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4全程复习课件:3[1].2.3 直线的一般式方程


3.2.3 直线的一般式方程

1.理解关于x,y的二元一次方程与直线之间的关系.

2.明确直线方程一般式的特征,并能将一般式与其他形式的方
程进行互化.

3.能根据直线的一般式方程进行简单的应用(求斜率、截距
等).

1.直线的一般式方程

直线 (

1)关于x,y的二元一次方程,它都表示一条_____.
Ax+By+C=0 ,其中A,B不同时为__ 0 ,若 (2)直线的一般式方程__________
C x轴 平行或重合的直线;若 A=0,则y=____ B ,它表示一条与____ ? C y轴 平行或重合的直线. B=0,则x=____ A ,它表示一条与____ ?

2.直线方程的互化 (1)直线的一般式Ax+By+C=0(B≠0),化为斜截式为
x y ? ?1 A C C C y?? x? ? ? ____________; B B 化为截距式为______________. A B

kx-y-(kx0-y0)=0 斜 (2)点斜式y-y0=k(x-x0),化为一般式为_______________;
kx-y+b=0 两点式= y ? y1 ? x ? x1 , 截式y=kx+b,化为一般式为_________;
y 2 ? y1 x 2 ? x1

(y2-y1)x-(x2-x1)y+(x2-x1)y1-(y2-y1)x1=0 截 化为一般式为_____________________________________; bx+ay-ab=0 距式 x ? y =1化为一般式为___________.
a b

1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打
“×”). (1)坐标平面内的直线都可以用关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A与B不同时为0)表示.( ) )

(2)任何一条直线的方程都可以转化为一般式.(
A

(3)直线Ax+By+C=0,在x轴上的截距为 ? C ,在y轴上的截距 为 ? C .(
B

) )

(4)若直线Ax+By+C=0与两坐标轴都相交,则A≠0或B≠0.(

提示:(1)正确.当A与B不同时为0时,二元一次方程
Ax+By+C=0与平面内的直线是一一对应的.

(2)正确.平面内的直线方程都可以写成一般式 .
(3)错误.当A≠0且B≠0时,直线在x轴上的截距为 ? C ,在y
A

轴上的截距为 ? C .
B

(4)错误.直线与两坐标轴都相交,则A·B≠0,而不是A≠0 或B≠0. 答案:(1)√ (2)√ (3)〓 (4)〓

2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线
上).

(1)经过点(1,2),斜率为 ? 1 的直线的一般式方程为_________.
3

(2)在y轴上的截距为2,且过点(-1,4)的直线的方程为_______. (3)方程2x-3y-1=0在x轴上的截距为____________; 在y轴上的截距为_____________. (4)若直线-2x+ay+m=0的斜率为1,则a=___________.

【解析】(1)由直线方程的点斜式,得y-2= ? (x-1),整理得 x+3y-7=0. 答案:x+3y-7=0 (2)因为在y轴上的截距为2,所以设直线方程为 x ? y ? 1,把点
a 2 (-1,4)代入,得a=1,所以所求直线的方程为 x ? y ? 1, 整理得 1 2

1 3

2x+y-2=0. 答案:2x+y-2=0

(3)令x=0,得y= ? 1 ,令y=0,得x= 1 ,所以直线在x轴,y轴上
3 的截距分别为 1 , ? 1 . 2 3 答案:1 ? 1 3 2 2

(4)因为直线-2x+ay+m=0的斜率为1,所以 ? ?2 ? 1,所以a=2.
a

答案:2

一、直线的一般式方程 探究:观察图象,思考下列问题:

(1)坐标平面内的直线,都可以用关于x,y的二元一次方程
Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示吗?

提示:可以,坐标平面内的任何一条直线,都可以用关于 x,y
的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示.

(2)坐标平面内的直线与关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0是 否为一一对应关系? 提示:不构成一一对应.坐标平面内的直线都可以看成关于 x,y的二元一次方程,且方程有无数个 .但一个关于x,y的二元 一次方程对应着唯一的一条直线.

(3)对于直线的一般式方程Ax+By+C=0,当直线垂直于坐标轴 时,A,B满足什么条件?当C=0时,表示怎样的直线? 提示:当A=0,B≠0时,直线方程化为 y ? ? C , 表示与y轴垂直
B

的直线;当A≠0,B=0时,直线方程化为x ? ? C ,表示与x轴垂
A

直的直线;当C=0时,方程表示过原点的直线.

【探究提升】对直线一般式方程的理解 (1)表示形式Ax+By+C=0(A,B不同时为0),是关于x,y的二元一 次方程. (2)A,B不同时为0,分三种情况:①A≠0,B≠0;②A≠0,B=0; ③A=0,B≠0. (3)适用范围:坐标平面内的任何一条直线 .

