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2014年全国高考理科数学试题及答案-辽宁卷


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A ? B) ? ( A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} ) D. {x | 0 ? x ? 1} )

2. 设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 3. 已知 a ? 2
? 1 3

B. 2 ? 3i , b ? log 2

C. 3 ? 2i

D. 3 ? 2 i ) D. c ? b ? a )

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

4. 已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m / /? , n / /? , 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /?

B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

5. 设 a, b, c 是非零向量,学科 网已知命题 P:若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q:若

? ??

? ?

? ?

? ?

? ? ? ?? ? a / /b, b / /c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是(
A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q)



D. p ? (?q)

6. 6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不 相邻的做法种数为( A.144 B.120 ) C.72 D.24

7. 某几何体三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( )

8 ? 2? A.

8?? B.

8? C.

? 2

8? D.

? 4

8. 设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

aa



9. 将函数 y ? 3sin(2 x ? A.在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

, ] 上单调递减 12 12 ? 7? ] 上单调递增 B.在区间 [ , 12 12
C.在区间 [ ? D.在区间 [ ?

? 7?

? 个单位长度,所得图象对应的函数( 2



? ? ? ?

, ] 上单调递减 6 3 , ] 上单调递增 6 3

10. 已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y 2 ? 2 px 的准线上,学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象限相切 于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. )

1 2

B.

2 3

C.

3 4
3

D.
2

4 3


11. 当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3] B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

12. 已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x ? y |. 2


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为( A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 执行右侧的程序框图,若输入 x ? 9 ,则输出 y ? .

14. 正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分 别在抛物线 y ? ? x2 和 y ? x2 上,如图所示,若将一个质点 随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率 是 .

15. 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 9 4
.

关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? 16. 对于 c ? 0 ,当非零实数 a,b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b | 最大时,
2 2

3 4 5 ? ? a b c

的最小值为

.

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 ,cos B ? 求: (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. 18. (本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:

??? ? ??? ?

1 ,b ? 3 , 3

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.

(1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个 的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E ( X ) 及 方差 D( X ) . 19. (本小题满分 12 分) 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且

AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 1200 ,E、F 分
别为 AC、DC 的中点. (1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切 点为 P(如图) ,双曲线 C1 : (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与

x2 y 2 ? ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a 2 b2

C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径的圆心过点 P,求 l 的方
程.

21. (本小题满分 12 分)

8 3 2x g ( x) ? 3( x ? x) cos x ? 4(1 ? sin x) ln(3 ? ) .
证明: (1)存在唯一 x0 ? (0, (2)存在唯一 x1 ? (

已知函数 f ( x) ? (cos x ? x)(? ? 2 x) ? (sin x ? 1) ,

?
2

?

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ? x1 ? ? .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,EP 交圆于 E、C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点 且 PG ? PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂 足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x 2 ? y 2 ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极

l 坐标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程.
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ?1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解 集为 N. (1)求 M;
2 2 (2)当 x ? M ? N 时,证明: x f ( x) ? x[ f ( x)] ?

1 . 4

参考答案
一、选择题 1.D 7.B 二、填空题 13. 2.A 8.C 3.C 9.B 4.B 10.D 5.A 11.C 6.D 12.B

29 9

14.

2 3

15. 12

16. -2

三、解答题 17.解: (Ⅰ)由 BA ? BC ? 2 得 c ? a cos B ? 2 ,又 cos B ? 由余弦定理,得 a ? c ? b ? 2ac cos B
2 2 2

??? ? ??? ?

1 ,所以 ac ? 6 , 3

又 b ? 3 ,所以 a ? c ? 9 ? 2 ? 2 ? 13
2 2

解?

?ac ? 6
2 2 ?a ? c ? 13

,得 a ? 2, c ? 3 或 a ? 3, c ? 2

因为 a ? c ,所以 a ? 3, c ? 2 (Ⅱ)在 ?ABC 中, sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ?
2 2

1 3

2 2 3

由正弦定理,得 sin C ?

c 2 2 2 4 2 sin B ? ? ? b 3 3 9

因 a ? b ? c ,所以 C 为锐角,因此 cos C ? 1 ? sin 2 C ? 1 ? ( 于是

4 2 2 7 ) ? 9 9

cos( B ? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C

1 7 2 2 4 2 23 ? ? ? ? ? 3 9 3 9 27
18.解:

(Ⅰ)设 A , A2 表示事件“日销售量低于 50 个” , B 表示事 1 表示事件“日销售量不低于 100 个” 件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50 个” ,因此

P( A1 ) ? (0.006 ? 0.004 ? 0.002) ? 50 ? 0.6 P( A2 ) ? 0.003? 50 ? 0.15
P( B) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.15 ? 2 ? 0.108
(Ⅱ) X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为
0 P( X ? 0) ? C3 ? (1 ? 0.6)3 ? 0.064 , 1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6)2 ? 0.288 , 2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? (1 ? 0.6) ? 0.432 , 3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.63 ? 0.216 ,

分布列为

X
P

0 0.064

1 0.288

2 0.432

3 0.216

因为 X ? B(3, 0.6) , 所以期望 E ( X ) ? 3 ? 0.6 ? 1.8 , 方差 D( X ) ? 3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? 0.72 19.(Ⅰ)证明: 方法一:过点 E 做 EO ? BC ,垂足为 O ,连接 OF 由 ?ABC ? ?DBC 可证出 ?EOC ? ?FOC , 所以 ?EOC ? ?FOC ?

