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解析几何(圆锥曲线)全国名校高中数学模拟试题汇编[1]


2009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编 圆锥曲线 1、 已知椭圆 C 过点 M (1,

6 ), F (? 2 ,0) 是椭圆的左焦点, Q 是椭圆 C 上的两个动点, P、 且|PF|、 |MF|、 2

|QF|成等差数列。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (3)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求|PB|的最小值及相应点 P 的坐标。

6 ? ?1 ?a 2 ? 4 x y ? ? ? 4 ?1 解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1,由已知,得 ? 2 ,解得 ? 2 2 a b a b ?b ? 2 ? ? 2 2 ?a ? b ? 2 ?
2 2

所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 (2)证明:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 。由椭圆的标准方程为 ? ? 1 ,可知 4 2
| PF |? ( x1 ? 2) 2 ? y12 ? ( x1 ? 2) 2 ? 2 ? x12 2 ? 2? x1 2 2

同理 | OF |? 2 ?

2 2 x2 ,| MF |? 2 ? ………4 分 2 2 2 2 ) ? 4? ( x1 ? x2 ) 2 2

∵ 2 | MF |?| PF | ? | QF | ,∴ 2(2 ? ∴ x1 ? x2 ? 2 …………5 分

? x12 ? 2 y12 ? 4 ? 2 2 ①当 x1 ? x2 时,由 ? 2 ,得 x12 ? x2 ? 2( y12 ? y2 ) ? 0 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 4 ?
从而有

y1 ? y2 1 x ?x ?? ? 1 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2
设线段 PQ 的中点为 N (1, n) ,由 k PQ ?

y1 ? y2 1 ?? …………6 分 x1 ? x2 2n

得线段 PQ 的中垂线方程为 y ? n ? 2n( x ? 1) …………7 分 ∴ (2 x ?1)n ? y ? 0 ,该直线恒过一定点 A( , 0) …………8 分 ②当 x1 ? x2 时, P (1, ?

1 2

6 6 ), Q(1, )或 2 2

P(1,

6 6 ), Q(1, ? ) 2 2

线段 PQ 的中垂线是 x 轴,也过点 A( , 0) ,

1 2

∴线段 PQ 的中垂线过点 A( , 0) (3)由 A( , 0) ,得 B(? , 0) 。 又 ?2 ? x1 ? 2, ?2 ? x2 ? 2 ,∴ x1 ? 2 ? x2 ? [0, 2]

1 2

1 2

1 2

x12 1 1 2 1 2 7 9 2 | PB | ? ( x1 ? ) ? y1 ? ( x1 ? ) ? 2 ? ? ( x1 ? 1) 2 ? ? … 2 2 2 2 4 4
2

∴ | PB |min ?

3 时,点 P 的坐标为 (0, ? 2) 2
3 x2 y2 , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e= 2 2 a b

2、如图,在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

左右两个焦分别为 F1、F2 .过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线与椭圆 C 相交 M、N 两点, 且|MN|=1 . (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 C 的左顶点为 A,下顶点为 B,动点 P 满足 PA ? AB ? m ? 4 ,( m ? R ) 试求点 P 的轨迹方程,使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 C 上. 解 : ( Ⅰ ) ∵ MF2 ? x 轴 , ∴ | MF2 |?

??? ??? ? ?

1 ,由椭圆的定义得: 2

| MF1 | ?

1 ? 2a 2


(2 分)
1 4

| MF1 |2 ? (2c) 2 ?





1 1 (2a ? )2 ? 4c 2 ? 2 4



(4 分) 又e ?

3 3 得 c2 ? a2 2 4

∴ 4a 2 ? 2a ? 3a 2 ,

?a ? 0

?a ? 2

∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 a 2 ? 1 , 4 ∴所求椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1.
4
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知点 A(-2,0),点 B 为(0,-1),设点 P 的坐标为 ( x, y ) 则 PA ? (?2 ? x, ? y ) , AB ? (2, ?1) , 由 PA ? AB ? m -4 得- 4 ? 2 x ? y ? m ? 4 , ∴点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? m . 设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 B '( x0 , y0 ) ,则由轴对称的性质可得:
y0 ? 1 x ?4 ? 4m 2m ? 3 1 y ?1 , , y0 ? ?? , 0 ? 2 ? 0 ? m ,解得: x0 ? 5 5 x0 2 2 2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

∵点 B '( x0 , y0 ) 在椭圆上,∴ (

?4 ? 4m 2 2m ? 3 2 ) ? 4( ) ?4, 5 5

整理得 2m2 ? m ? 3 ? 0 解得 m ? ?1 或 m ? ∴点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 或 y ? 2 x ? 经检验 y ? 2 x ? 1 和 y ? 2 x ?

3 2

3 , 2

3 都符合题设, 2

∴满足条件的点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 或

y ? 2x ?

3 . 2

(15 分)

x2 y2 3、椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆 C 上,且 a b

PF1 ? F1 F2 ,且 PF1 ?
(1)求椭圆 C 的方程.

4 14 , PF2 ? . 3 3

(2) 若直线 l 过圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M , 交椭圆 C 于 A 、B 两点, A 、B 且 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 解:(1) F1 F2
2

? 20

? F1 F2 ? 2 5 ? 2c ? c ? 5
又 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ? a ? 3

x2 y2 ? 椭圆C : ? ?1 9 4
? y ? k ?x ? 2? ? 1 ? ? ?4 ? 9k ?x 2 ? 36 k 2 ? 18k ? 36 k 2 ? 36 k ? 27 ? 0 (2) ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?9

?

?

? A、B关于M对称

x1 ? x2 18k 2 ? 9k 8 ? ?? ? ?2 ? k ? 2 2 9 4 ? 9k

?l : y ?

8 ?x ? 2? ? 1 即 8x ? 9 y ? 25 ? 0 9

4、在直角坐标平面内,已知点 A(2,0), B(?2,0) , P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 斜率之积为 ?

3 . 4

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 ( , 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线

1 2

MA 的斜率 k 的取值范围.
解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为 (x, y ) ,依题意,有

y y 3 ? ? ? ( x ? ?2) . x?2 x?2 4
化简并整理,得

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3
∴动点 P 的轨迹 C 的方程是

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

(Ⅱ)解法一:依题意,直线 l 过点 (

1 , 0 )且 斜 率 不 为 零 , 故 可 设 其 方 程 为 2

1 x ? my ? , ………6 分 2
由方程组

1 ? x ? my ? ? ? 2 ? 2 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

消去 x ,并整理得

4(3m2 ? 4) y 2 ? 12my ? 45 ? 0
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) ,则

? y1 ? y2 ? ?
∴ y0 ?

3m 3m2 ? 4

y1 ? y2 3m ?? 2 2(3m2 ? 4)

∴ x0 ? my0 ?

1 2 , ? 2 2 3m ? 4

?k ?

y0 m ? , x0 ? 2 4m 2 ? 4

(1)当 m ? 0 时, k ? 0 ; (2)当 m ? 0 时,

k?

1 4m ? 4 m

?| 4m ?

4 4 |? 4 | m | ? ?8 m |m|
1 ? 1 . 8

?0 ?

4m ?

4 m

? 0 ?| k |?

1 . 8 1 1 ?? ? k ? 且k ? 0 . 8 8
综合(1)、(2)可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是: ? 解法二:依题意,直线 l 过点 ( ,0) 且斜率不为零.

1 1 ? k ? .……………… 14 分 8 8

1 2

(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时, M 点的坐标为 ( , 0) ,此时, k ? 0 ; (2) 当直线 l 的斜率存在且不为零时,设直线 l 方程为 y ? m( x ? ) , (3) 由方程组

1 2

…………6 分

1 2

1 ? ? y ? m( x ? 2 ) ? ? 2 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

消去 y ,并整理得

(3 ? 4m2 ) x 2 ? 4m2 x ? m2 ? 12 ? 0
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) ,则

? x1 ? x2 ?

