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福建省福州市2015届高三一模数学(理)试题 Word版含解析


2015 年福建省福州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个选项中有且只 有一个选项是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. (5 分) (2015?福州一模) 已知全集 U=R, 集合 M={x|﹣2≤x<2}, P={x|y= }, 则 M∩ (?UP) 等于( ) A. [﹣2,0) B. [﹣2,0] C. [0,2) D. (0,2) 【考点】 : 交、并、补集的混合运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 先求出 P 在 U 的补集,从而求出 M∩ (?UP)即可. 【解析】 : 解:∵p={x|x≥0},∴CUP={x|x<0}, ∴M∩ (?UP)={x|﹣2≤x<0}, 故选:A. 【点评】 : 本题考查了集合的混合运算,是一道基础题. 2. (5 分) (2015?福州一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知角 α 的顶点与点 O 重合,始边 与 x 轴的非负半轴重合,终边上一点 M 的坐标为( A. ﹣0.5 B. 0 C. 0.5 D. 1 【考点】 : 两角和与差的余弦函数;任意角的三角函数的定义. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : 由三角函数的定义可得 sinα= ,cosα= 算可得. 【解析】 : 解:∵角 α 终边上一点 M 的坐标为( ∴sinα= ,cosα= ∴cos(α+ = ﹣ , sinα ,代入 cos(α+ )= cosα﹣ sinα 计 ,1) ,则 cos(α+ )的值是( )

,1) ,

)= cosα﹣ =0,

故选:B. 【点评】 : 本题考查两角和与差的三角函数,涉及三角函数的定义,属基础题. 3. (5 分) (2015?福州一模)在等差数列{an}中,若 a2=1,a8=2a6+a4,则 a5 的值是( A. ﹣5 B. C. D. )

【考点】 : 等差数列的通项公式. 【专题】 : 等差数列与等比数列.

【分析】 : 设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得 a1 和 d 的方程组,解方程组代入等差数列 的通项公式可求. 【解析】 : 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a2=1,a8=2a6+a4, ∴a1+d=1,a1+7d=2(a1+5d)+a1+3d 联立解得 a1= ,d=﹣ , ∴a5=a1+4d= +4(﹣ )= 故选:B 【点评】 : 本题考查等差数列的通项公式,求出数列的首项和公差是解决问题的关键,属基 础题.

4. (5 分) (2015?福州一模)若 a=

xdx,b=

dx,c=

2dx,则 a,b,c 的大小关系

为( ) A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<b<a 【考点】 : 定积分. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : 分别求出被积函数的原函数,然后代入积分的上限和下限. 【解析】 : 解:a= xdx= | =6,b= dx=4lnx| =4ln2,c= 2dx=2x| =4;

所以 b<c<a; 故选:C. 【点评】 : 本题考查了定积分的计算;关键是求出被积函数的原函数. 5. (5 分) (2015?福州一模)执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( )

A. ﹣1 B. 1 C. 0 D. ﹣2014 【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型;算法和程序框图. 【分析】 :模拟执行程序, 依次写出每次循环得到的 S, n 的值, 当 n=2015 时, 满足条件 n≥2015, 退出循环,输出 S 的值为 0.

【解析】 : 解:模拟执行程序框图,可得 S=0,n=1 S=﹣1,n=2 不满足条件 n≥2015,S=0,n=3 不满足条件 n≥2015,S=﹣1,n=4 不满足条件 n≥2015,S=0,n=5 … n=2015 时,满足条件 n≥2015,退出循环,输出 S 的值为 0. 故选:C. 【点评】 : 本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,寻找规律 可得 S 的取值以 2 为周期是解题的关键,属于基本知识的考查. 6. (5 分) (2015?福州一模)在棱长为 3 的正方体内任取一点 P,则点 P 到该正方体的六个面 的距离的最小值不大于 1 的概率为( ) A. B. C. D.

