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2015


准考证号

姓名

(在此卷上答题无效)

2015 年福建省高等职业教育入学考试

数学试卷
(面向普通高中考生)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, . 考试时间 120 分钟, 满分 150 分. 注意事项: 1.答题前,考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己准考证号、姓名.考生要 认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题 卡上书写作答.在试卷上作答,答案无效. 3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束,考生必须将试卷和答题卡一 并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,..., xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 70 分)

一.单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.在每小题给出的四个备选答案 中,选出一个正确答案,并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑)

第 1 页 共 10 页

1.设集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?1,2? ,则 A A. ?1? B. ?1,3,5?

B 等于(

) D. ?1,2,3,5?

C. ?2,3,5? )

2.函数 f ( x) ? log2 x 的图象大致为(

A

B

C )

D

3.已知向量 a ? (1, 0) , b ? (1, 2) ,则 a ? b 的值为( A. ?1 4.已知 f ( x) ? 3sin(3 x ? A. B.0 C.1 ) C. 3?

D.2

?
4

) 的最小正周期是(
B.

? 3

2? 3


D. 6?

5.下列几何体是棱柱的是(

A
2 2

B )

C

D

6.圆 x ? y ? 2 x ? 0 的圆心坐标为( A.(1 , 0 )

B.( 2 , 0 )

C.( 0 , 1 ) )

D.( 0 , 2 )

7.若 x, y ? R ,则“ x ? 0 且 y ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 8.椭圆

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( 2
A.

1 2
x

B.

3 2

C. )

2 2

D.

3 4

9.已知函数 f ( x) ? 2 ? x 的零点所在区间是( A. (?2, ?1) B. (?1, 0)

C. (0 ,1)

D. (1 , 2)

第 2 页 共 10 页

? x ?1 ? 10.设 x, y 满足束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? ? x ? y 的最大值等于( ?y ?1 ?
A. ?2 B. ?1 C.0 D.1



11.在△ABC 的内角 A ? 300 , AC ? 2 , AB ? 3 ,则 BC 等于( A.1 B. 2 C. 3 D.2



12.如图, 在正方形 ABCD 中, 以对角线 AC 和 BD 的交点 O 为圆心作圆 O, 若在正方形 ABCD 内, 随机取一个点,则此点取自于阴影部分的概率是( A. ) D.

1 4

B.

1 3

C.

1 2


3 4

13.函数 f ( x ) ? x ? A.2

4 ? 1 ( x ? 0 )的最小值是( x
B.3 C.4

D.5

14.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且不等式 f (m? 2x) ? f ( x2 ) 对 x ? R 恒成立的取 值范围是( ) B. (??, ?1] C. (1, ??) D. [1, ??)

A. (??, ?1)

第 II 卷(非选择题

共 80 分)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上) 15. (1 ? i)(1 ? i) ? ;

16. 在一次抽样调查中, 采用分层抽样选取样本, 其中男生 28 人, 女生 21 人, 共抽取 7 人, 则女生抽取________人; 17.已知函数 f ( x) ? ?

? x( x ? 4) , x ? 0 ,则 f (3) ? ? x( x ? 4) ,x ? 0
3



18.一个圆柱体的体积为 128? cm 的易拉罐有上.下底面,求高为

时用的材料最少.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
第 3 页 共 10 页

19. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2cos2 x ?1 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

4

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值.

20. (本小题满分 8 分) 已知等差数列 {an } 中, a1 ? 1, S3 ? 6 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 2an ,求 b1 ? b2 ? b3 ?

? b5 的值.

21. (本小题满分 10 分) 右图是某公司 5 个销售店某月销售某机器的数量(单位:台)的茎叶图. (Ⅰ)求该公司 5 个销售店当月销售这种机器的平均台数; (Ⅱ)该公司为提高销售业绩,从 5 个销售店中随机抽取 2 个进行分析,求抽到的 2 个销售 店该月的销售量均高于平均数的概率.

2 4 6 3 2 3 5
22. (本小题满分 10 分)
第 4 页 共 10 页

设直线 l 过抛物线 ? : y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F ,且与抛物线 ? 相交于 A,B 两点, 其中点 A(4, 4) . (Ⅰ)求抛物线 ? 的方程; (Ⅱ)求线段 AB 的长.

23. (本小题满分 12 分) 某实心零件是一几何体,其三视图如图(单位:毫米, ? 取 3.14 ). (Ⅰ)求该零件的表面积; (Ⅱ)电镀这种零件需要用锌,已知每平方毫米用锌 1.1?10 克,问电镀 10000 个零件 需要用锌多少克?
?4

10 20 20

正视图

侧视图

20
俯视图

24.(本小题满分 12 分)

第 5 页 共 10 页

已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax ? 1 ,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切线与 y 轴垂直 3

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最大值; (III)是否存在实数 k ,使得直线 y ? k ( x ? 1) ? 存在,求 k 的范围;若不存在,说明理由.

4 与曲线 y ? f ( x) 有三个交点?若 3

第 6 页 共 10 页

2015 年福建省高等职业教育入学考试

数学试卷答案及评分参考
(面向普通高中考生) 一、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. D 8. C 2. B 9. B 3. C 10. D 4. B 5. B 6. A 7. A 14. A

11. A 12. C 13. D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 15.2 16.3 17.21 18.8cm

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x ? 2cos2 x ?1 ,

? sin 2 x ? cos 2 x
? 2 sin(2 x ? ) . 4 2 sin(2 ? 3? 4

……………………………………………2 分 …………………………………4 分

?