4m 2 3 ? 4m 2

x1 ? x2 2m 2 ? ∴ x0 ? 2 3 ? 4m 2
1 3m ? y0 ? m( x0 ? ? ? ) ? ? , 2 2(3 ? 4m2 )

?k ?

y0 m ? ? x0 ? 2 4m2 ? 4

1 1 4(m ? ) m

(m ? 0) ,

?| m ?

1 1 |?| m | ? ?2 m |m|

1 . 8 1 ? 0 ?| k |? . 8 1 1 ?? ? k ? 且k ? 0 . 8 8 ? 0 ?| k |?
综合(1)、(2)可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是: ?

1 1 ?k? . 8 8

5、在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1, ? a2 b2

F2. 2 也是抛物线 C2:y 2 ? 4 x 的焦点, M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点, F 点 且|MF2| =

5 . 3

(Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ)平面上的点 N 满足 MN ? MF1 ? MF2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A,B 两点,

OB 若 OA? ? 0 ,求直线 l 的方程.
, 解:(Ⅰ)由 C2 : y 2 ? 4 x 知 F2 (1 0) .
设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ?

??? ??? ? ?

2 6 5 5 2 ,所以 x1 ? 1 ? ,得 x1 ? , y1 ? . 3 3 3 3

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?
消去 b 2 并整理得

1 9a 4 ? 37a 2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a ? 不合题意,舍去). 3
x2 y2 ? ? 1. 4 3
???? ?

故椭圆 C1 的方程为

(Ⅱ)由 MF1 ? MF2 ? MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

???? ???? ? ?

2 6 故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 .设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) . 2 3
由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? ? y ? 6( x ? m), ?

消去 y 并化简得

9 x2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .

设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ?

8m 2 ? 4 16m , x1 x2 ? . 9 9

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

??? ?

??? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2

8m2 ? 4 16m 1 ? 7? ? 6m? ? 6m2 ? (14m2 ? 28) ? 0 . 9 9 9
所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m)2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 .

6、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1, ,P 是其右支上任一点,F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点, 3 9

Q 是 P F1 上的点,N 是 F2Q 上的一点。且有 PN ? F2 N ? 0, F2 N ? NQ. 求 Q 点的轨迹方程。

解:由已知得c ? 2 3 ? F1 (?2 3, 0), F2 (2 3, 0) ??? 2分 ? PN 垂直平分F2Q 由双曲线的定义得 P F1 ? P F2 ? 2 3. ? F1 Q ? 2 3 ??? 4分 ? Q的轨迹是以F1为圆心,半径为2 3的一段圆弧。 ???8分 ? 渐进线为y ? ? 3 x,过F1作与y ? 3x平行的直线与圆弧在第二象限 的交点为( 3,3) ??10分 ? Q的轨迹方程为 x ? 2 3

?

?

2

? y 2 ? 12.( ? 3 ? x ? 0) ? ??12分
??? ??? ? ?

t 7、已知在平面直角坐标系 xoy 中,向量 j ? (0,1), ?OFP的面积为2 3 ,且 OF ?FP ? ,

???? ? ? 3 ??? ? OM ? OP ? j .(1)设 4 ? t ? 4 3, 求向量OF与FP的夹角? 的取值范围; 3
(2)设以原点 O 为中心,对称轴在坐标轴上,以 F 为右焦点的椭圆经过点 M,且

| OF |? c, t ? ( 3 ? 1)c 2 ,当 | OP | 取最小值时,求椭圆的方程.
解:(1)由 2 3 ? 1 | OF | ? | FP | ? sin ? , 得 | OF | ? | FP |? 4 3 ,由 cos? ? OF ? FP ? t sin ? ,
2 sin ? | OF | ? | FP | 4 3

得 tan? ? 4 3 .
t

?4 ? t ? 4 3

?1 ? tan? ? 3

?? ? [0, ? ] ∴夹角 ? 的取值范围是(

? ?

, ) 4 3

(2) 设P( x0 , y 0 ), 则FP( x0 ? c, y 0 ), OF ? (c,0).

? OF ? FP ? ( x0 ? c, y 0 ) ? (c,0) ? ( x0 ? c)c ? t ? ( 3 ? 1)c 2

? x0 ? 3c

S ?OFP
?| OP |?

4 3 ?0 1 4 3 4 3 ? | OF | ? | y 0 |? 2 3 ? y 0 ? ? 又由 c ? , 得x0 ? 3c 2 c x0 ? c ( 3 ? 1)c 2
4 3 2 4 3 ) ? 2 3c ? ?2 6 c c

2 2 x0 ? y 0 ? (3c) 2 ? (

∴当且仅当 3c ?
?OM ?

4 3 ,即c ? 2时, | OP | 取最小值2 6 , 此时, OP ? (2 3,2 3 ) c

3 (2 3,2 3 ) ? (0,1) ? (2,3) 3

椭圆长轴 2a ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 8 故所求椭圆方程为

? a ? 4, b 2 ? 12

x2 y2 ? ? 1. 16 12
2 ,椭圆上的点到焦点的 2

8、椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e =

最短距离为 1-

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 2

?? ? ?? ? AP =? PB .
(1)求椭圆方程; (2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围. 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c =a -b ,由条件知 a-c= ∴a=1,b=c= 2 , 2

?? ?

?? ?

?? ?

y2 x2 a b

2

2

2

2 c 2 ,= , 2 a 2

故 C 的方程为:y2+ =1 1 2 → → (2)由AP =λ PB , OA+? OB = 4OP → → ∴λ +1=4,λ =3 或 O 点与 P 点重合OP = 0 → → 当 O 点与 P 点重合OP = 0 时,m=0 当 λ =3 时,直线 l 与 y 轴相交,则斜率存在。 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) B(x2,y2) ,

x2

5′

?? ?

?? ?

?? ?

7′

?y=kx+m ? 2 2 ?2x +y =1

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ =(2km)2-4(k2+2) m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) (

x1+x2=

-2km m2-1 , x1x2= 2 2 k +2 k +2

11′

?x1+x2=-2x2 → ∵ AP =3PB ∴-x1=3x2 ∴? ?x1x2=-3x2 2

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0 1 1 2-2m2 2 2 m = 时,上式不成立;m ≠ 时,k = 2 , 4 4 4m -1
2

13′

2-2m2 1 1 因 λ =3 ∴k≠0 ∴k = 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 4m -1 2 2
2

容易验证 k >2m -2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1)∪{0} 2 2 9、已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切, (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 ? ?16 时, 直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由. 解: (1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x ? ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到 直线 l 的距离.所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且 所以所求的轨迹方程为 y 2 ? 4 x (2) 假设存在 A,B 在 y 2 ? 4 x 上, 所以,直线 AB 的方程: y ? y1 ?

2

2

p ? 1, p ? 2 , 2

y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 (x ? 1 ) y2 y2 x2 ? x1 4 ? 1 4 4

即 AB 的方程为: y ? y1 ?

y2 4 ( x ? 1 ) ,即 ( y1 ? y2 ) y ? y12 ? y1 y2 ? 4 x ? y12 y1 ? y2 4

即: ( y1 ? y2 ) y ? (16 ? 4 x) ? 0 ,令 y ? 0 ,得 x ? 4 , 所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) 10、如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同 点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 解:(1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

?a ? 2b ?a 2 ? 8 ? ? 则? 4 解得? 2 1 ?b ? 2 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?
∴椭圆方程

x2 y2 ? ?1 8 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 K OM ?

1 2 1 x?m 2

∴l 的方程为: y ?

1 ? ?y ? 2 x ? m ? 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?

? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0,
∴m 的取值范围是 {m | ?2 ? m ? 2且m ? 0} (3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可--9 分 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 可得
x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)( x 2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) ,? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)( ?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ? ?0 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
∴k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 11、已知椭圆的两个焦点 F1 (0,1) 、 F2 (0, ?1) ,直线 y ? 4 是它的一条准线, A1 、 A2 分

别是椭圆的上、下两个顶点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设以原点为顶点, A1 为焦点的抛物线为 C ,若过点 F1 的直线与 C 相交于不 同 M 、 N 的两点、,求线段 MN 的中点 Q 的轨迹方程.

? x ? 4k ,消去参数 k ,得到 x 2 ? 4( y ? 1) 为所求轨迹方程. ( x, y ) ,令 ? 2 ? y ? 4k ? 1
x2 y2 解:(Ⅰ)设椭圆方程为a2 +b2==1(a>b>0) a2 由题意,得 c=1, c =4 ? ∴椭圆的方程 a=2,从而 b2=3

y 2 x2 ? ? 1; 4 3

(Ⅱ)设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0) p 由2=2 ? p=4 ∴抛物线方程为 x2=8y 设线段 MN 的中点 Q(x,y),直线 l 的方程为 y=kx+1 由?

? y ? kx ? 1 ?x ? 8y
2

得 x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 ,(这里△ ≥0 恒成立),

设 M(x1,y1),N(x2,y2) 由韦达定理,得 x1 ? x2 ? 8k , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 8k 2 ? 2 , 所以中点坐标为 Q (4k , 4k 2 ? 1) , ∴x=4k,y=4k2+1 消去 k 得 Q 点轨迹方程为:x2=4(y-1)

12、如图,设 F 是椭圆

C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 的左焦点,直线 l 为其左准线,直线

l 与 x 轴交于点 P,线段 MN 为椭圆的长轴,已知

| MN |? 8, 且 | PM |? 2 | MF | .
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证:∠AFM=∠BFN; (3)(理科)求三角形 ABF 面积的最大值。

| 解(1)? MN |? 8 ? a ? 4

a2 1 又?| PM |? 2 | MF | 得 ? a ? 2(a ? c)即2e 2 ? 3e ? 1 ? 0 ? c ? 或e ? 1(舍去) c 2 2 2 2 ?c ? 2 b ? a ? c ? 12

x2 y2 ? 椭圆的标准方程为 ? ?1 16 12 …

(2)当 AB 的斜率为 0 时,显然 ?AFM ? ?BFN ? 0. 满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,AB 方程为 x ? my ? 8, 代入椭圆方程 整理得

(3m 2 ? 4) y 2 ? 48my ? 144 ? 0



? ? (48m) 2 ? 4 ? 144 (3m 2 ? 4), y1 ? y 2 ?

48m 3m 2 ? 4

y1 ? y 2 ?

144 3m 2 ? 4

? k AF ? k BF ?

y1 y2 y1 y2 ? ? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 my1 ? 6 my 2 ? 6

?

2my1 y 2 ? 6( y1 ? y 2 ) ?0 (my1 ? 6)( my 2 ? 6)

? k AF ? k BF ? 0, 从而?AFM ? ?BFN.
综上可知:恒有 ?AFM ? ?BFN .

(3)(理科)

S ?ABF ? S ?PBF ? S ?PAF ?
72 3 m ?4 ?
2

1 72 m 2 ? 4 | PF | ? | y 2 ? y1 |? 2 3m 2 ? 4
? 72 2 3 ? 16 ?3 3

?

72 m 2 ? 4 ? 3(m 2 ? 4) ? 16

16 m2 ? 4

3 m2 ? 4 ?
当且仅当

16 m ?4
2

即m 2 ?

28 3

(此时适合△>0 的条件)取得等号.

?三角形 ABF 面积的最大值是 3 3
13、已知圆 C 方程为: x2 ? y 2 ? 4 . (Ⅰ)直线 l 过点 P ?1, 2 ? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方 程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量
???? ???? ???? ? OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

解(Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1, l 与圆的两个交点坐标为

?1, 3 ? 和 ?1,? 3 ?,其距离为 2

3

满足题意

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0
2 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d ,得 d ? 1

∴1 ?

| ?k ? 2 | k ?1
2

,k ?

3 , 4

故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 (Ⅱ)设点 M 的坐标为 ? x 0 , y 0 ? ( y0 ? 0 ), Q 点坐标为 ? x, y ? 则 N 点坐标是 ?0, y 0 ? ∵ OQ ? OM ? ON , ∴ ? x, y ? ? ? x0 , 2 y0 ? 即 x0 ? x ,

????

???? ???? ?

y0 ?

y 2

2 2 又∵ x0 ? y 0 ? 4 ,∴ x 2 ?

y2 ? 4( y ? 0) 4

∴ Q 点的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) , 4 16
12 分
2

轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。
2

14、 F1 , F2 为双曲线 若

x y 右焦点,O 为坐标原点, P 在双曲线左支上, 点 ? 2 ? 1 的左、 2 a b
???? ? ???? ??? ? ? ???? ? ???? ? OF1 OM ???? ? ???? )(? ? 0) . ? ? | OF1 | | OM |

点 M 在右准线上,且满足: F1O ? PM , OP ? ? ( (1)求此双曲线的离心率; (2)若此双曲线过点 N (2,

3) ,且其虚轴端点分别为 B1 , B2

( B1 在 y 轴正半轴上),点

???? ???? ? ? ???? ? ???? ? A, B 在双曲线上,且 B2 A ? ? B2 B, 当 B1 A?B1 B ? 0 时,求直线 AB 的方程.

解:(I)由 F1O ? PM ,知四边形 PF,OM 为平行四边形,
???? ? ???? ? ??? ? OF1 OM ? ? 又 OP ? ? ( ???? ? ???? )(? ? 0), | OF1 | | OM |

???? ?

???? ?

∴OP 为∠F1OM 的角平分线. 则□PF1OM 为菱形.
???? ? ???? ???? ? ???? ? ?| OF1 |? c,?| PF1 |?| PM ? c,? | PF2 |? 2u ? c

???? ? PF2 2a ? c 又 ? e,? ?e | PM |

即 1 ? ? e, e 2 ? e ? 2 ? 0

2 e

?e ? 2

(II)由 e=2 有: c ? 2a,? b2 ? c 2 ? a 2 ? 3a 2 , ∴双曲线方程可设为
x2 y2 ? 2 ? 1 ,又点 N(2, 3 )在双曲线上, 2 a 3a

?

4 3 ? ? 1, a 2 ? 3 a 2 3a 2

∴双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 3 9

从而 B1(0,3),B2(0,-3).
???? ? ???? ? ? B2 A ? ? B2 B,? A, B2 , B 共线.

设 AB 的方程为:y=kx-3 且设 A( x1 , y2 ), B( x2 , y2 ), 由 ? x2
? y ? kx ? 3 ? ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 6kx ? 18 ? 0 y2 ? ?1 ? 9 ? 3

? x1 ? x2 ?

?6k ?18 ?18 , , x1 x2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 6 ? 2 2 3? k 3? k 3 ? k2

y1 y2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9

(?18) 3k ? (?6k ) ? ?9? 9 3 ? k2 3 ? k2 ???? ? ???? ? 又: B1 A ? ( x1 , y1 ? 3) B1 B ? ( x2 , y2 ? 3) , ? k2 ?

由 B1 A ? B1 B ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) ? 9 ? 0 得:
?18 ?18 ? 9 ? 3? ? 9 ? 0 ? k 2 ? 5, k ? ? 5 . 2 3? k 3 ? k2

???? ???? ? ?

? AB : y ? ? 5 ? 3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 15、设椭圆 C: a 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 与
??? 8 ??? ? ? AP= PQ 5 AF 垂直的直线分别交椭圆 C 与 x 轴正半轴于点 P、Q,且 .

⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l: x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程. ⑴解:设 Q(x0,0),由 F(-c,0) A(0,b)知

FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

y A

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?

b c

2

P F O Q x

8 8b 2 5 P( x1 , y1 ),由AP ? PQ x1 ? , y1 ? b 5 13c 13 设 ,得

8b 2 2 5 ) ( b) 2 13c ? 13 ?1 2 b2 因为点 P 在椭圆上,所以 a (
2 1 整理得 2b2=3ac,即 2(a2-c2)=3ac, 2e ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e=2

⑵由⑴知

2b2 ? 3ac, 得

c 1 1 1 b2 3 由 ? , 得c ? a ? a c 2 , a 2 2 于是 F(- 2 a,0)

3 ( a,0) Q 2 ,

1 a ?3| 2 ?a 1 1 2 △AQF 的外接圆圆心为(2a,0),半径 r=2|FQ|=a 所以 , |
x2 y2 ? ?1 3 解得 a=2,∴c=1,b= 3,所求椭圆方程为 4
16、设椭圆方程为 x 2 ?
?

y2 =1,求点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐标 4
? 1 ? (OA? OB) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

原点,点 P 满足 OP ?

解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点,①当斜率存在时,直线 l 的方程为 y=kx+1, A 1, 1) B 2, 2) 联立并消元得: (x y , (x y , (4+k2) 2+2kx-3=0, x1+x2=- x +y2=
? ? 8 1 ? ,由 OP ? (OA? OB ) 2 4? k2

2k , y1 4? k2

得:(x,y)=

1 (x1+x2,y1+y2),即: 2

x1 ? x 2 k ? ?x ? 2 ? ? 4 ? k 2 ? ? ? y ? y1 ? y 2 ? 4 ? 2 4? k2 ?
消去 k 得:4x2+y2-y=0 当斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程 所以动点 P 的轨迹方程为:4x2+y2-y= 0. 17、已知椭圆 C: 为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求△ AOB 面积的最大值.

x2 y2 6 ,短轴一个端点到右焦点的距离 ? 2 =1( a ? b ? 0 )的离心率为 2 3 a b

3 , 2

?c 6 , ? ? 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ?a ? 3, ?
∴ b ? 1,∴ 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 .

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m . 由已知

m 1? k
2

?

3 3 ,得 m2 ? (k 2 ? 1) . 2 4

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,

3(m2 ? 1) ?6km , x1 x2 ? . ? x1 ? x2 ? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1
? 36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) ? 2 ? ? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ? 2 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2
? 3? 12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? ? 4. 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
3 1 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 3 k

当且仅当 9k 2 ?

综上所述 AB max ? 2 .

? 当 AB 最大时, △AOB 面积取最大值 S ?

1 3 3 . ? AB max ? ? 2 2 2

18、已知长方形 ABCD, AB=2 2 , BC=1. 以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的平面 直角坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的 圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

y
D C

解:(Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2 ,0 ,
2 2

?

??

A

2 ,0 ,

??

图8 2 ,1 .……1 分

?

O

B

x

设椭圆的标准方程是 则

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? .……2 分 2 a b

2a ? AC ? BC ?
……4 分

?

2? ? 2

?

??

2

? ?1 ? 0? ?
2

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0? ? 4 ? 2 2 ,? a ? 2
2 2

?

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .……5 分 x2 y2 ? 1. ?椭圆的标准方程是 ? 4 2

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? .……7 分

设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?. 联立方程: ?

y
D C

?y ? kx? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, 1 ? 2k 2 x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 有 x1 ? x2 ? ?

?

?

A

O

8k 4 … , x1 x2 ? 2 图8 1 ? 2k 1 ? 2k 2 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,……10 分
所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 即 1 ? k 2 x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 所以,

B

x

?

?

4 1? k 2 16 k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

?

8 ? 4k 2 ? 0, ……11 分 得 k 2 ? 2, k ? ? 2. … 1 ? 2k 2 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .…
即 所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点. ……14 分

?0 , e ,? ,0 19、已知向量 e1 ? (a , ? ) ??2 ? (0?1) ,经过定点 A(?a?? ) 且方向向量为 ? e1 ? ? e2 的直
线与经过定点 B(a ?? ) 且方向向量为 2? e1 ? e2 的直线交于点 M,其中 ? ?R,常数 a> ,0 0. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)若 a ? 的取值范围.

6 ,过点 F(1?? ) 的直线与点 M 的轨迹交于 C、D 两点,求 FC ? FD ,0 2

,y , ? , BM ? ( x ? a , ? ) , ?y 设点 M ( x?? ) ??则 AM ? ( x ? a , y ) ??

, ,? 又 AM ∥ (?e1 ? ?e 2 ) ? (?a??? ) , BM ∥ (2?e1 ? e 2 ) ? (2?a?1)
故?

?? ( x ? a ) ? ? ay ,消去参数 ? ,整理得点M的轨迹方程为 ?2?ay ? x ? a

x 2 ? 2a 2 y 2 ? a 2 (除去点 A(?a?? ) ?? (a?? ) ) , 0 ,B , 0

x2 y2 ? ? 1 (除去点 A( 6 ?? )?? (? 6 ?? ) ), , 0 ,B ,0 1 2 2 6 2 ( ) 2 2 y , 若 设 直 线 CD 的 方 程 为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0 ??否则CD过A点) , C ( x1 , ? 1 ) ?,

6 (2)由 a ? 得点 M 轨迹方程为 2

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 ,则由 ? 消去 y 得 2(3k ? 1) x ? 12k ? 3(2k ? 1) ? 0 , D( x 2 , ? 2 ) ? y 2 2 ?2 x ? 6 y ? 3
6k 2 3(2k 2 ? 1) ?? 1 x2 ? ,x 显然 ? ? 24(k ? 1) ? 0 ,于是 x1 ? x2 ? 2 , 3k ? 1 2(3k 2 ? 1)
2

, FC , y , FD ,y 设 FC ? FD ? m?? ? ( x1 ? 1?? 1 ) ?? ? ( x2 ? 1??

2),

因此 m ? FC ? FD ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2

? (1 ? k )[ x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1] ? (1 ? k )[
2 2

3( 2k 2 ? 1) 2(3k 2 ? 1)

?

6k 2 3k 2 ? 1

? 1] ,

即m ? ?

k 2 ?1 2(3k 2 ? 1)

? k2 ?

2m ? 1 1 1 ? 0 ? ( 6 m ? 1 ? 0) ? ? ? m ? ? ? , 6m ? 1 2 6

,y 若直线 CD ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 1?? 1 y 2 ? ?
综上可知 FC ? FD ? m ? ? ?

1 1 ,于是 m ? ? , 6 6

1? ? 1 ?? ? .… ,? 6? ? 2
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,且交 a2 b2

20、如图,已知直线 L : x ? my ? 1过椭圆C :

椭圆 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 G : x ? a 2 上的射影依次为点 D,K,E. (1)若抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程; (2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF , 当 m 变化时,求 ?1 ? ?2 的值; (3)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交 于定点 N,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由. 解:(1)易知 b ? 3

? b 2 ? 3, 又F (1,0)

?c ? 1

a2 ? b2 ? c2 ? 4

? 椭圆C的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)? l与y轴交于M (0,? 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

1 ) m
? x ? my ? 1 由? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0

? (3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0

? ? 144 (m 2 ? 1) ? 0

?

1 1 2m ? ? (*) … y1 y 2 3

又由 MA ? ?1 AF

? ( x1 , y1 ?

1 ) ? ?1 (1 ? x1 ,? y1 ) m

? ?1 ? ?1 ?

1 my1 1 my 2 1 1 1 2 8 ( ? ) ? ?2 ? ? ? m y1 y 2 3 3

同理 ? 2 ? ?1 ?

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?

? ?1 ? ?2 ? ?