?
2

,即 FO ? BC

又 EO ? BC , EO ? FO ? O , 所以 BC ? 平面 EFO ,又 EF ? 平面 EFO , 所以 方法二: 由题意, 以 B 为坐标原点, 在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线,并将其作为 x 轴, BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线, 并将其作为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得

B(0, 0, 0) , A(0, ?1, 3) , D( 3, ?1,0) ,C (0, 2,0) ,
因而 E (0, ,

3 1 1 3 ) , F ( , , 0) , 2 2 2 2

所以 EF ? (

??? ?

??? ? 3 3 , 0, ? ) , BC ? (0, 2,0) , 2 2

因此 EF ? BC ? 0 从而 EF ? BC ,所以 EF ? BC (Ⅱ)方法一:在图 1 中,过点 O 做 OG ? BF ,垂足为 G,连接 EG,因为平面 ABC ? 平面 BDC , 所以 EO ? 面 BDC ,又 OG ? BF ,所以由三垂线定理知 EG ? BF , 因此 ?EGO 为二面角 E ? BF ? C 的平面角 在 ?EOC 中, EO ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

1 1 3 EC ? BC ? cos 30? ? 2 2 2 BO 3 , ? FC ? BC 4

由 ?BGO ? ?BFC 知, OG ? 因此 tan ?EGO ?

EO ?2 OG

从而得 sin ?EGO ?

2 5 5 2 5 5

即二面角 E ? BF ? C 的正弦值为

方法二:在图 2 中,平面 BFC 的一个法向量为 n1 (0,0,1) 设平面 BEF 的法向量 n2 ( x, y, z) ,

??? ? 3 1 1 3 , , 0), BE ? (0, , ) , 2 2 2 2 ??? ? ? ? n2 ? BF ? 0, 所以 ? 得其中一个 n2 ? (1, ? 3,1) ??? ? n ? BE ? 0, ? ? 2
又 BF ? ( 设二面角 E ? BF ? C 的大小为 ? ,且由题知 ? 为锐角,

??? ?

则 cos ? ?| cos ? n1 , n2 ?|?

n1 ? n2 1 ? | n1 || n2 | 5

因此 sin ? ? 20.解:

2 5 2 5 ,即所求二面角 E ? BF ? C 的正弦值为 5 5

(Ⅰ)设切点坐标为 ( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) ,则切线斜率为 ?

x0 , y0

切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? y0 y ? 4 ,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围 y0

成的三角形面积为 S ?

1 4 4 8 , ? ? ? 2 x0 y0 x0 y0

由 x02 ? y02 ? 4 ? 2x0 y0 知,当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 有最大值,即 S 有最小值,因此 点 P 的坐标为 ( 2, 2)

?2 2 ? ? ?1 由题意知, ? a 2 b 2 ?a 2 ? b 2 ? 3a 2 ?
解得 a ? 1, b ? 2 ,故 C1 的方程为
2 2

x2 ?

y2 ?1 2

x2 y2 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 C2 的焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) , 由此设 C2 的方程为 其中 b1 ? 0 ? ?1, 3 ? b12 b12
由 P( 2, 2) 在 C2 上,得

2 2 ? 2 ?1 2 3 ? b1 b1
解得 b12 ? 3 ,因此 C2 方程为

x2 y 2 ? ?1 6 3

显然, l 不是直线 y ? 0 ,设 l 的方程为 x ? my ? 3 ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? x ? my ? 3 ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6
得 (m2 ? 2) y2 ? 2 3my ? 3 ? 0 ,又 y1 , y2 是方程的根,因此

? 2 2m y1 ? y2 ? ? 2 ? ? m ?2 ? ? y y ? ?3 1 2 ? m2 ? 2 ?
由 x1 ? my1 ? 3, x2 ? my2 ? 3 ,得



? 4 3 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? 2 ? ? m ?2 ② ? 2 ? x x ? m2 y y ? 3m( y ? y ) ? 3 ? 6 ? 6m 1 2 1 2 1 2 ? m2 ? 2 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 因 AP ? ( 2 ? x1, 2 ? y1 ), BP ? ( 2 ? x2 , 2 ? y2 ) ,由题意知 AP ? BP ? 0 ,所以

x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0
将①②代入③式整理得



2m2 ? 2 6m ? 4 6 ?11 ? 0
解得 m ?

3 6 3 6 ? 1,因此直线 l 的方程为 ?1或 m ? ? 2 2 x?( 3 6 3 6 ? 1) y ? 3 ? 0 或 x ? ( ? 1) y ? 3 ? 0 2 2
2 ? cos x ? 0,函数 f ( x) 在 (0, ) 上为 3 2

21.证明: (Ⅰ)当 x ? (0,

?
2

) 时, f ?( x) ? ?(1 ? sin x )(? ? 2x ) ? 2x ?