所以 f ( ) ?

?

?

4

4

?

?

4

)

? 2 sin
?1
(Ⅱ)因为 f ( x) ? 所以

……………………………………………6 分

2 sin(2 x ? ) 4

?

x ? R, f ( x)max ? 2 ……………………………………………8 分
{an } 的公差为 d ,则

20. 解: (Ⅰ)设等差数列

a1 ? 1, S3 ? a1 ? ? a1 ? d ? ? ? a1 ? 2d ? ? 6
解得 所以

d ?1

?????????????????2 分 ?????????????????4 分

an ? a1 ? ? n ?1? d ? n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

an ? n , bn ? 2an ,得
, b5 ? 2a5 ? 32,
?????????????6 分

b1 ? 2a1 ? 2, b2 ? 2a2 ? 4,

第 7 页 共 10 页

?b1 ? b2 ? b3 ?

? b5 ? 2 ? 4 ?

? 32 ? 62

?????????????8 分

21. 解: (Ⅰ)该公司 5 个销售店当月销售这种机器的平均台数为

1 (24 ? 26 ? 5

3? 2

3 ?3

3? 5 )台 3 0

…………………………………..4 分

(Ⅱ)设 5 个销售店中低于平均数的数量为 a1 、a2 ,高于平均数的数量分别为

b1 、b2、b3,则从 5 个销售店中随机抽取 2 个进行分析的可能情况为

? a1 ,

a2 ?、 ? a1 , b1 ?、 ? a1 , b2 ?、 ? a1 , b3 ?、 ? a2 , b1 ? 、

? a2 , b2 ?、 ? a2 , b3 ?、 ?b1 , b2 ?、 ?b1 , b3 ?、 ?b2 , b3 ?

共 10 种情况,

…………………………………..6 分 记“从 5 个销售店中随机抽取 2 个进行分析,求抽到的 2 个销售店该月的销售量均 高于平均数”为事件 A ,则可能的情况为

?b1 , b2 ?、 ?b1 , b3 ?、 ?b2 , b3 ?
所以 P ( A) ?

共 3 种,

…………………………………..8 分 …………………………………..10 分
2

3 . 10

22. 解: (Ⅰ)把点 A(4, 4) 代入抛物线 ? : y ? 2 px

得 ………………………..2 分

42 ? 2 p ? 4
解得 p ? 2

? y2 ? 4x
(Ⅱ)直线 AB 的方程为

………………………..4 分

y?4 x?4 ? ,化简得 0 ? 4 1? 4
…………………………………..6 分

4x ? 3 y ? 4 ? 0
与抛物线方程 y ? 4 x 联立可得
2

4 x2 ? 17 x ? 4 ? 0
设点 B 的坐标为 ? xB , yB ? ,则 4 ? xB ?

………………………………….8 分

17 4

第 8 页 共 10 页

所以 AB ?

17 25 ?p? 4 4 25 线段 AB 的长为 . 4

………………………………….10 分

23.解: (Ⅰ)由三视图可得该几何体是一个棱长为 20 毫米的正方体 上面放置了一个半径 10 毫米的半球 ………………………..3 分 所以其表面积 S 为

s ? 6 ? 20 ? 20 ? 2? ?10 ?10 ? ? ?10 ?10 ? 2400 ? 100? ? 2086 mm2
………………………..6 分 (Ⅱ)10000 个这种零件的表面积为

10000 ? 2086 mm2 ? 2.086 ?107 mm2
……………..9 分 需要用锌为

2.086 ?107 ?1.1?10?4 ? 2.3?103 克
答:电镀 10000 个零件需要用锌 2.3 ?10 克. ………………………..12 分
3

24.解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) ? 所以 f ?( x) ? x 2 ? a

1 3 x ? ax ? 1 3
……………………….. 1 分

因为曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切线与 y 轴垂直 所以 f ?(1) ? 0 ,即 1 ? a ? 0 解得 a ? 1 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得函数 f ( x) ? ……………………..3 分

1 3 x ? x ? 1 , f ?( x) ? x2 ?1 3

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,列表如下

x
f ?( x )

?2

? ?2 , ?1?
+

?1
0

? ?1,1?
?

1
0

?1, 2?
+

2

第 9 页 共 10 页

f ( x)

1 3

递增

极大值

5 3

递减

极小值

1 3

递增

5 3

……………………………..7 分 由上表可知 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 (III)因为直线 y ? k ( x ? 1) ?

5 3

……………..8 分

4 4 经过定点直线 A(1, ? ) ,做示意图如右,可知当直线与 3 3
……………..10

曲线相切,或 k ? 0 或不存在时,直线与曲线有且仅有 1 个交点. 分 设直线 y ? k ( x ? 1) ?

4 与曲线相切于点 ? x0 , y0 ? ,则 3

y0 ? k ( x0 ? 1) ? y0 ?

4 , 3

1 3 x0 ? x0 ? 1 , 3

k ? x02 ?1
解得 k ? 3

从而存在实数 k ? ? 3 , ??? ,使得直线 y ? k ( x ? 1) ? 有三个交点.

4 与曲线 y ? f ( x) 3
………………..12 分

第 10 页 共 10 页



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