? 2 2? A.0<ω ≤1 B.-1≤ω <0 C.ω ≥1 D.ω ≤-1 ? π π? 解析:∵y=tanω x 在?- , ?内是减函数, ? 2 2? π ∴ω <0 且 T= ≥π . |ω | ∴|ω |≤1,即-1≤ω <0,故选 B. 答案:B π 2 12. 设点 P(x0, y0)是函数 y=tanx 与 x+y=0(x∈( , π )图象的交点, 则(x0+1)(cos2x0 2 +1)的值是________.
3

解析:∵点 P(x0,y0)是函数 y=tanx 与 y=-x(x>0)的图象的一个交点, 2 2 ∴x0=tan x0. 1 2 2 2 ∴(x0+1)(cos2x0+1)=(tan x0+1)(cos2x0+1)= 2 ×2cos x0=2, cos x0 故答案为 2. 答案:2 π 13.函数 y=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< )的图象与 x 轴相交的两相邻点的坐标为 2 ?-π ,0?,?π ,0?,且过点(0,-3),求此函数的解析式. ? 2 ? ?6 ? ? ? ? ? π ? π ? 2π π 3 解析:∵T= -?- ?= ,∴ω = = . 2 6 ? T 2 ? 3 π 3 ? ? ? ? 将点? ,0?代入 y=Atan? x+φ ?, ?6 ? ?2 ? 3 π π ? ? 得 0=Atan? × +φ ?,得 φ =- . 4 ?2 6 ? 3 π ? ? 将(0,-3)代入 y=Atan? x- ?, 4? ?2 得 A=3. ?3 π ? ∴y=3tan? x- ?. 4? ?2 π π ?π ? 14.函数 y=tan(3x+φ )图象的一个对称中心是? ,0?,其中- <φ < ,求 φ 的 4 2 2 ? ? 值. ?kπ ,0?,其中 k∈Z, 解析:y=tanx 的对称中心为? ? ? 2 ? kπ π kπ 3π 故令 3x+φ = ,其中 x= ,即 φ = - . 2 4 2 4 π π π 又- <φ < ,所以当 k=1 时,φ =- ; 2 2 4 π 当 k=2 时,φ = , 4 π π 即 φ =- 或 . 4 4 15.?附加题·选做? 2 2 ?tanθ +1? ?tanθ -1? 2 已知关于实数 x 的不等式|x- |≤ ,x -3(tanθ +1)x+ 2 2 2(3tanθ +1)≤0 的解集分别为 M,N,且 M∩N=?,则这样的 θ 存在吗?若存在,求出 θ 的取值范围. 解析:假设 θ 存在. 2 2 ?tanθ +1? ?tanθ -1? 由|x- |≤ , 2 2 2 得 2tanθ ≤x≤tan θ +1, 2 ∴M={x|2tanθ ≤x≤tan θ +1}. 2 ∵x -3(tanθ +1)x+2(3tanθ +1)≤0, 1 ∴当 tanθ ≥ 时,2≤x≤3tanθ +1. 3 1 当 tanθ < 时,3tanθ +1≤x≤2. 3
4

1 ∵M∩N=?,当 tanθ ≥ 时,3tanθ +1>2tanθ , 3 1 2 ∴tan θ +1<2,解得 ≤tanθ <1,① 3 1 当 tanθ < 时, 3 2 ∵2tanθ <2,∴tan θ +1<3tanθ +1, 1 ∴0<tanθ <3.∴0<tanθ < ,② 3 由①②知 0<tanθ <1, π? ? ∴θ 的取值范围是?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 4? ?

5



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