【考点】 : 几何概型. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 由题意,符合点 P 到该正方体的六个面的距离的最小值不大于 1 的区域是以正方 体的中心为中心棱长为 1 的正方体外部,根据几何概型公式可得. 【解析】 : 解:由题意,符合点 P 到该正方体的六个面的距离的最小值不大于 1 的区域是以 正方体的中心为中心棱长为 1 的正方体外部,根据几何概型公式可得点 P 到该正方体的六个 面的距离的最小值不大于 1 的概率为 1﹣ ;

故选:D. 【点评】 : 本题主要考查几何概型中的体积类型,基本方法是:分别求得构成事件 A 的区域 体积和试验的全部结果所构成的区域体积,两者求比值,即为概率. 7. (5 分) (2015?福州一模)“直线 l 垂直于平面 α”的一个必要不充分条件是( A. 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线垂直 B. 过直线 l 的任意一个平面与平面 α 垂直 C. 存在平行于直线 l 的直线与平面 α 垂直 D. 经过直线 l 的某一个平面与平面 α 垂直 )

【考点】 : 直线与平面垂直的性质. 【专题】 : 证明题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 根据面面垂直的判定以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【解析】 : 解:根据面面垂直的判定可知,直线 l 垂直于平面 α,则经过直线 l 的某一个平面 与平面 α 垂直, 当经过直线 l 的某一个平面与平面 α 垂直时,直线 l 垂直于平面 α 不一定成立, ∴“经过直线 l 的某一个平面与平面 α 垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的必要不充分条件. 故选:D

【点评】 : 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用面面垂直的判定是解决本题的关 键.

8. (5 分) (2015?福州一模) 已知△EFH 是边长为 1 的正三角形, 动点 G 在平面 EFH 内. 若 <0,| 则 ? |=1, 的取值范围为( )

?

A. [﹣1,﹣ ) B. [﹣1,﹣ ] C. (﹣ ,﹣

] D. (﹣ ,﹣ )

【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 计算题;平面向量及应用. 【分析】 : 以 EF 的中点为坐标原点,EF 所在直线为 x 轴,建立如图的直角坐标系,设出 E, F,H,G 的坐标,以及相应向量的坐标,运用向量的数量积的坐标表示和向量模的公式,结 合圆的性质,可得 x 的范围为﹣1≤x≤1,再由条件即可得到计算得到. 【解析】 : 解:以 EF 的中点为坐标原点,EF 所在直线为 x 轴,建立如图的直角坐标系, 则 E(﹣ ,0) ,F( ,0) ,H(0, 由| |=1,可得 x +(y﹣
2

) ,设 G(x,y) ,

) =1,

2

即有﹣1≤x≤1① 又 由 =(x+ ,y) , ? =(1,0) , =(x,y﹣ ) .

<0,可得 x+ <0,

即有 x<﹣ ② 由① ② 可得﹣1≤x<﹣ . 则 ? =x×1+(y﹣ )×0=x,

则所求范围为[﹣1,﹣ ) . 故选 A.

【点评】 : 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量模的公式,同时考查圆的性质和不等式 的性质,属于中档题. 9. (5 分) (2015?福州一模)若函数 f(x)满足:?x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1 ﹣x2|成立,则称 f(x)∈Ψ.对于函数 g(x)=x ﹣x,h(x)=
3

,有(



A. g(x)∈Ψ 且 h(x)∈Ψ B. g(x)∈Ψ 且 h(x)?Ψ C. g(x)?Ψ 且 h(x)∈Ψ D. g (x)?Ψ 且 h(x)?Ψ 【考点】 : 全称命题. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 先求出 g(x1)﹣g(x2)|≤2|x1﹣x2|,故 g(x)?Ψ;再分类讨论,对 h(x)进行 判断,问题得以解决. 3 3 2 2 【解析】 : 解:|g(x1)﹣g(x2)|=|x1 ﹣x1﹣x2 +x2|=|(x1﹣x2)?(x1 +x1x2+x2 )﹣(x1﹣ 2 2 x2)|=|(x1﹣x2)||x1 +x1x2+x2 ﹣1|, 因为 x1,x2∈[﹣1,1], 2 2 2 2 所以|x1 +x1x2+x2 |≤x1 +|x1x2|+x2 ≤3 2 2 2 2 2 2 所以|x1 +x1x2+x2 ﹣1|≤|x1 +x1x2+x2 ﹣1|≤|x1 +|x1x2|+x2 ﹣1|≤|3﹣1|≤2 所以有|g(x1)﹣g(x2)|≤2|x1﹣x2|, 所以 g(x)?Ψ; 当﹣1≤x<0 时,|h(x1)﹣h(x2)|=|x1﹣x2|≤|x1﹣x2|, 当 0≤x≤1 时,|h(x1)﹣h(x2)|=|cosx1﹣cosx2|≤|x1﹣x2|, 所述 h(x)∈Ψ, 故选:C. 【点评】 : 本题属于新概念的问题,题中考查了绝对值不等式的应用.对于此类型的题目需 要对题目概念做认真分析再做题.属于中档题. 10. (5 分) (2015?福州一模)某医务人员说:“包括我在内,我们社区诊所医生和护士共有 16 名.无论是否把我算在内,下面说法都是对的.在这些医务人员中:护士多于医生;女医生 多于女护士;女护士多于男护士;至少有一名男医生.”请你推断说话的人的性别与职业是 ( ) A. 男医生 B. 男护士 C. 女医生 D. 女护士 【考点】 : 进行简单的合情推理. 【专题】 : 推理和证明. 【分析】 : 设男护士人数为 a,女护士人数为 b,男医生人数为 c,女医生人数为 d,根据已知 构造不等式组,推理可得结论. 【解析】 : 解:设男护士人数为 a,女护士人数为 b,男医生人数为 c,女医生人数为 d