二、直线方程的互化 探究1:已知直线l过点(2,0),(0,3),思考下列问题: (1)能否写出直线l的方程的五种形式?
3 3?0 3 ?? , 点斜式方程y-0=- (x2 0?2 2 y?0 x ?2 2);斜截式方程y=- 3 x+3;两点式方程 ? ;截距式方 3?0 0? 2 2 程 x ? y ? 1, 一般式方程3x+2y-6=0. 2 3

提示:能.直线l的斜率 k ?

(2)直线的一般式方程与其他形式比较,有什么优点? 提示:坐标平面内的任何一条直线,都可以用一般式表示, 而其他形式都有一定的局限性.

探究2:根据直线的一般式方程Ax+By+C=0,思考下列问题: (1)已知直线的一般式方程Ax+By+C=0,如何求直线的斜率?

提示:若B≠0,直线方程可化为 y ? ? A x ? C ,故直线的斜率
为? A , 若B=0,则直线的斜率不存在.
B B B

(2)直线Ax+By+C=0,在x轴,y轴上的截距是多少? 提示:当A,B,C均不为0时,一般式方程Ax+By+C=0可化为
x y 此时在x轴,y轴上的截距分别为 ? C , ? C ;当 ? ? 1, C C A B ? ? A B

A=0,B,C均不为0时,直线平行于x轴,此时在y轴上的截距为
C ;当B=0,A,C均不为0时,直线平行于y轴,此时在x轴上 B 的截距为 ? C . A ?

【探究提升】1.五种直线方程的常数的意义与适用范围 名称 方程的形式 常数的意义 (x0,y0)是直线上 的定点,k是斜率 k是斜率,b是直线 在y轴上的截距 适用范围 不垂直于x轴 不垂直于x轴

点斜式 y-y0=k(x-x0) 斜截式 y=kx+b

名称

方程的形式

常数的意义 (x1,y1),(x2,y2)是直 线上两定点 a,b分别是直线在x 轴,y轴上的截距 A,B,C为系数

适用范围 不垂直于 坐标轴 不垂直于 坐标轴,且 不过原点 任何位置 的直线

y ? y1 x ? x1 ? 两点式 y ? y x ? x 2 1 2 1
x y ? ?1 a b

截距式

一般式

Ax+By+C=0

2.直线方程的五种形式的两点说明

(1)点斜式、斜截式、两点式、截距式均能直接化成一般式 .
(2)各种形式互化的实质是方程的同解变形 .

类型 一

直线的一般式方程

尝试解答下列题目,理解直线方程的一般式,并能够利用 直线的一般式方程解决有关问题. 1.过点(2,-1)和(3,2)的直线的一般式方程为 .

2.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=0表示直线,求实数m的范
围.

【解题指南】1.根据直线方程的两点式,写出直线的两点式方
程,再化为一般式方程;或者设出直线方程的一般式,得出有关

参数的方程组,从而得出直线的一般式方程.
2.根据直线方程的一般式的条件求解.

【解析】1.方法一:由直线方程的两点式,可得直线的方程
为 y ? (?1) ? x ? 2 , 整理得3x-y-7=0.
2 ? (?1) 3? 2

方法二:设所求直线的方程为x+my+n=0,把点(2,-1),(3,2) 代入,得 ?
3

?2 ? m ? n ? 0, 解得 m ? ? 1 , n ? ? 7 , 所以所求直线的方 3 3 ?3 ? 2m ? n ? 0,
3

程为 x ? 1 y ? 7 ? 0, 整理得3x-y-7=0. 答案:3x-y-7=0

2 ? m 2.由 ? ? 3m ? 2 ? 0, 解得m=2,因为方程(m2-3m+2)x+(m-2)y?m ? 2 ? 0,

2m+1=0表示直线,所以(m2-3m+2)与(m-2)不同时为0,即m≠2.

【技法点拨】直线的一般式方程的求法 (1)利用题目条件求出直线的其他形式,再化为一般式 . (2)设直线的一般式方程,若A≠0,则方程可设为
x? B C 只需确定 B , C ; 若B≠0,则方程可设为 y ? ? 0, A A A A

A C 只需确定 A , C . x ? y ? ? 0, B B B B

【变式训练】求满足下列条件的直线的一般式方程. (1)斜率为4,在y轴上的截距为-2. (2)斜率是 3 ,且经过点A(5,3). 【解析】(1)由直线方程的斜截式,可得所求直线的方程为 y=4x-2,即4x-y-2=0;(2)由直线方程的点斜式,可得所求直 线的方程为y-3= 3 (x-5),即 3 x-y+3-5 3 =0.