8 3

(3)? F (1,0), k ? (a 2 ,0) 先探索,当 m=0 时,直线 L⊥ox 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相

a2 ?1 交 FK 中点 N,且 N ( ,0) 2
猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 ?1 ,0) 2

证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), E (a 2 , y 2 ), D(a 2 , y1 ) 当 m 变化时首先 AE 过定点 N

? x ? my ? 1 ?? 2 2 即(a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2mb 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0 ? ? 4a 2 b 2 (a 2 ? m 2 b 2 ? 1) ? 0(? a ? 1) 又K AN ? ? y1 ? y2 , K EN ? a ?1 1? a2 ? my1 2 2
2

而K AN ? K EN

a2 ?1 ( y1 ? y 2 ) ? my1 y 2 2 ? 1? a2 a2 ?1 ( ? my1 ) 2 2

(?

a2 ?1 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ( y1 ? y 2 ) ? my1 y 2 ? ? (? 2 ) ? m? 2 2 2 a ? m 2b 2 a ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2
? A、N、E 三点共线

? K AN ? K EN

同理可得 B、N、D 三点共线 ∴AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 ?1 ,0) 2

21、设椭圆 C :

x2 y2 2 ,点 A 是椭圆上的一点,且点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ?x1 , y1 ? ,求 3x1 ? 4 y1 1 的取值范围. 解:(1)依题意知, 2a ? 4,?a ? 2. ∴c ?

2, b ? a 2 ? c 2 ? 2 .

∴所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

(2)∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ?x1 , y1 ? , 1

? y 0 ? y1 ? 2 ? ?1, ? ? ∴ ? x 0 ? x1 ? y 0 ? y1 ? 2 ? x 0 ? x1 . ? 2 2 ?
解得: x1 ?

4 y0 ? 3x0 3 y ? 4 x0 , y1 ? 0 . 5 5

∴ 3x1 ? 4 y1 ? ?5 x0 . ∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 在椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上, 4 2

∴ ? 2 ? x0 ? 2 , 则 ? 10 ? ?5 x0 ? 10 . ∴ 3x1 ? 4 y1 的取值范围为 ?? 10, 10? . 22、 设动点 P( x, y)( x ? 0) 到定点 F ( , 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 为曲线 C (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A(1,0) ,且圆心 M 在 P 的轨迹上,EF 是圆 M 在 y 轴上截得的弦, 当 M 运动时弦长 | EF | 是否为定值?请说明理由. 解:(1)依题意, P 到 F ( , 0) 距离等于 P 到直线 x ? ? 顶点, F ( , 0) 为焦点的抛物线 (2 分)

1 2

1 . 记点 P 的轨迹 2

1 2

1 的距离,曲线 C 是以原点为 2

1 2

P ? 1 曲线 C 方程是 y 2 ? 2 x

(2)设圆心 M (a, b) ,因为圆 M 过 A(1,0) 故设圆的方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? (a ? 1)2 ? b2 令 x ? 0 得: y 2 ? 2by ? 2a ? 1 ? 0 设圆与 y 轴的两交点为 (0, y1 ),(0, y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 2b, y1 ? y2 ? 2a ? 1

( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 ? y2 ? (2b) 2 ? 4(2a ? 1) ? 4b 2 ? 8a ? 4

M (a, b) 在抛物线 y 2 ? 2 x 上, b 2 ? 2a ( y1 ? y2 )2 ? 4
所以,当 M 运动时,弦长 | EF | 为定值 2

| y1 ? y2 |? 2 (13 分)

24 已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆 x 2 ? y 2 ? 10 x ? 20 ? 0 相切,过 点 P(-4,0)作斜率为

1 的直线 l,使得 l 和 G 交于 A、B 两点,和 y 轴交于点 C,并 4

且点 P 在线段 AB 上,又满足 | PA | ? | PB |?| PC |2 (1)求双曲线 G 的渐近线方程 (2)求双曲线 G 的方程 (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴,如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中 点轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程。 解:(1)设双曲线 G 的渐近线方程为 y=kx,则由渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切可得
2 2

| 5k | k ?1
2

?

5 ,所以 k ? ?

1 2

,故渐近线方程为 y ? ?

1 x 2

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为 x 2 ? 4 y 2 ? m ,把直线 l 的方程代入双曲线并整理得
3 x ? 8 x ? 16 ? 4m ? 0 则 x A ? xB ?
2

8 3

, x A ? xB ? ?

16 ? 4 m 3

(1)

?| PA | ? | PB |?| PC |

2

,P、A、B、C 共线且在线段 AB 上
B

? ( xP ? xA )( xB ? xP ) ? ( xP ? xC ) 2 即 ( x

? 4)( ?4 ? x A ) ? 16 整理得

4( x A ? xB ) ? x A xB ? 32 ? 0 将(1)式带入得 m=8 故双曲线 G 的方程为

x

2

?

y

2

?1

28

7

(3)由提议可设椭圆方程为 的
K AB ?

x

2

?

y a

2

28

2

? 1( a ? 2 7 ) 设弦的端点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,MN




??


2

P ( x, y )
?? a x 28 y
2




x 28 ?

x1

2

?

y1 a

2

28
y1 ? y 2 x1 ? x2
2

2

?1



x2

2

?

y2 a

2

28

2

?1







a ( x1 ? x2 ) 28( y1 ? y 2 )

? ?4 ?

4y a
2

? 0 故垂直于

l 的平行弦中点的轨迹为直线

x 28

?
2

4y a

? 0 截在内的部分。又由题意,这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分
2 2

?

a

?

1 2

即 a 2 ? 56 ? 椭圆的方程为

x

?

y

?1

112

28

56

25 设点 F (0, ), 动圆 P 经过点 F 且和直线 y ? ? W. (Ⅰ)求曲线 W 的方程;

3 2

3 相切,记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 2

(Ⅱ)过点 F 作互相垂直的直线 l1 , l 2 ,分别交曲线 W 于 A,B 和 C,D.求四边形 ABCD 面积的最小值. 解:(Ⅰ)过点 P 作 PN 垂直于直线 y ? ?

3 于点 N,依题意得 | PF |?| PN | 2
…… 3 分

3 所以动点 P 的轨迹是以 F (0, 3 ) 为焦点,直线 y ? ? 为准线的抛物线 2 2

即曲线 W 的方程是 x 2 ? 6 y (Ⅱ)依题意,直线 l1,l2 的斜率存在且不为 0, 设直线 l1 的方程为 y ? k x ?
3 2
2

…… 6 分

由 l1⊥l2 得 l2 的方程为 ? ? 1 x ? 3
k

将 y ? kx ?

3 代入x 2 ? 6 y, 化简得 x 2 ? 6kx ? 9 ? 0 2
∴ | AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则x1 ? x2 ? 6k , x1 x2 ? ?9

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 6(k 2 ? 1) 同理可得 | CD |? 6(
∴四边形 ABCD 的面积 S ? 1 | AB | ? | CD | ? 18(k 2 ? 1)(
2
2

1 ? 1) k2

1 1 ) ? 18(k 2 ? 2 ? 2) ? 72 k ?1 k

当且仅当 k 2 ? 12 ,即k ? ?1时, S min ? 72 故四边形 ACBD 面积的最小值是 72
k

26、已知 A、B、C 是椭圆 m :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 的坐标 a2 b2

为 ( 2 3 ,0) ,BC 过椭圆 m 的中心,且 AC ? BC ? 0, | BC |? 2 | AC | 。 (Ⅰ)求椭圆 m 的方程; (Ⅱ)过点 M (0, t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且 | DP |?| DQ | .求实数 t 的取值范围。 解(Ⅰ)∵ | BC |? 2 | AC | 且BC 过(0,0) 则 | OC |?| AC | ∴∠OCA=90° ,

又 ? AC ? BC ? 0
即 C ( 3, 3 )

x2 y2 ? ?1 又∵ a ? 2 3, 设m : 12 12 ? c 2

将 C 点坐标代入得 解得 c2=8,b2=4

3 3 ? ?1 12 12 ? C 2

∴椭圆 m:

x2 y2 ? ?1 12 4

(Ⅱ)由条件 D(0,-2) ∵M(0,t) 1° k=0 时,显然-2<t<2 当 2° k≠0 时,设 l : y ? kx ? t 当

? x2 y2 ?1 ? ? 4 ? 12 ?y ? kx? t ?