则有: (一)a+b>c+d (二)c>a (三)a>b (四)d≥1 得出:c>a>b>d≥1 假设:d=1 仅有:a=5,b=4,c=6,d=1 时符合条件, 又因为使 abcd 中一个数减一任符合条件,只有 d,即女医生 假设:d>1 则没有能满足条件的情况 综上,这位说话的人是女医生, 故选:C 【点评】 : 本题考查的知识点是逻辑推理,难度中档. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上. ) 11. (4 分) (2015?福州一模)已知 a,b∈R,i 为虚数单位,若 a﹣i=2+bi,则(a+bi) = 3 ﹣4i . 【考点】 : 复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 2 【分析】 : 由复数相等的条件求得 a,b 的值,代入(a+bi) 后得答案. 【解析】 : 解:由 a﹣i=2+bi,得 a=2,b=﹣1. 2 2 ∴(a+bi) =(2﹣i) =3﹣4i. 故答案为:3﹣4i. 【点评】 : 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,是基础题.
2

12. (4 分) (2015?福州一模) (x +

2

+2a) 展开式的常数项为 280,则正数 a=

4



【考点】 : 二项式系数的性质. 【专题】 : 二项式定理. 【分析】 : 化简(x + 即得 a 的值. 【解析】 : 解:∵(x +
2 2

+2a) =

4

,利用二项式的展开式通项 Tr+1,求出常数项,

+2a) =
8﹣r

4



展开式的通项为 Tr+1= 令 8﹣2r=0,解得 r=4; ∴常数项 T5=

?x

?

=

?x

8﹣2r

?a ;

r

?a =70a =280,

4

4

∴a =4, 又 a>0, ∴a= . 故答案为: . 【点评】 : 本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的应用问题,是基础题目. 13. (4 分) (2015?福州一模)已知抛物线 Γ:y =4x 的焦点为 F,P 是 Γ 的准线上一点,Q 是 直线 PF 与 Γ 的一个交点.若 = ,则直线 PF 的方程为 x+y﹣1=0 或 x﹣y﹣1=0 .
2

4

【考点】 : 抛物线的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 利用抛物线的定义,结合
2

=

,求出直线的斜率,即可求出直线 PF 的方程.

【解析】 : 解:抛物线 Γ:y =4x 的焦点 F(1,0) ,设 Q 到 l 的距离为 d,则|QF|=d ∵ ∴| = |= | , |= d,

∴直线的倾斜角为 45°或 135°, ∴直线的斜率为±1, ∴直线的方程为 x+y﹣1=0 或 x﹣y﹣1=0. 故答案为:x+y﹣1=0 或 x﹣y﹣1=0. 【点评】 : 本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.
2 2 2 2

14. (4 分) (2015?福州一模)已知一组正数 x1,x2,x3 的方差 s = (x1 +x2 +x3 ﹣12) ,则 数据 x1+1,x2+1,x3+1 的平均数为 3 . 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 :
2

众数、中位数、平均数. 概率与统计. 根据方差的公式求得原数据的平均数后,求得新数据的平均数即可. 解:由方差的计算公式可得:
2 2 2

S = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ] = [x1 +x2 +…+xn ﹣2(x1+x2+…+xn)? +n = [x1 +x2 +…+xn ﹣2n = [x1 +x2 +…+xn ]﹣ = (x1 +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

]

+n

2

]

+x3 ﹣12)

可得平均数 =2.

