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高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2 章末高效整合


第 二 章 点、直线、平面之间的位置关系

知能整合提升

1.线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种. 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况. (1)证明线线平行的方法 ①线线平行的定义; ②公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行; ③线面平行的性质定理: a∥α, a? β, α∩ β= b? a∥ b; ④线面垂直的性质定理: a⊥α, b⊥α? a∥ b. ⑤面面平行的性质定理:α∥ β, α∩ γ= a, β∩ γ= b? a∥ b.

(2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义:两条直线所成的角是直角,在研究异面直线所成的角 时,要通过平移把异面直线转化为相交直线; ②线面垂直的性质结论: a⊥α,b?α?a⊥b; ③线面垂直的性质结论: a⊥α,b∥α?a⊥b.

2.线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种. (1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义; ②线面平行的判定定理: a?α,b?α,a∥b?a∥α; ③面面平行的性质: α∥β,a?α?a∥β.

(2)证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义; ②线面垂直的判定定理: m, n? α, m∩ n= A? ? l⊥ m, l⊥ n
?? l⊥α; ? ?

③平行线垂直平面的传递性: a∥ b, a⊥ α? b⊥ α; ④面面平行的性质结论:α∥ β, a⊥ α? a⊥ β; ⑤面面垂直的性质定理:α⊥ β, α∩ β= l, a?α, a⊥ l? a⊥ β.

3.面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种. (1)证明面面平行的方法 ①面面平行的定义; ②面面平行的判定定理: a∥ β, b∥ β, a?α, b? α,a∩b=A?α∥ β; ③线面垂直的性质结论:垂直于同一条直线的两个平面平行,即 a⊥ α, a ⊥ β?α∥ β; ④公理 4 的推广: 平行于同一平面的两个平面平行, 即 α∥ γ,β∥ γ? α∥ β.

(2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义:两个平面相交所成的二面角是直二面角; ②面面垂直的判定定理: a⊥β,a?α?α⊥β.

4.平行关系与垂直关系的转化

解题时需把握原则:由已知想性质,由求证想判定.并注意适当添加辅助 线(或辅助面)实现转化.

5.空间角的计算问题 (1)异面直线所成的角:通过作其中一条直线的平行线,转化为相交直线所 成的角,范围是 (0° , 90° ]. (2)直线与平面所成的角:依据线面垂直,确定斜线在平面上的射影,则斜 线与射影所成的角即为所求,范围是 [0° , 90° ]. (3)二面角: 过两平面的交线上一点分别在两个平面内确定垂直于交线的直 线,二者的夹角即为二面角的平面角,范围是[0° , 180° ]. 空间角的计算步骤:一作、二证、三计算.

热点考点例析

公理的应用及空间中的位置关系 1.公理的应用 (1)证明共面问题.证明共面问题的方法一般有两种:一是由某些元素确定 一个平面,再证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平 面,再证明这些平面重合.

(2)证明三点共线问题.通常证明这些点都在两个平面的交线上,即先确定 出其中两点在某两个平面的交线上,再证明第三个点是这两个平面的公共点, 则第三点必然在这两个平面的交线上. (3)证明三线共点问题.证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点, 再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.

2.空间中的点、线、面位置关系的判定 (1)首先清楚线线、线面、面面的位置关系及分类标准,其次在判定时不但 要根据位置关系的定义,还要根据具体的题目条件与线线、线面、面面的判定 及性质定理. (2)在判定点、线、面的位置关系时,要特别注意思维的严谨性,要注意线 线、线面、面面判定及性质定理应用的前提条件.

如图所示,空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,AD 的中点, G,H 分别在 BC,CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求证: (1)E,F,G,H 四点共面; (2)EG 与 HF 的交点在直线 AC 上.

[规范解答] ∴GH∥BD.

(1)∵BG∶GC=DH∶HC,

又 EF∥BD,∴EF∥GH, ∴E,F,G,H 四点共面.

(2)∵G, H 不是 BC, CD 的中点, ∴EF∥GH,且 EF≠ GH, ∴EG 与 FH 必相交. 设交点为 M,而 EG?平面 ABC,HF?平面 ACD, ∴M∈平面 ABC,且 M∈平面 ACD, ∴M∈AC, 即 GE 与 HF 的交点在直线 AC 上.

1.已知:正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 8 cm,M,N,P 分别是 AB, A1D1, BB1 的中点. (1)画出过 M, N, P 三点的平面与平面 A1B1C1D1 的交线以及与平面 BB1C1C 的交线; (2)设过 M, N,P 三点的平面与 B1C1 交于一点,求 P 与该点连线段的长.