类型 二

直线方程的互化

尝试解答下列题目,掌握直线方程的五种形式即各自的适

用范围,并能够根据直线方程之间的联系解决有关问题.
1.在x轴,y轴上的截距分别为2,-3的直线的一般式方程为( )

A.3x+2y-6=0
C.3x+2y+6=0

B.3x-2y-6=0
D.3x-2y+6=0

2.设直线l的方程(m2-2m-3)x+(2m2+m+1)y-2m+6=0,根据下列

条件分别确定m的值:
(1)l在x轴上的截距为-3.(2)l的斜率为1.

【解题指南】1.根据截距式写出直线的方程,再化成一般式 .

2.(1)令y=0得出l在x轴上的截距.(2)把直线方程的一般式化
成斜截式,根据题中的条件得出关于m的方程,从而求出m的

值.

【解析】1.选B.由直线方程的截距式,可知所求直线的方程 为 x ? y ? 1,整理得3x-2y-6=0.
2 ?3

2.(1)令y=0,得 x ? 所以

2m ? 6 , 2 m ? 2m ? 3

2m ? 6 =-3,解得m1=- 5 ,m2=3(舍去),故当m=- 5 3 3 m 2 ? 2m ? 3

时,l在x轴上的截距为-3.
m2 ? 2m ? 3 2m ? 6 x? , (2)直线l的方程可化为 y ? ? 2 所以 2 2m ? m ? 1 2m ? m ? 1 m2 ? 2m ? 3 2 ,m =1,故当m=- 2 或1时,直 解得 m =k?? ? 1 , 1 2 3 2m2 ? m ? 1 3

线l的斜率为1.

【互动探究】把题2(1)“l在x轴上的截距为-3”改为“l在y轴 上的截距为-3”,求m的值. 【解析】令x=0,得 y ? 解得m ?
2m ? 6 2m ? 6 , ? ?3, 所以 2 2 2m ? m ? 1 2m ? m ? 1

?5 ? 97 ?5 ? 97 时,l在y轴上的截距为-3. , 故当 m ? 12 12

【技法点拨】直线方程互化的两点说明
(1)直线的一般式可以表示任何直线,但特征不明显,解决问

题时,把直线的一般式化成其他形式.
(2)求直线的一般式方程,通常根据题中的条件求出对应形式

的方程,再化为一般式.

类型 三

直线一般式方程的应用

尝试解答下列题目,体会用直线的一般式解决直线位置关

系的过程,归纳总结用一般式解决有关问题的方法.
1.已知点A(2,2)与直线l:3x+4y-20=0,

(1)过点A且与直线l平行的直线的方程为
(2)过点A且与直线l垂直的直线的方程为 2.已知直线l的方程为(m+1)x+y+2-m=0(m∈R), 若直线l不经过第二象限,求实数m的取值范围.

.
.

【解题指南】1.根据两直线平行与垂直时方程系数之间的关 系设出含参数的直线方程,由题意得出参数的值,从而得出所 求直线的方程. 2.利用直线的斜率与截距的范围,得出关于m的不等式组求解.

【解析】1.(1)设所求直线的方程为3x+4y+c=0,
因为点A(2,2)在直线上,所以3〓2+4〓2+c=0,

所以c=-14,
所以所求直线的方程为3x+4y-14=0. (2)设所求直线的方程为4x-3y+n=0, 因为点A(2,2)在直线上,所以4〓2-3〓2+n=0, 所以n=-2, 所以所求直线的方程为4x-3y-2=0. 答案:(1)3x+4y-14=0 (2)4x-3y-2=0

2.把直线方程(m+1)x+y+2-m=0化为y=-(m+1)x+m-2, 因为直线l不经过第二象限,
?(m ? 1) ? 0, ??(m ? 1) ? 0, 所以 ? 或? 解得m ? ?1 . ? ?m ? 2 ? 0 ?m ? 2 ? 0,

【技法点拨】与已知直线平行和垂直的直线的求法
(1)当直线l1,l2平行时,若l1:Ax+By+C1=0,根据平行的等价条

件,可设直线l2:Ax+By+C2=0,且C1≠C2.
(2)当直线l1,l2垂直时,若l1:Ax+By+C1=0,根据垂直的等价条 件,可设直线l2:Bx-Ay+C2=0. 提醒:在解决有关直线平行与垂直的问题时,注意直线的斜率 存在条件的讨论.