对于数据 x1+1,x2+1,x3+1 的平均数是 2+1=3, 故答案为:3. 【点评】 : 此题主要考查了方差和平均数的性质,一般地设有 n 个数据,x1,x2,…xn,若每 个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数,其平均数也有相对应的变化,方 差则变为这个倍数的平方倍. 15. (4 分) (2015?福州一模)已知函数 f(x)=x?sinx,有下列四个结论: ① 函数 f(x)的图象关于 y 轴对称; ② 存在常数 T>0,对任意的实数 x,恒有 f(x+T)=f(x)成立; ③ 对于任意给定的正数 M,都存在实数 x0,使得|f(x0)|≥M; ④ 函数 f(x)的图象上至少存在三个点,使得该函数在这些点处的切线重合. 其中正确结论的序号是 ① ③ ④ (请把所有正确结论的序号都填上) . 【考点】 : 函数的图象. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : ① 研究函数的奇偶性,可用偶函数的定义来证明之; ② 研究的是函数的周期性,采用举对立面的形式说明其不成立; ③ 找出一个常数 M,都存在实数 x0,使得|f(x0)|≥M 成立即可; ④ 根据切线的几何意义,先求导,在找到特殊点,求出切线方程即可. 【解析】 : 解:对于① ,∵f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=xsinx=f(x) , ∴函数为偶函数,∴函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,故① 正确; 对于② ∵当 x=2kπ+ 故② 错; 对于③ 取 M=1,当 x0= 时,|f( )|= ≥1;故③ 正确; 时,f(x)=x,随着 x 的增大函数值也在增大,所以不会是周期函数,

对于④ ∵f′ (x)=sinx+xcosx, 当 x=2kπ+ f(2kπ+ ,f′ (2kπ+ )=2kπ+ =x﹣2kπ﹣ )=1=k,

∴切线方程为 y﹣2kπ﹣

即切线方程为 y=x, ∴函数 f(x)的图象上至少存在三个点,使得该函数在这些点处的切线重合,故④ 正确 (为了让学生更加理解,特画图) 故答案为:① ③ ④

【点评】 : 本题考点是函数的单调性判断与证明,函数的奇偶性,函数的中心对称的判断及 函数的周期性,涉及到的性质比较多,且都是定义型,本题知识性较强,做题时要注意准确 运用相应的知识准确解题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (13 分) (2015?福州一模)已知函数 f(x)= sinωx﹣cosωx(ω>0)的图象与直线 y=2 的相邻两个交点之间的距离为 π. (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 f(A)=2,a= b,求角 B 的 大小. 【考点】 : 三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 【专题】 : 三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】 : (Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得 f(x)=2sin(ωx﹣ )由题

意函数 f(x)的图象与直线 y=2 的相邻两个交点之间的距离为 π,可得 T,从而求出 ω,即可 得 f(x)的解析式,令 2k 增区间. (Ⅱ)由 f(A)=2,可得 sin(2A﹣ 弦定理有 sinA= )=1,又 0<A<π,求得 A= ,a= b,根据据正 2x﹣ ≤2k ,k∈Z,可解得函数 f(x)的单调递

sinB,可求 sinB= ,由大边对大角即可求 B. sinωx﹣cosωx(ω>0) ,

【解析】 : 解: (Ⅰ)∵f(x)= ∴f(x)=2sin(ωx﹣ ) .

∴函数 f(x)的最大值为 2. ∵函数 f(x)的图象与直线 y=2 的相邻两个交点之间的距离为 π, ∴T=π, ∴ =π,解得 ω=2,

∴f(x)=2sin(2x﹣ 令 2k 解得 k 2x﹣ ≤x≤k

) . ≤2k ,k∈Z,

,k∈Z. ,k ) . ],k∈Z.

∴函数 f(x)的单调递增区间是[k (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=2sin(2x﹣ 在△ABC 中,∵f(A)=2, ∴2sin(2A﹣ ∴sin(2A﹣ ∵0<A<π, ∴A= ∵a= ∴sin . b,根据据正弦定理,有 sinA= = sinB, )=2, )=1,

sinB,

∴sinB= , ∵a>b, ∴A>B, ∴0 ∴B= . ,

【点评】 : 本小题主要考查三角函数的图象与性质(对称性、周期性、单调性) 、两角差的正 弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归 与转化思想、函数与方程思想. 17. (13 分) (2015?福州一模)调查表明,中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指 标有极强的相关性.现 将这三项的满意度指标分别记为 x,y,z,并对它们进行量化:0 表示不满意,1 表示基本满 意,2 表示满意,再用综合指标 w=x+y+z 的值评定中年人的成就感等级:若 w≥4,则成就感 为一级;若 2≤w≤3,则成就感为二级;若 0≤w≤1,则成就感为三级.为了了解目前某群体中年 人的成就感情况,研究人员随机采访了该群体的 10 名中年人,得到如下结果: 人员编号 A1 A2 A3 A4 A5 (x,y,z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (0,1,1) (1,2,1) 人员编号 A6 A7 A8 A9 A10 (x,y,z) (1,2,2) (1,1,1) (1,2,2) (1,0,0) (1,1,1) (Ⅰ)在这 10 名被采访者中任取两人,求这两人的职业满意度指标相同的概率;