解析:

(1)如图,设 M, N, P 三点确定的平面为 α,

则 α 与平面 AB1 交于 MP. 设 MP∩ A1B1= R, 则 RN 是 α 与平面 A1B1C1D1 的交线. 设 RN∩ B1C1= Q, 则 PQ 是 α 与平面 BB1C1C 的交线.

(2)由正方体的棱长为 8 cm, M, P 分别为 AB,BB1 的中点, ∴ B1R= BM= 4 cm. B1Q RB1 在△ RA1N 中, = , A1N RA1 4 4 ∴ B1Q= ×4= (cm). 12 3

在 Rt△ PB1Q 中, 4 ∵ PB1= 4 cm, B1Q= cm, 3 ∴ PQ= 4
2

?4 ?2 4 +? ? = 3 ?3 ?

10(cm).

4 ∴ PQ 的长为 10 cm. 3

平行、垂直关系的判定与性质 1.平行、垂直关系的相互转化

2.核心问题分析 “线面垂直”是核心内容,原因一:立体图形中的“平行的”直观上看仍 然“平行”,而“垂直的”却不然,认知上有难度.原因二:由上面的“转化 图”知线面垂直是认识图形的切入口,又是解决线面位置关系的枢纽.

3.证明空间线面平行或垂直需注意三点: (1)由已知想性质,由求证想判定. (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一. (3)用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论. [特别提醒] 若题目条件中有面面垂直时,一般要用性质定理,在一个平

面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,进一步转化为线线垂直.

如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ACC1A1 与底面垂直,且 AB=AC,CC1=BC1,∠BAC=90° ,∠BCC1=60° . (1)求证: BC1⊥AC; (2)若 N 为 A1C1 的中点,问侧棱 BB1 上是否存在一点 M,使 MN∥平面 ABC1?请说明理由.

[规范解答 ]

(1)证明:由题意,侧面 ACC1A1⊥底面 BAC,且 AB⊥ AC,

∴ AB⊥平面 ACC1A1,∴ AB⊥ AC1. ∵ CC1= BC1,且∠ BCC1= 60° , ∴△ BCC1 为等边三角形, ∴ BC= BC1,∴△ ABC≌△ ABC1,∴ AC= AC1. 又 CC1= BC= 2AC, 2 2 ∴ AC2+ AC1 = CC1 ,∴ AC⊥ AC1. 又 AC⊥ AB, AB∩ AC1= A, ∴ AC⊥平面 ABC1, 又 BC1? 平面 ABC1,∴ BC1⊥ AC.

(2)如图,当 M 为侧棱 BB1 的中点时,有 MN∥平面 ABC1. 证明如下: 分别取 AA1, BB1 的中点 D, M, 连接 DM, DN,则 DN∥ AC1, DM∥ AB. ∴ DN∥平面 ABC1, DM∥平面 ABC1, 又 DM∩ DN= D,∴平面 DMN∥平面 ABC1, 又 MN?平面 DMN,∴ MN∥平面 ABC1.

2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60° ,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)点 M 在线段 PC 上, PM=tPC, 试确定实数 t 的值, 使得 PA∥平面 MQB.

解析: (1)证明:连接 BD,四边形 ABCD 为菱形. ∵AD=AB,∠BAD=60° , ∴△ABD 为正三角形. 又 Q 为 AD 的中点, ∴AD⊥BQ. ∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴AD⊥PQ. 又 BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面 PQB. 又 AD?平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD.

1 (2)当 t= 时,使得 PA∥平面 MQB. 3 理由是:连接 AC 交 BQ 于 N,交 BD 于 O, 则 O 为 BD 的中点, 又∵ BQ 为△ABD 的边 AD 上的中线, ∴ N 为正三角形 ABD 的中心. 令菱形 ABCD 的边长为 a, 3 则 AN= a, AC= 3a. 3

∵PA∥平面 MQB,PA?平面 PAC, 平面 PAC∩平面 MQB= MN, 3 a PM AN 3 1 ∴PA∥ MN,则 = = = , PC AC 3a 3 1 1 即 PM= PC,故 t= . 3 3

空间角的求法 1.空间中的角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面 角.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定 量计算的重要组成部分,学习时要深刻理解它们的含义,并能综合应用空间各 种角的概念和平面几何的知识熟练解题.空间角的题目一般都是各种知识的交 汇点,因此,它是高考重点考查的内容之一,应引起足够重视.

2.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角 ). 3.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影 ). 4.二面角的平面角的作法常有三种: (1)定义法;(2)垂线法;(3)垂面法. 总之,求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算,空间角的计算步 骤:一作、二证、三计算.

如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)求 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角; (2)求 A1B1 与平面 A1C1B 所成的角的余弦值.