消y得

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 12 ? 0
由△ >0 可得

t 2 ? 4 ? 12k 2

①…

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ), PQ中点H ( x0 , y 0 ) 则 x0 ? ∴ H (?

x1 ? x 2 3kt ? 2 1 ? 3k 2

y 0 ? kx0 ? t ?
…………11 分

t 1 ? 3k 2

3kt t , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

由 | DP |?| DQ |

? OH ? PQ

即k DH ? ?

1 k

t ?2 1 1 ? 3k 2 ∴ ?? 3kt k ? ?0 2 1 ? 3k
∴t>1 将①代入②得 ∴t 的范围是(1,4) 综上 t∈(-2,4)

化简得t ? 1 ? 3k 2



1<t<4

27、已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 ,点 O 为坐标原点,一条直线 l : y ? kx ? b(b ? 0)

x2 与圆 O 相切并与椭圆 ? y 2 ? 1 交于不同的两点 A、B 2
(1)设 b ? f (k ) ,求 f (k ) 的表达式;

2 求直线 l 的方程; 3, 2 3 (3)若 OA ? OB ? m( ? m ? ) 求三角形 OAB 面积的取值范围. 3 4 ,
(2)若 OA ?OB ? 解 (1) y ? kx ? b (b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,则

|b| 1? k
2

? 1 ,即 b2 ? k 2 ? 1(k ? 0) ,所

2 以. b ? k ? 1

? y ? kx ? b ? (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则由 ? x 2 ,消去 y 2 ? ? y ?1 ?2
2 2 2 得: (2k ? 1) x ? 4kbx ? 2b ? 2 ? 0

2 又 ? ? 8k ? 0 (? k ? 0) ,所以 x1 ? x2 ? ?

4kb 2b 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 . …………5 分 2k 2 ? 1 2k ? 1

??? ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? k 2 ?1 则 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? . 由 OA ? OB ? , 所以 k 2 ? 1. 2

2k ? 1

3

2 所以 b ? 2. b ? 0,? b ? 2,

……………………7 分 ……………………8 分

所以? l : y ? x ? 2, y ? ? x ? 2 .

k 2 ?1 2 3 2 k 2 ?1 3 ? m.? ? m ? , 所以 ? 2 ? , (3)由(2)知: 2k 2 ? 1 3 4 3 2k ? 1 4
1 ? ? k 2 ? 1, ……10 分 2
由弦长公式得

| AB |? k 2 ? 1 ?

2k 2 (k 2 ? 1) 1 2 2k 2 , , 所以 S ? | AB |? 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

解得?

6 2 ? S ? . ……12 分 4 3

28、已知点 P 与定点 F (1, 0) 的距离和它到定直线 l: x ? 4 的距离之比是 1 : 2. (1)求点 P 的轨迹 C 方程; (2)过点 F 的直线交曲线 C 于 A, B 两点, A, B 在 l 上的射影分别为 M, N. 求证 AN 与 BM 的公共点在 x 轴上. 解:(1) 如图(1) 设 P 点的坐标为 (x, y) ,

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? , |x?4| 2 2 2 化简得: 4[( x ? 1) ? y ] ? ( x ? 4) 2 ,
则由题设得:

x 2 y2 ? ? 1. 4 3 x 2 y2 ? ? 1. ∴点 P 的轨迹 C 的方程是 4 3
即 3x 2 ? 4 y 2 ? 12, 即 (2) ①当 AB 轴时, A、B 的坐标分别为 (1, AN 与 BM 的交点为 ( , 0) 在 x 轴上. ②当 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的方程为 y ? k( x ? 1) ,

3 3 ) , (1, ? ) , 2 2

5 2

x 2 y2 代入椭圆 ? ? 1 ,得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 4 3 设 A(x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 则 M(4, y1 ) , N(4, y 2 ) ,
? 8k 2 x1 ? x 2 ? 2 ? y ? y1 x ? x1 ? 4k ? 3 ? 且? ∵直线 AN 方程是 , y 2 ? y1 x 2 ? x 1 4k 2 ? 12 ?x x ? ? 1 2 4k 2 ? 3 ? y ? y1 x?4 ? 直线 BM 方程是 . y 2 ? y1 x 2 ? 4
x ? x1 ? y ? y1 ?y ? y ? 4 ? x x?4 x?4 ? 2 1 1 联列, 得 ? , 消去 y, 得: . ? x2 ? 4 x2 ? 4 ? y ? y1 ? x ? 4 ? y 2 ? y1 x 2 ? 4 ? x x ? 16 5 ? , 即 ( x 1 ? x 2 ? 8) x ? x 1 x 2 ? 16, 即 x ? 1 2 x1 ? x 2 ? 8 2

y ? y1 x ? x1 5 ? 代入直线 AN 的方程 y 2 ? y1 4 ? x 1 2 3 5 y1 ? y 2 ? x 1 y 2 y ? y1 5 2 得 y ? y1 ? 2 ( ? x1 ) ? 2 4 ? x1 2 4 ? x1 5 k[ ( x 1 ? x 2 ) ? x 1 x 2 ? 4] 5 ? 2 ? 0 ∴AN 与 BM 交于点 ( , 0) 是 x 轴上一定点. 4 ? x1 2
把x ? (2) 解法二: 如图(2) 当 AB 不垂直于 x 轴时, 设 AF=n, 则 AM=2n, 设 BF=m, 则 BN= 2m, 在△ABN 和△BAM 中, FH∥AM, FH1∥BN, ∴△ABN∽△AFH 和△BAM∽△BFH1

AF FH n FH ? ? ? AB BN n ? m 2m 2mn ? FH ? n?m FH1 BF FH1 m 同理可推, ∴ ? ? ? BA AM m?n 2n 2mn , ? FH1 ? n?m ∴ FH ? FH1 ,∴H 与 H1 重合,∴AN 与 BM 交点是 x 轴上一定点.
∴ 29、 已知 A. 是椭圆 8 x 2 ? y 2 ? 2 上两点, 是坐标原点, B O 定点 E (1,0) , 向量 OA .OB 在 向 量 OE 方 向 上 的 投 影 分 别 是 m . n , 且 OA ? OB ? ? 7mn , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? OB
(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 E 的直线 l 与 C 交于两个不同的点 M.N,求 EM ? EN 的取值范围。

解(Ⅰ)设 A( x1 , y1 ) . B( x2 , y 2 ) . P( x, y )
2 2 ∴ 8 x12 ? y12 ? 2 , 8 x2 ? y2 ? 2 , x ? x1 ? x 2 , y ? y1 ? y 2

OB ∵向量 OA . 在向量 OE 方向上的投影分别是 m. n,且 E (1,0) , ∴m= ?x1 ,0? , ?x 2 ,0? n=
由于 OA ? OB ? ? 7mn ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? ?7 x1 x2 ,即 y1 y 2 ? ?8 x1 x2 .
2 2 ∴ y 2 ? y12 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4 ? 8 x12 ? 8 x2 ? 16 x1 x2 ? 4 ? 8( x1 ? x2 ) 2 ? 4 ? 8 x 2

∴点 P 的轨迹 C 的方程是 8 x 2 ? y 2 ? 4 。 分

———————6

(Ⅱ)∵点 P 的轨迹 C 的方程是 8 x 2 ? y 2 ? 4 ,∴ l ? x 轴时,l 与 C 没有交点, ∵可设 l: y ? k ( x ? 1) ,再设 M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y 4 ) ,∴ y3 y 4 ? k 2 ( x3 x 4 ? x3 ? x 4 ? 1) . —8 分 由

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 ?8 x ? y ? 4



(8 ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0



∴ ? ? 4k 4 ? 4(8 ? k 2 )( k 2 ? 4) ? 0 ,解得 k 2 ? 8 , 且有 x3 ? x4 ?