(Ⅱ)从成就感等级是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为 a,从成就感等级不是一级 的被采访者中任取一人,其综合指标为 b,记随机变量 X=a﹣b,求 X 的分布列及其数学期望. 【考点】 : 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (Ⅰ)设事件 A 为“从 10 名被采访者中随机抽取两人,他们的职业满意度指标相 同”.从 10 名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为 所有可能结果数为 =45,职业满意度指标相同的

,由此能求出他们的职业满意度指标相同的概率.

(Ⅱ)由已知得随机变量 X 的所有可能取值为:1,2,3,4,5,分别求出相应的概率,由此 能求出 X 的分布列及其数学期望. 【解析】 : 解: (Ⅰ)设事件 A 为“从 10 名被采访者中随机抽取两人,他们的职业满意度指标 相同”. 职业满意度指标为 0 的有:A9; 职业满意度指标为 1 的有:A2,A4,A5,A7,A10, 职业满意度指标为 2 的有:A1,A3,A6,A8. 从 10 名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为 职业满意度指标相同的所有可能结果数为 所以他们的职业满意度指标相同的概率 P(A)= =45, (2 分) , (4 分) . (5 分)

(Ⅱ)计算 10 名被采访者的综合指标,可得下表: 人员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 综合指标 4 4 6 2 4 5 3 5 1 3 其中成就感是一级的(w≥4)有:A1、A2、A3、A5、A6、A8,共 6 名, 成就感不是一级的(w<4)有 A4、A7、A9、A10,共 4 名. 随机变量 X 的所有可能取值为:1,2,3,4,5. (6 分) P(X=1)= = , (7 分)

P(X=2)=

=

, (8 分)

P(X=3)=

=

, (9 分)

P(X=4)=

= , (10 分)

P(X=5)=

=

, (11 分)

所以 X 的分布列为 X12345 P (12 分) 所以 E(X)= + = . (13 分)

【点评】 : 本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识,考查数 据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等. 18. (13 分) (2015?福州一模)已知一个空间几何体的直观图和三视图(尺寸如图所示) .

(Ⅰ)设点 M 为棱 PD 中点,求证:EM∥平面 ABCD; (Ⅱ) 线段 PD 上是否存在一点 N, 使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 ?若存在, 试确定点 N 的位置;若不存在,请说明理由. 【考点】 : 直线与平面平行的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 : (Ⅰ)以 B 为原点, , , 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立如图所示

的空间直角坐标系,求出平面 ABCD 的一个法向量,由此能证明 EM∥平面 ABCD. (Ⅱ)求出平面 PCD 的法向量和平面 PCD 的一个法向量,由此利用向量法能求出线段 PD 上 存在一点 N,当 N 点与 D 点重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 . 【解析】 : 解: (Ⅰ)证明:由三视图知,BA,BP,BC 两两垂直,故以 B 为原点, , , 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系.…(1 分) 则 P(0,2,0) ,D(2,0,1) ,M(1,1, ) ,E(2,1,0) ,C(0,0,1) , 所以 =(﹣1,0, ) ,

平面 ABCD 的一个法向量等于 =(0,1,0) ,…(3 分)

所以

,所以

, (4 分)

又 EM?平面 ABCD,所以 EM∥平面 ABCD. (5 分) (Ⅱ)解:当点 N 与点 D 重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为 . (6 分) 理由如下: 因为 , =(2,0,0) ,设平面 PCD 的法向量为 =(x,y,z) ,



, (7 分)

取 y=1,得平面 PCD 的一个法向量 =(0,1,2) . (8 分) 假设线段 PD 上存在一点 N,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角 α 的正弦值等于 . 设 则 = (0≤λ≤1) , , =(2λ,2﹣2λ,λ) . (9 分)

所以 sinα=|cos<

>|=

(10 分)

=

=

= . (12 分)

所以 9λ ﹣8λ﹣1=0,解得 λ=1,或

2

. (舍去) .