【变式训练】已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-3=0与l2:(a-1)x +(3+2a)y+2=0,求下列情况下a的值. (1)直线l1,l2平行.(2)直线l1,l2垂直. 【解析】(1)由l1∥l2得(a+2)·(3+2a)-(a-1)(1-a)=0,整理得 3a2+5a+7=0,无解. (2)由l1⊥l2得(a+2)(a-1)+(1-a)·(3+2a)=0, 解得a=〒1.

【拓展延伸】利用一般式直线方程判断直线位置关系的方法
2 2 若直线l1:A1x+B1y+C1=0 (A1 ? B1 ? 0), 2 l2:A2x+B2y+C2=0 (A2 ? B 2 2 ? 0), 则:

(1)当A1B2-A2B1≠0时,l1与l2相交.
(2)当A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0时,l1∥l2.

(3)当A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0时,l1与l2重合.
(4)特别地,当A1A2+B1B2=0时,l1⊥l2.

【拓展类型】定点直线系 尝试解答下列问题,体会定点直线系的用法,并能够利用 定点直线系的有关结论解决有关问题. 1.若直线mx-y+(2m+1)=0恒过一定点,则此定点是( )

A.(-2,1)

B.(2,1)

C.(1,-2)

D.(1,2)

2.求证:直线l:(k+1)x-y-2k-1=0恒过第一象限.

【解题指南】1.利用直线的点斜式方程,求出直线恒过的定点. 2.利用直线恒经过的定点证明结论. 【解析】1.选A.把直线mx-y+(2m+1)=0,化为点斜式得y-1 =m(x+2),所以直线过点(-2,1).

2.方法一:直线l:(k+1)x-y-2k-1=0,化为点斜式得y-1= (k+1)(x-2),可知直线恒过点(2,1).而点(2,1)在第一象限,所 以直线l恒过第一象限.

方法二:把直线转化为斜截式,得y=(k+1)x-(2k+1), ①若k+1>0,则直线过第一象限; ②若k+1=0,则k=-1,此时,直线的方程为y=1,过第一象限; ③若k+1<0,则k<-1,-(2k+1)>1,即直线与y轴交于正半轴,所以 直线过第一象限. 综上可知直线恒过第一象限.

【技法点拨】证明直线过定点的方法
(1)把直线的方程转化为点斜式,从而得出直线恒过的定点.

(2)将直线方程变形,把x,y看作参数的系数,利用此式对任意
实数都成立,故需系数为0,解方程组可得x,y的值,即得直线过 的定点.

1.经过点A(-4,7),且倾斜角为45°的直线的一般式方程为 ( A.x-y-11=0 C.x-y+11=0 B.x+y-11=0 D.x+y+11=0 )

【解析】选C.因为直线倾斜角为45°,所以直线的斜率k=1,所 以直线的点斜式方程为y-7=x-(-4),整理得x-y+11=0.

2.直线3x+y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则( A.k=3,b=6 C.k=-3,b=6 B.k=-3,b=-6 D.k=3,b=-6

)

【解析】选B.把直线3x+y+6=0转化为斜截式,得y=-3x-6,所以 直线的斜率k=-3,在y轴上的截距b=-6.

3.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是下
图中的( )

【解析】选B.利用直线的斜率与截距分情况讨论判断 .

4.直线l:mx+y-1=0经过第一、二、三象限,则实数m的取值范 围是( A.R C.(-∞,0) ) B.(0,+∞) D.[1,+∞)

【解析】选C.直线l的斜率k=-m,直线l的倾斜角为锐角,则k>0, 所以-m>0,所以m<0.

5.已知直线的斜率为 1 ,且和坐标轴围成面积为3的三角形,
6

则该直线的方程为________.
【解析】设直线的方程为 x + y =1,因为直线的斜率k= ,
a b 1 6

a=-6, ?a=6, 所以 - b = 1 , 又因为 1 |ab|=3,所以 ? 或? ?
a 6 2

1 ?b=

1. ?b=-

所以所求直线的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0. 答案:x-6y+6=0或x-6y-6=0

6.已知直线l与直线3x+4y-7=0的倾斜角相等,并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为24,求直线l的方程.

【解析】直线3x+4y-7=0的斜率为 ? 3 ,
4

因为直线l与直线3x+4y-7=0的倾斜角相等,

所以kl= ? 3 .
4

设直线l的方程为y= ? x+b, 令y=0,则 x ? 4 b.
3

3 4

因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24,

所以 S ? 1 | b | | 4 b |? 24 ,
2 3

所以b=〒6,
所以直线l的方程为 y ? ? 3 x ? 6,
4

即直线l的方程为3x+4y+24=0 或3x+4y-24=0.


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