[规范解答 ] ∴ A1A⊥ BD.

(1)∵ A1A⊥面 ABCD,

连接 AC 交 BD 于 O,则 BD⊥ AC. ∴ BD⊥平面 ACC1A1. 连接 C1O,则∠ OC1B 为 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角. OB 1 在 Rt△ OC1B 中, sin∠ OC1B= = , BC1 2 ∴∠ OC1B= 30° . 即 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角为 30° .

(2)△ A1BC1 是正三角形,且 A1B1=B1C1=BB1, 则棱锥 B1-A1BC1 是正三棱锥. 过 B1 作 B1H⊥平面 A1BC1,垂足为 H, 连 A1H,∠B1A1H 是 A1B1 与平面 A1C1B 所成的角. 6 设 A1B1= a,则 A1B= 2a,得 A1H= a, 3 A1H 6 故 cos∠ B1A1H= = . A1B1 3 6 即 A1B1 与平面 A1C1B 所成角的余弦值为 . 3

3. 在底面是等腰梯形的四棱锥 S-ABCD 中,AD=BC,AB=2CD=2SD, ∠DAB=60° ,SD⊥底面 ABCD.求: (1)侧面 SAB 与底面 ABCD 所成二面角的平面角的正切值; (2)侧棱 SB 与底面 ABCD 所成的角.

解析: (1)如图所示,作 SE⊥ AB 交 AB 于 E,连接 DE. 因为 SD⊥面 ABCD,所以 AB⊥ SD, 则 AB⊥面 SDE, 所以 DE⊥ AB,则∠ DES 即为所求二面角的平面角. a 设 SD= CD= a,所以 AB= 2a, AE= , 2 a 3 所以 DE= · tan 60° = a. 2 2 DS 2 2 3 所以 tan∠ DES= = = . DE 3 3 2 3 即二面角的平面角的正切值为 . 3

(2)连接 DB,则∠SBD 即为直线 SB 与平面 ABCD 所成的角. 因为 BD= DE2+BE2= 3a, SD 3 所以 tan∠SBD= = ,所以∠SBD=30° . BD 3 即侧棱 SB 与底面 ABCD 所成角为 30° .

折叠问题中的线、面位置关系 平面图形沿着某一直线翻折成为空间图形的题目在立体几何中是很常见 的.对于这类问题,关键是要注意折叠前后的变量与不变量,抓住了折叠前后 的变量与不变量,也就抓住了解折叠问题的要害.折叠前后,同一半平面内的 数量关系与位置关系均不发生改变.

在平面四边形 ABCD 中,已知 AB=BC=CD=a,∠ABC=90° ,∠ BCD=135° ,沿 AC 将四边形折成直二面角 B-AC-D. (1)求证:平面 ABC⊥平面 BCD; (2)求平面 ABD 与平面 ACD 所成的角.

[规范解答] 如图,其中(1)是平面四边形, (2)是折后的立体图形.

(1)证明:∵平面 ABC⊥平面 ACD,交线为 AC, 在平面图形中 AB= BC,∠ ABC= 90° , ∠ BCD= 135° , ∴∠ ACD= 90° , CD⊥ AC. ∴ CD⊥平面 ABC. 又∵ CD?平面 BCD, ∴平面 ABC⊥平面 BCD.

(2)过点 B 作 BE⊥ AC, E 为垂足, 则 BE⊥平面 ACD. 又过点 E 在平面 ACD 内作 EF⊥ AD, F 为垂足,连接 BF. 由已知可得 BF⊥ AD. ∴∠ BFE 是二面角 B- AD- C 的平面角. 1 2 ∵点 E 为 AC 中点,∴ AE= AC= a. 2 2 CD 3 3 又 sin∠ DAC= = , EF= AE, AD 3 3 2 3 6 BE ∴ EF= a· = a, tan∠ BFE= = 3. 2 3 6 EF ∴∠ BFE= 60° , 即平面 ABD 与平面 ACD 所成的二面角为 60° .

4.如图所示,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,E 为 BC 的中点.把 △ABE,△CDE 分别沿 AE,DE 向上折起,使 B,C 重合于点 P,求二面角 P -AD-E 的大小.

解析:

取 AD 的中点 F,连接 EF, PF.

∵在矩形 ABCD 中,E 为 BC 的中点, ∴ AE= DE,则 EF⊥ AD. ∵ AP= DP,∴ PF⊥ AD, ∴∠ PFE 为二面角 P- AD- E 的平面角. ∵折叠前 AB⊥ BE, CD⊥ CE, ∴折叠后 AP⊥PE, DP⊥PE, 又 DP∩ AP= P,∴PE⊥平面 APD.