因此,线段 PD 上存在一点 N,当 N 点与 D 点重合时, 直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 . (13 分)

【点评】 : 本题考查考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识,考查空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与 方程思想.

19. (13 分) (2015?福州一模)如图,已知椭圆 Γ:

=1(a>b>0)的离心率 e= .点

F,A 分别为 椭圆 Γ 的左焦点和右顶点,且|AF|=3. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)过点 F 作一条直线 l 交椭圆 Γ 于 P,Q 两点,点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q'. 若 PF∥AQ′ ,求证:|PF|= |.

【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】 : 圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 : (Ⅰ)设椭圆 Γ 的半焦距为 c,则 ,又 b =a ﹣c =3,解出即可.
2 2 2

(Ⅱ)方法一:依题意得,PQ 与坐标轴不垂直.设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意的对称 性可得 Q′ (x2,﹣y2) .由 PF∥AQ',利用斜率相等可得 .由点 Q(x2,y2)在椭圆 Γ 上,不妨取 ,可得直线 PQ 的直线 PQ 方程为

.与椭圆的方程联立解出 P 的坐标,再利用两点之间的距离公式即可得出. 方法二:依题意得,PQ 与坐标轴不垂直.设 l 方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2, 2 2 2 2 y2) .可得 Q′ (x2,﹣y2) .与椭圆的方程联立可得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0.可得根与系 2 数的关系. 由于 PF∥AQ', 可得直线 AQ'的方程为 y=k (x﹣2) . 与椭圆的方程联立可得 (3+4k ) 2 2 2 x ﹣16k x+16k ﹣12=0.可得根与系数的关系,解出 k 及其点 P,Q 的坐标即可得出; 方法三:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直.设 l 方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2, 2 2 2 y2) .可得 Q′ (x2,﹣y2) .与椭圆方程联立可得(3+4k )y ﹣6ky﹣9k =0.得到根与系数的 2 关系.由于 PF∥AQ',可得直线 AQ'的方程为 y=k(x﹣2) .与椭圆的方程联立可得(3+4k ) y +12ky=0.可得
2

,设

(λ>0) ,解得

,即可.

方法四:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直.设 l 方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2, y2) .可得 Q′ (x2,﹣y2) .由于 P,F,Q 三点共线, 可得 AQ',可设 与 共线, (x1+1)y2﹣(x2+1)y1=0.由 PF∥

(λ>0) ,利用向量坐标运算可得 λy2(2x2﹣1)=0.

.点

在椭圆

上,不妨取

,可得

坐标,代入椭圆方

程,解出 λ 即可. 方法五:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直.设 l 方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2, y2) .可得 Q′ (x2,﹣y2) .直线 PQ'过定点 M(﹣4,0) ,理由如下:与椭圆方程联立可得: (3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0. 系数的关系可得(x2+4)y1+(x1+4)y2=0,可得 【解析】 : 解: (Ⅰ)设椭圆 Γ 的半焦距为 c,则 解得 a=2,c=1, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =3, ∴椭圆 Γ 的方程为 .
2 2 2 2

,利用根与 ,F 为线段 AM 中点,即可证明. ,

(Ⅱ)方法一:依题意得,PQ 与坐标轴不垂直.设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . ∵点 Q 与点 Q′ 关于 x 轴对称,∴Q′ (x2,﹣y2) . 由(Ⅰ)讨论可知,A(2,0) ,F(﹣1,0) . ∵PF∥AQ', ∴直线 FQ 与直线 AQ'的斜率相等, 故 ,

解得



又∵点 Q(x2,y2)在椭圆 Γ 上, ∴ ,或 . ,

由椭圆对称性,不妨取

则直线 PQ 的斜率



∴直线 PQ 方程为



联立

,解得点 P







. ∴ .

方法二:依题意得,PQ 与坐标轴不垂直. 设 l 方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . ∵点 Q 与点 Q′ 关于 x 轴对称,∴Q′ (x2,﹣y2) . 又∵椭圆关于 x 轴对称,∴点 Q′ 也在椭圆 Γ 上. 由 ,消去 y 得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0.
2 2 2 2

∴ ∵PF∥AQ',∴直线 AQ'的方程为 y=k(x﹣2) . 由



,消去 y 得(3+4k )x ﹣16k x+16k ﹣12=0.

2

2

2

2

∵直线 AQ'交椭圆于 A(2,0) ,Q'(x2,﹣y2)两点, ∴ ,









解得











. ∴ .