2k 2 k2 ?4 , x3 x 4 ? . 8? k2 8? k2

EM ? EN ? ( x3 ? 1, y 3 ) ? ( x 4 ? 1, y 4 ) ? x3 x 4 ? x3 ? x 4 ? 1 ? y 3 y 4

? (1 ? k 2 )( x3 x4 ? x3 ? x4 ? 1)
∴ ? (1 ? k 2 )(

k2 ?4 2k 2 28 ?1 9 ? ? ? 1) ? 4 ? ?? , ?, 2 2 2 8?k 8?k 8?k ?2 4 ?
?1 9 ? ?2 4 ?

∴ EM ? EN 的取值范围是 ? , ?

天 ·

??? ? 2 5 2 5 x和 y ? ? x 上的两个动点,并且 | AB |? 20 , 30、设 A,B 分别是直线 y ? 5 5

星 o

??? ??? ??? ? ? ? 动点 P 满足 OP ? OA ? OB .记动点 P 的轨迹为 C.
天 · 星 o

T e s o

m 权

(I) 求轨迹 C 的方程;

(II)若点 D 的坐标为(0,16),M、N 是曲线 C 上的两个动点,且 DM ? ? DN ,求 o 实数 ? 的取值范围.
t e s
n

m 权

. c o m

解:(I)设 P(x,y),因为 A、B 分别为直线 y ? 可设

2 5 2 5 x和 y ? ? x 上的点,故 5 5

A( x 1 ,

2 5 2 5 x 1 ) , B( x 2 ,? x2) . 5 5

∵ OP ? OA ? OB ,

??? ?

??? ??? ? ?

?x ? x 1 ? x 2 , ?x 1 ? x 2 ? x , ? ? ∴? ∴? 2 5 5 … ( x 1 ? x 2 ). ?x 1 ? x 2 ? y. ?y ? 5 2 ? ?
又 AB ?

20 ,
4 ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 20 . 5

∴ (x1 ? x 2 ) 2 ? ∴

5 2 4 2 y ? x ? 20 . 4 5
x 2 y2 ? ? 1. 25 16

即曲线 C 的方程为

(II) 设 N(s,t),M(x,y),则由 DM ? ? DN ,可得(x,y-16)= ? (s,t- 16). 故 x ? ?s , y ? 16 ? ? ( t ? 16) . ∵M、N 在曲线 C 上,

?s2 t 2 ? 1, ? ? ? 25 16 ∴? 2 2 … 2 ? ? s ? (?t ? 16 ? ? 16 ) ? 1. ? 25 16 ?
消去 s 得

?2 (16 ? t 2 )
16

(?t ? 16? ? 16) 2 ? ? 1. 16

由题意知 ? ? 0 ,且 ? ? 1 , 解得 又

t?

17 ? ? 15 . 2?
17 ? ? 15 ? 4. 2?

t ? 4, ∴

解得

3 5 ? ? ? ( ? ? 1 ). 5 3

3 5 ? ? ? ( ? ? 1 ). 5 3 2 2 x y 2 31、已知 A、B 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左右两个焦点,O 为坐标原点,点 P (?1, ) 2 a b
故实数 ? 的取值范围是 在椭圆上,线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求 解:(1)∵点 M 是线段 PB 的中点 ∴ OM 是△ PAB 的中位线 又 OM ? AB ∴ PA ? AB ………2 分

sin A ? sin B 的值。 sin C

?c ? 1 ?1 1 ? ∴? 2 ? 2 ?1 2b ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 ?

解得a 2 ? 2, b 2 ? 1, c 2 ? 1 ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 =1…6 分 2

(2)∵点 C 在椭圆上,A、B 是椭圆的两个焦点∴AC+BC=2a= 2 2 ,AB=2c=2 -在△ABC 中,由正弦定理,

BC AC AB ? ? sin A sin B sin C

……10 分



sin A ? sin B BC ? AC 2 2 ? ? 2 = AB 2 sin C

………12 分

32、 (七中 2009 届高三零诊模拟考试)已知抛物线 y=x2 上的两点 A、 满足 AP =? PB ,? B

??? ?

??? ?

???? ??? ??? ? ? ? >0,其中点 P 坐标为(0,1), OM = OA + OB ,O 为坐标原点.
(I) (II) 求四边形 OAMB 的面积的最小值; 求点 M 的轨迹方程.

解:(Ⅰ)由 AP =? PB 知 A、P、B 三点在同一条直线上,设该直线方程为 y=kx+ 1,A(x1,x12),B(x2,x22). 由?

??? ?

??? ?

? y ? kx ? 1 ?y ? x
2

??? ??? ? ? 得 x2-kx-1=0,?x1+x2=k,x1x2=-1,? OA · OB =x1x2+x12x22=-1+

??? ??? ? ? (-1)2=0,? OA ? OB .
又 OAMB 是平行四边形,?四边形 OAMB 是矩形,

??? ? ??? ? 2 4 2 4 2 2 ?S=| OA |·| OB |= x1 ? x1 · x2 ? x2 =-x1x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2 2 2 2 2 = 1 ? x1 ? x2 ? ( x1 x2 ) = 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 = 4 ? k .

?当 k=0 时,S 取得最小值是 2.

6分

(Ⅱ)设 M(x,y),? ? 6分

? x ? x1 ? x2
2 2 ? y ? x1 ? x2

,消去 x1 和 x2 得 x2=y-2,?点 M 的轨迹是 y=x2+2

33、 已知椭圆的一个顶点为 A (0, -1) 焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 , 的距离为 3. 求椭圆的方程; 设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的 取值范围. 解(1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 a2

a2 ?1 ? 2 2 2

?3

解得 a ? 3
2

x2 故所求椭圆的方程为 ? y2 ? 1 3
得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx ? 3(m 2 ? 1) ? 0

?y ? kx? m ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3

由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m 2 ? 3k 2 ? 1



? xp ?
? k Ap ?

xM ? x N 3mk ?? 2 2 3k ? 1
yp ?1 xp ?? m ? 3k 2 ? 1 3mk

从而 y p ? kxp ? m ?

m 3k 2 ? 1

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则

?

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3mk k

即 2m ? 3k 2 ? 1

② 由②得

把②代入①得 2m ? m 2 解得 0 ? m ? 2

k2 ?

2m ? 1 ? 0 解得 3

1 2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? 34、 已知抛物线 y=x2 上的两点 A、 满足 AP =? PB ,?>0,其中点 P 坐标为(0,1), OM = OA B m?
.故所求 m 的取范围是( ,2 )

1 2

??? ? + OB ,O 为坐标原点.
(1)求四边形 OAMB 的面积的最小值; (2)求点 M 的轨迹方程. 解 :( Ⅰ) 由 AP =? PB 知 A 、 P、B 三 点在 同一条 直线上 , 设该直 线方 程为 y=kx + 1,A(x1,x12),B(x2,x22). 由?

??? ?

??? ?

? y ? kx ? 1 ?y ? x
2

??? ? ??? ? 得 x2 - kx - 1=0,?x1 + x2=k,x1x2= - 1,? OA · OB =x1x2 + x12x22= - 1 + ( - ??? ??? ? ? 1)2=0,? OA ? OB .
又 OAMB 是平行四边形,?四边形 OAMB 是矩形,

??? ? ??? ? 2 4 2 4 2 2 ?S=| OA |·| OB |= x1 ? x1 · x2 ? x2 =-x1x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2 2 2 2 = 1 ? x1 ? x2 ? ( x1 x2 ) = 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 = 4 ? k 2 .

?当 k=0 时,S 取得最小值是 2. (Ⅱ)设 M(x,y),? ?

? x ? x1 ? x2
2 2 ? y ? x1 ? x2

,消去 x1 和 x2 得 x2=y-2,?点 M 的轨迹是 y=x2+2

35、已知 A(? 3, 0), B( 3, 0) ,动点 P 满足 PA ? PB ? 4 . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

??? ?