∵ PF?平面 APD,∴PE⊥PF. 1 在 Rt△ PEF 中,PE= BC= 1, EF= AB= 2, 2 PE 2 ∴ sin∠ PFE= = , EF 2 ∴∠ PFE= 45° ,即二面角 P- AD- E 的大小是 45° .

一、选择题 1.分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是 ( A.相交 C.平行 B.异面 D.相交或异面 )

解析: 当过其中一条直线上同一点时,共面相交;相交的交点没有重合 情况时,异面.

答案:

D

2.如图,PA⊥矩形 ABCD,下列结论中不正确的是 ( A.PD⊥BD B.PD⊥CD C.PB⊥BC D.PA⊥BD

)

解析:

∵PA⊥面 ABCD,

∴PA⊥BD,故 D 正确; ∵BC⊥AB,∴BC⊥面 PAB, ∴BC⊥PB,故 C 正确; 又 CD⊥面 PAD, ∴PD⊥CD,故 B 正确,只有 A 不正确.

答案:

A

3.如图,BC 是 Rt△ABC 的斜边,PA⊥平面 ABC,PD⊥BC 于 D 点,则 图中共有直角三角形的个数是( A.8 个 C.6 个 ) B.7 个 D.5 个

解析:

因为 PA⊥平面 ABC,

所以 PA⊥BC, 因为 PD⊥BC,PA∩PD=P, 所以 BC⊥平面 PAD,所以 AD⊥BC, 图中直角三角形有△PAC,△PAD,△PAB,△ABC,△PDC,△PDB, △ADC,△ADB,共 8 个.

答案:

A

4. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 ( 2 A. 3 2 C. 3 3 B. 3 6 D. 3

)

解析:

画出图形 (如图所示 ),BB1 与平面 ACD1 所成的角等于 DD1 与平

面 ACD1 所成的角.在三棱锥 D- ACD1 中,由三条侧棱两两垂直得点 D 在底 面 ACD1 内的射影为等边三角形 ACD1 的垂心即中心 H,连接 D1H,DH,则∠ 6 a 3 DD1H 为 DD1 与平面 ACD1 所成的角. 设正方体的棱长为 a, 则 cos∠DD1H= a 6 = . 3

答案:

D

二、填空题 5.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,在 l 上取线段 AB=4,AC,BD 分别在 平面 α 和平面 β 内,且 AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则 CD 的长度 为________.

解析:

如图,连接 AD.

∵ α⊥ β,∴ AC⊥ β, DB⊥α, 在 Rt△ ABD 中, AD= AB2+ BD2= 42+ 122= 160. 在 Rt△ CAD 中, CD= AC2+ AD2= 32+ 160= 13.

答案:

13

6.如图,二面角 α-l-β 的大小是 60° ,线段 AB?α,B∈l,AB 与 l 所 成的角为 30° ,则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是 ________.

解析:

如图,过点 A 作平面 β 的垂线,垂足为 C,在平面 β 内过 C 作 l

的垂线,垂足为 D,连接 AD,由线面垂直判定定理可知 l⊥平面 ACD,则 l⊥ AD,

故∠ ADC 为二面角 α-l- β 的平面角,即∠ ADC= 60° .

连接 CB,显然,∠ABC 为 AB 与平面 β 所成的角. AD 设 AD=2,则 AC= 3,CD=1,AB= =4, sin 30° AC 3 ∴sin∠ABC= = . AB 4 3 答案: 4

三、解答题 7.已知 P 是?ABCD 所在平面外一点,E,F,G 分别是 PB,AB,BC 的中 点.求证:平面 PAC∥平面 EFG.

证明:

因为 EF 是△PAB 的中位线,

所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAC,PA?平面 PAC,所以 EF∥平面 PAC. 同理得 EG∥平面 PAC. 又 EF?平面 EFG,EG?平面 EFG, EF∩EG=E,所以平面 PAC∥平面 EFG.

8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 2 分别为 PC、BD 的中点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= AD. 2 (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 C-PBD 的体积.

解析:

(1)证明:连接 AC,如图所示,

则 F 是 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点,∴EF∥PA. 又∵PA?平面 PAD, EF? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

(2)取 AD 的中点 N,连接 PN,如图所示. ∵PA=PD,∴PN⊥ AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD= AD, PN?平面 PAD, ∴ PN⊥平面 ABCD,即 PN 是三棱锥 P- BCD 的高. 2 2 1 1 又∵PA= PD= AD= a,∴PN= AD= a, 2 2 2 2 1 ∴ VC- PBD= VP- BCD= S△ BCD· PN 3 1 ?1 ? 1 a3 ? a· = · a ?·a= . 3 ?2 ? 2 12

谢谢观看!



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