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高考文科复数复习知识点+例题+练习


复数的概念及运算
一. 知识回顾 1. 复数的有关概念 形如______________的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,满足_________, a 叫做_________, b 叫做________,复数集记作_______________________。 2. 复数的分类 复数 a ? bi(a, b ? R) 是实数的充要条件是_________;是纯虚数

的充要条件是__________. 3. 复数相等 两个复数 z1 ? a ? bi, z 2 ? c ? di(a、b、c、d ? R) ,若 z1 ? z 2 ,则____________。 4. 共轭复数 如果两个复数实部________,而虚部___________,则这两个复数互为_____________,即 复数 z ? a ? bi 的共轭复数为 z =_________。 5. 复数的几何意义 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,在复平面内, x 轴叫做 轴叫做 ,x 轴的单位是 1,y 轴的单位是 i.显然,实轴上的点都表示 原点以外,虚轴上的点都表示 。 (2)复数 z=a+bi、有序实数对(a,b)、点 Z(a,b)是一一对应的. → =a+bi,则向量OZ → 的长度叫做复数 a+bi 的 (3)设OZ (或 ,y ;除

),记作|a+bi|,

且|a+bi|= . (4)复数的加法可以按照向量的加法来进行,这就是复数加法的几何意义. 6. 复数的代数运算 对于 i 有 i4n=______,i4n+1=_____,i4n+2=_____,i4n+3=_____(n∈ Z). 已知两个复数 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈ R),则 z1±z2=______________, z1· z2=_______________ , z1 a+bi z2=c+di=________________. 特别地,若 z=a+bi,则 z·z =a2+b2. 二. 例题讲解 a2-7a+6 例 1 已知复数 z= 2 +(a2-5a-6)i(a∈R). 求实数 a 分别取什么值时, z 分别为: a -1 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
2 ?a -5a-6=0, ? 【解答】 (1)当 z 为实数时,则 2 ?a -1≠0,

1

?a=-1或a=6, ∴? ?a≠±1. 故当 a=6 时,z 为实数.
2 ?a -5a-6≠0, (2)当 z 为虚数时,则有? 2 ?a -1≠0,

?a≠-1且a≠6, ∴? ∴a≠±1 且 a≠6. ?a≠±1, ∴当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数.

?a2-5a-6≠0, (3)当 z 为纯虚数时,则有?a -7a+6 ? a2-1 =0.
∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数.

2

?a≠-1且a≠6, ∴? ?a=6且a≠±1.

变式题 若复数 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1 例 2 计算: 2-i3 (1) ; 1- 2i 【解答】 -2 3+i ? 2 ?2011 ? . (2) +? 1+2 3i ?1-i?

)

2-i3 2+i ( 2+i)(1+ 2i) 2i+i (1) = = = =i. 1- 2i 1- 2i (1- 2i)(1+ 2i) 1+2 (2) -2 3+i ? 2 ?2011 i(1+2 3i) ?? 2 ?2?1005 2 ? = ?? · +? +?? 1-i 1+2 3i ?1-i? 1+2 3i ??1-i? ?

2 2 ? 2 ? =i+?-2i?1005· =i+i1005· 1-i 1-i ? ? 2 2 ? 2 ? =i+i· =- 2 +? +1?i. 1-i ?2 ? 变式题 i 是虚数单位,若 1+7i =a+bi(a,b∈R),则乘积 ab 的值是( 2-i )

A.-15 B.-3 C.3 D.15
2

复数综合练习题
一.选择题
1.湖南 A1+i 2.全国 ( A -3-4i 复数
2 ? 1? i B 1-i

( C-1+i D-1-i ( D3+4i (

)

3?i 2 ) ? 1? i



B-3+4i C3-4i i 3.陕西 复数 Z= 在复平面内对应的点在 1? i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 1 ? 2i ? 1? i 则 4.辽宁 设 a,b,c ? R 若 a ? bi 3 1 1 3 A a= b= B a=3 b=1 C a= b= D a=1 2 2 2 2 5.江西 已知 ? x ? i ? ?1 ? i ? ? y则x, y分别为 y=1 D x=1 y=2



( b=3 ( (



) )

A x=-1 y=1 B x=-1 y=2 C x=1 2 1则 i? 1 - 3 ?i ? 6.安徽 已知i ? ?

A ? 3 ?i

B ? 3 ?i

C ? ? 3 ?i
5?i ? 1? i C 2 ? 3i D 2 ? 3i

D ? ? 3 ?i
( )

7.浙江 已知 i 为虚数单位则
A ? 2 ? 3i

B ?2 ? 3i a ? 2i ? b ? i ,a,b ? R 则 a+b= 8.山东 已知 ( ) i A-1 B1 C2 D3 9.北京在复平面内, 复数 6+5i 与 -2+3i 对应的点分别为 A , B.若 C 为 AB 的中点, 则点 C 对应的 复数为 ( ) A 4+8i B 8+2i C 2+4i D 4+i 10.四川,设 i 是虚数单位,计算 i ? i 2 ? i 3 ? A-1 C-i Di 3?i ? 11.天津,复数 1? i A1+2i B2+4i C-1-4i D2-i 12.复数 a+bi 与 c+di 的积是实数的充要条件是 A ad+bc=0 B ac+bd=0 C ac=bd D ad=bc 2 ﹤ 1 时,复数 m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于 13.当 ﹤m 3 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3





B1

( ( (

) ) )

二.计算题
1.一直复数 Z 与 Z ? 2 ? ? 8i 都是纯虚数,求 Z
2

?

2.已知 i 是虚数单位 m ? R且

2 ? mi 2 ? mi 2011 是纯虚数 ,求 ( ) 1? i 2 ? mi

3. 设 a , b 为共轭复数,且 (a ? b) ? 3abi ? 4 ? 12i ,求 a , b 的值。
2

4


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