8 ? 16 ? ? 0, f ( ) ? ?? 2 ? ? 0 ,所以存在唯一 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? 0 3 2 3 2 3( x ? ? ) cos x 2 ? ? 4 ln(3 ? x), x ? [ , ? ] (Ⅱ)考虑函数 h( x) ? 1 ? sin x ? 2
减函数,又 f (0) ? ? ?

令 t ? ? ? x ,则 x ? [ 记 u (t ) ? h(? ? t ) ?

?

, ? ] 时, t ? [0, ] 2 2

?

3t cos t 2 3 f (t ) ? 4 ln(1 ? t ) ,则 u?(t ) ? 1 ? sin t ? (? ? 2t )(1 ? sin t )

由(Ⅰ)得,当 t ? (0, x0 ) 时, u?(t ) ? 0 ,当 t ? ( x0 ,

?
2

) 时, u?(t ) ? 0

在 (0, x0 ) 上 u(t ) 是增函数,又 u (0) ? 0 ,从而当 t ? (0, x0 ] 时, u(t ) ? 0 ,所以 u(t ) 在 (0, x0 ] 上无零点 在 ( x0 ,

?

) 上 u(t ) 是减函数,由 u ( x0 ) ? 0, u ( ) ? ? 4 ln 2? 0,知存在唯一 t1 ? ( x0 , ) ,使 2 2 2

?

?

u(t1 ) ? 0
所以存在唯一的 t1 ? (0,

?
2

) ,使 u(t1 ) ? 0

因此存在唯一的 x1 ? ? ? t1 ? ( 因为当 x ? ( 在唯一的 x1 ? (

?
2

, ? ) ,使 h( x1 ) ? h(? ? t1 ) ? u(t1 ) ? 0

?
2

, ? ) 时,1 ? sin x ? 0 ,故 g (x) ? (1 ?sin x )h (x ) 与 h( x) 有相同的零点,所以存

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0

因 x1 ? ? ? t1 , t1 ? x0 ,所以 x0 ? x1 ? ? 22.证明: (Ⅰ)因为 PD ? PG ,所以 ?PDG ? ?PGD 由于 PD 为切线,故 ?PDA ? ?DBA ,又由于 ?PGD ? ?EGA ,故 ?DBA ? ?EGA , 所以 ?DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD ,从而 ?BDA ? ?PFA
? ? 由于 AF ? EP ,所以 ?PFA ? 90 ,于是 ?BDA ? 90 ,故 AB 是直径。

(Ⅱ)连接 BC , DC 由于 AB 是直径,故 ?BDA ? ?ACB ? 90
?

, AC ? 在 Rt ?BDA 与 Rt ?ACB 中 , A B ? B A
R t? B D A ? R? t AC B ?DAB ? ?CBA ,于是

BD ,从而

由因为 ?DCB ? ?DAB ,所以 ?DCB ? ?CBA ,故 DC // AB

由于 AB ? EP ,所以 DC ? EP , ?DCE 为直角。 于是 ED 为直径,由(Ⅰ)得 ED ? AB 23.解: (Ⅰ)设 ( x1 , y1 ) 为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点 ( x, y ) ,依题意,得 ?

? x ? x1 ? y ? 2 y1

2 由 x12 ? y12 ? 1得 x ? ( ) ? 1 ,即曲线 C 的方程为 x ?
2 2

y 2

y2 ?1 4

故 C 的参数方程为 ?

? x ? cos t ( t 为参数) ? y ? 2sin t

? 2 y2 ?x ? 1 ?x ? 0 ?1 ?x ? (Ⅱ)由 ? 解得: ? ,或 ? 4 ?y ? 0 ?y ? 2 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
不妨设 P 1 2 的中点坐标为 ( ,1) ,所求直线斜率为 k ? 1 (1,0), P 2 (0, 2) ,则线段 PP 直线方程为 y ? 1 ?

1 2

1 ,于是所求 2

1 1 (x ? ) , 2 2 3 4sin ? ? 2 cos ?

化为极坐标方程,并整理得

2? cos ? ? 4? sin ? ? ?3 ,即 ? ?
24.解: (Ⅰ) f ( x) ? ?

?3x ? 3, x ?[1, ??) , ?1 ? x, x ? (??,1)
4 4 ,故 1 ? x ? ; 3 3

当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 3x ? 3 ? 1 得 x ?

当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 1 ? x ? 1 得 x ? 0 ,故 0 ? x ? 1 所以 f ( x) ? 1 的解集为 M ? {x | 0 ? x ? }
2 (Ⅱ)由 g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ? 4 得 16( x ? ) ? 4 ,解得 ?
2

4 3

1 4

1 3 ?x? 4 4

因此 N ? {x | ?

1 3 3 ? x ? } ,故 M ? N ? {x | 0 ? x ? } 4 4 4

当 x ? M ? N 时, f ( x) ? 1 ? x ,于是

x2 f ( x) ? x ?[ f ( x)]2 ? xf ( x)[ x ? f ( x)]
? x ? f ( x) ? x(1 ? x) ? 1 1 1 ? ( x ? )2 ? 4 2 4


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