方法三:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直. 设 l 方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . ∵点 Q 与点 Q′ 关于 x 轴对称,∴Q′ (x2,﹣y2) .

又∵椭圆关于 x 轴对称,∴点 Q′ 也在椭圆 Γ 上. 由 ∴ ,消去 x 得(3+4k )y ﹣6ky﹣9k =0. .
2 2 2

∵PF∥AQ',∴直线 AQ'的方程为 y=k(x﹣2) . 由 ,消去 x 得, (3+4k )y +12ky=0.
2 2

∵直线 AQ'交椭圆于 A(2,0) ,Q'(x2,﹣y2)两点, ∴ ,即 .

设 ∴

(λ>0) ,则(x1+1,y1)=λ(x2﹣2,﹣y2) , .



,解得





,即



方法四:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直. 设 l 方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . ∵点 Q 与点 Q′ 关于 x 轴对称,∴Q′ (x2,﹣y2) . ∵P,F,Q 三点共线, ∴ 与 共线,

∴(x1+1)y2﹣(x2+1)y1=0. ∵PF∥AQ',∴可设 (λ>0) ,即(x1+1,y1)=λ(x2﹣2,﹣y2) ,

∴x1+1=λ(x2﹣2) ,y1=﹣λy2. ∴λ(x2﹣2)y2+λ(x2+1)y2=0,即 λy2(2x2﹣1)=0. 依题意,y1?y2≠0,∴ .

∵点 解得 或

在椭圆 . ) ,

上,∴



由椭圆对称性,不妨取



=



∵点

在椭圆

上,

∴ ∴ ,即 .

,解得

或 λ=﹣1(舍去) .

方法五:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直. 设 l 方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . ∵点 Q 与点 Q′ 关于 x 轴对称,∴Q′ (x2,﹣y2) . 直线 PQ'过定点 M(﹣4,0) ,理由如下: 由 ,消去 y 得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0.
2 2 2 2









. ∵ ,









∴M,P,Q'三点共线,即直线 PQ'过定点 M(﹣4,0) . ∵F 为线段 AM 中点,PF∥AQ',∴ .

【点评】 : 本小题主要考查直线、椭圆等基础知识、向量共线定理,考查推理论证能力、运 算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想,属 于难题. 20. (14 分) (2015?福州一模)已知函数 f(x)=a ﹣a?x,a≥e,e=2.71828…为自然对数的底 数. (Ⅰ)当 a=e 时,求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;
x

(Ⅱ)设 n∈N ,比较 的大小,并加以证明.

*

lna 与 ln(a﹣1)+ln(2a﹣1)+ln(3a﹣1)+…+ln(na﹣1)

【考点】 : 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】 : 综合题;导数的综合应用. 【分析】 : (Ⅰ)当 a=e 时,求导数,确定切线的斜率,即可求函数 f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线方程; (Ⅱ) lna>ln(a﹣1)+ln(2a﹣1)+ln(3a﹣1)+…+ln(na﹣1) ,利用分析法进行
n

证明,关键证明 a >na﹣1. x 【解析】 : 解: (Ⅰ)∵a=e 时,f(x)=e ﹣ex, x ∴f′ (x)=e ﹣e, ∴f′ (1)=0,f(1)=0, 于是 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=0.

(Ⅱ)

lna>ln(a﹣1)+ln(2a﹣1)+ln(3a﹣1)+…+ln(na﹣1) ,

理由如下:因为 a≥e, 欲证 lna>ln(a﹣1)+ln(2a﹣1)+ln(3a﹣1)+…+ln(na﹣1)成立, >(a﹣1) (2a﹣1) (3a﹣1)…(na﹣1) ,
n

只需证

只需证 a >na﹣1. 构造函数 ,则 g′ (x)= .

因为 a≥e,所以 lna≥1. 令 g′ (x)>0,得 x< ;g′ (x)<0,得 x> )单调递增;在( .所以 . ,+∞)上单调递减. ≤ ,

所以函数 g(x)在(﹣∞, 所以函数 g(x)的最大值为
x﹣1

所以
x


x﹣1

,即 a

≥e(x﹣1)lna,则

a ﹣ax+1=a[a ﹣(x﹣1)]+1﹣a≥a[e(x﹣1)lna﹣(x﹣1)]+1﹣a >a[2(x﹣1)﹣(x﹣1)]+1﹣a=a(x﹣2)+1>0, x 所以 a >ax﹣1. n 取 x=n,得 a >na﹣1 成立. 所以当 a≥e 时, lna>ln(a﹣1)+ln(2a﹣1)+ln(3a﹣1)+…+ln(na﹣1)成立.

【点评】 : 本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用(单调性、最值) 、用点斜式求直线 方程、比较不等式、证明不等式、数学归纳法等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能 力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、有限与无限思想等. 四、选做题(本题有 21、22、23 三个选考题,请考生任选 2 题作答.若多做,则按所做的前 两题计分) 【选修 4-2:矩阵与变换】
﹣1

21. (7 分) (2015?福州一模)已知矩阵 A 的逆矩阵 A =



(Ⅰ)求矩阵 A; (Ⅱ)求曲线 xy=1 在矩阵 A 所对应的线性变换作用下所得的曲线方程. 【考点】 : 逆变换与逆矩阵;几种特殊的矩阵变换;逆矩阵与投影变换. 【专题】 : 矩阵和变换. 【分析】 : (Ⅰ)直接计算即可; (Ⅱ)先设 xy=1 上任意一点(x,y)在矩阵 A 所对应的线性变换作用下的像为点(x′ ,y′ ) , 然后计算即可. 【解析】 : 解: (Ⅰ)因为矩阵 A 是矩阵 A 且
﹣1

的逆矩阵, ,

所以



(Ⅱ)设 xy=1 上任意一点(x,y)在矩阵 A 所对应的线性变换作用下的像为点(x′ ,y′ ) ,





由此得
2 2



代入方程 xy=1,得 y′﹣x′=2. 2 2 所以 xy=1 在矩阵 A 所对应的线性变换作用下的曲线方程为 y ﹣x =2. 【点评】 : 本小题主要考查矩阵及其逆矩阵、求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线 的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 22. (7 分) (2015?福州一模)已知曲线 C1 的参数方程为 直角坐标系中,以坐 (α 为参数) .在平面

标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ+ =2 . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) .



【考点】 : 简单曲线的极坐标方程. 【专题】 : 坐标系和参数方程. 2 2 【分析】 : (Ⅰ)利用 cos α+sin α=1 将曲线 C1 的参数方程消去参数 α,即可得出 C1 的普通 方程.将 代入上述方程即可得出极坐标方程. ) =2 , 展开为 =2 ,

(Ⅱ) 由曲线 C2 的极坐标方程 ρcos (θ+

即可得直角坐标方程,与圆的方程联立即可得出交点坐标. 【解析】 : 解: (Ⅰ)将曲线 C1 的参数方程 ﹣2) +y =4, 2 2 ∴C1 的普通方程为:x +y ﹣4x=0. 将 代入上述方程可得 ρ ﹣4ρcosθ=0,
2 2 2

(α 为参数) .消去参数 α,得(x

∴C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (Ⅱ) 由曲线 C2 的极坐标方程 ρcos (θ+ 可得直角坐标方程得:x﹣y﹣4=0. 由 , ) =2 , 展开为 =2 ,

解得





∴C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(4,0) , (2,﹣2) . 可得极坐标分别为(4,0)或 .

【点评】 : 本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 23. (2015?福州一模)已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=x + (a>0)的最小值为 3. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求不等式|x﹣a|+|x+1|≤4 的解集. 【考点】 : 绝对值不等式的解法;基本不等式. 【专题】 : 不等式.
2

【分析】 : (Ⅰ)因为 a>0,x>0,得到 x + ≥3 即 x= 时等号成立,从而求出 a 的值;

2

=3

,当且仅当 x =

2



(Ⅱ)原不等式等价于





,解出即可.

【解析】 : 解: (Ⅰ)因为 a>0,x>0,根据三个正数的算术﹣几何平均不等式,得 f(x)=x + =x +
2 2

+

≥3

=3

,当且仅当 x =

2

,即 x=

时等号成立,

又因为函数 f(x)的最小值为 3,所以 3

=3, (a>0) ,

解得:a=2. (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得:|x﹣2|+|x+1|≤4. 原不等式等价于 或 或 ,

解得﹣ ≤x≤ .所以原不等式解集为{x|﹣ ≤x≤ }. 解法二:由(Ⅰ)得:|x﹣2|+|x+1|≤4. 由绝对值的几何意义, 可知该不等式即求数轴上到点 2 和点﹣1 的距离之和不大于 4 的点的集 合. 故原不等式解集为{x|﹣ ≤x≤ }. 【点评】 : 本小题主要考查平均值不等式、解含有绝对值号的不等式等基础知识,考查推理 论证能力,考查化归与转化思想.


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