??? ?

(Ⅱ)过点 (1, 0) 作直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点,若 OM ? ON ? ? ,求直线 l 的方程; (Ⅲ)设 T 为曲线 C 在第一象限内的一点,曲线 C 在 T 处的切线与 x、 轴分别交 y 于点 E、F ,求 ?OEF 面积的最小值. 解:(Ⅰ)动点 P 的轨迹 C 的方程为

???? ???? ?

3 5

x2 ? y 2 ? 1; 4

(Ⅱ)解法 1 当直线 l 的斜率不存在时,M (1, 合题意;

? 3 3 ???? ???? 1 ), N (1, ? ) , OM ? ON ? ,不 2 2 4

当直线 l 的斜率存在时,设过 (1, 0) 的直线 l : y ? k ( x ? 1) ,代入曲线 C 的方程得

(1? 4k 2 )x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 1)? 0
设 M ( x1,y1 )、N ( x2 ,y2 ),则 x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 1) , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

???? ???? ? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2
? k2 ? 4 3 ?? , 2 1 ? 4k 5
解得 k ? ?1

故所求的直线 l 的方程为 y ? x ? 1, y ? ? x ? 1 ;

ON ? ?4 , 不合题意; 解法 2 当直线 l 为 x 轴时, M (?2,0), N (2,0) OM ?

???? ???? ?

当直线 l 不为 x 轴时,设过 (1, 0) 的直线 l : x ? ? y ? 1 ,代入曲线 C 的方程得

(4 ? ? 2 ) y 2 ? 2? y ? 3 ? 0
设 M ( x1,y1 )、N ( x2 ,y2 ),则 y1 ? y2 ?

???? ???? ? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (? 2 ? 1) y1 y2 ? ? ( y2 ? y2 ) ? 1

?2? ?3 , y1 y2 ? 2 4?? 4 ? ?2

?

?4 ? 2 ? 1 4 ? ?2

=?

3 5

解得 ? ? ?1

故所求的直线 l 的方程为 y ? x ? 1, y ? ? x ? 1 ;

x2 1 (Ⅲ)设 T ( x0 , y0 ), 由 y ? 1 ? 得 y/ ? ? ? 4 2

1 x x 2 ?? 2 4y x 1? 4

T 处曲线 C 的切线方程为
4 , 0) ; x0

y ? y0 ? ?

x0 ( x ? x0 ) 4 y0

令 y ? 0 得 E(

令 x ? 0 得 F (0,

1 ). y0

?

S?

1 4 1 2 ? ? ? 2 x0 y0 x0 y0

2 x0 2 x0 2 2 ? y0 ? 2 ? y0 ? x0 y0 , 由 1? 4 4

得 x0 y0 ? 1 .

?

S?

1 4 1 2 ? ? ? ? 2. 2 x0 y0 x0 y0

故 ?OEF 面积的最小值为 2 36、如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点,点 P 在 AM 上, 点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0, 点N 的轨迹为曲线 E. (I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G、H(点 G 在点 F、H 之间), 且满足 FG ? ? FH ,求 ? 的取值范围. (解)(1)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴NP 为 AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM|.…

又?| CN | ? | NM |? 2 2 ,? CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. | ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ∴曲线 E 的方程为

? a ? 2 , c ? 1, b 2 ? 1.

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)当直线 GH 斜率存在时, 设直线 GH 方程为 y ? kx ? 2, 代入椭圆方程 得 ( ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 3 ? 0. 设

x2 ? y 2 ? 1, 2

1 2

3 由? ? 0得k 2 ? . 2
? 4k 3 , x1 x2 ? 1 1 ? k2 ? k2 2 2

G( x1 , y1 ), H ( x2 , y 2 ), 则x1 ? x2 ?

又 ? FG ? ? FH ,

? ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x 2 , y 2 ? 2)
2 ? x1 ? x2 ? (1 ? ? ) x2 , x1 x2 ? ?x2 .

? x1 ? ?x2 ,

?(

x1 ? x2 2 xx 2 ) ? x2 ? 1 2 , 1? ? ?

? 4k 2 3 ) 1 1 ? k2 ? k2 2 2 ? ? , 整理得 ? (1 ? ? ) 2 (
3 16 16 ,? 4 ? ? . 3 2 3 ?3 2 2k

16 (1 ? ? ) 2 ? 1 ? 3( 2 ? 1) 2k
1

?k2 ?

?4 ? ? ?

?

?2?

16 1 .解得 ? ? ? 3. 3 3

又 ? 0 ? ? ? 1,

1 ? ? ? ? 1. 3 1 1 FH , ? ? . 3 3

又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ? 0, FG ?

1 1 ? ? ? ? 1,即所求?的取值范围是[ ,1) … 3 3
37、已知定点 A(-2,0),动点 B 是圆 F : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 64 (F 为圆心)上一点, 线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2) 是否存在过点 E (0, -4) 的直线 l 交 P 点的轨迹于点 R, 且满足 OR ? OR ? T, (O 为原点),若存在,求直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. (解)22 解:(1)由题意:∵|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8 ∴|PA|+|PF|=8>|AF| ∴P 点轨迹为以 A、F 为焦点的椭圆

16 7

设方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

? 2a ? 8, a ? 4, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 22 ? 4 ? b 2 ? 12 ? P点轨迹方程为 x y ? ? 1.............6分 16 12
2 2

………………………5 分

(2)假设存在满足题意的直线 l,其斜率存在,设为 k,设 R( x1 , y1 ), T ( x2 , y 2 )

??? ??? 16 ? ? 16 ? OR ? OT ? ???????? x1 x2 ? y1 y2 ? .................7分 7 7 ? y ? kx ? 4 ? 由? x2 y 2 得(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32kx ? 16 ? 0 ????????8分 ?1 ? ? ?16 12 16 32k ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ????????9分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ? y1 ? y2 ? (kx1 ? 4)(kx2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16........10分
x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? ?k2 ? 1 代入 16 16k 2 128k 2 16 ? ? ? 16 ? 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 7 k ? ?1 ????????12分

??0

? k ? ?1, ????????13分 ? l的方程为y ? ? x ? 4 ? 存在l x ? y ? 4 ? 0或x ? y ? 4 ? 0满足题意..........14分

x2 y2 ? 1 (a ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,A 是椭圆 C 上的一点, 38、设椭圆 C : 2 ? a 2
且 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 | OF1 | . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P(?1 , 0) ,较 y 轴于点 M,若

1 3

MQ ? 2QP ,求直线 l 的方程.
(解)(1)由题设知 F1 ( ? a 2 ? 2 , 0) , F2 ( a 2 ? 2 , 0) 由于 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,则有 AF2 ? F1 F2 ,所以点 A 的坐标为 ( a 2 ? 2 , ? 故 AF1 所在直线方程为 y ? ?(

2 ), a

1 ? ), a a ?2 a
2

x

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为

a2 ? 2 (a ? 2 ) , a2 ?1

a2 ? 2 1 ? 又 | OF1 |? a ? 2 ,所以 a2 ?1 3
2

a 2 ? 2 ,解得 a ? 2 (a ? 2 ) ,

所求椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 . 4 2

(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有 M (0 , k ) , 设 Q( x1 , y1 ) ,由于 MQ ? 2QP , ∴ ( x1 , y1 ? k ) ? 2( ?1 ? x1 , ? y1 ) ,解得 x1 ? ?

2 k , y1 ? 3 3

2 k (? )2 ( )2 3 ? 3 ?1 , 又 Q 在椭圆 C 上,得 4 2
解得 k ? ?4 ,故直线 l 的方程为 y ? 4( x ? 1) 或 y ? ?4( x ? 1) , 即 4x ? y ? 4 ? 0 或 4x ? y ? 4 ? 0. 39、已知抛物线的顶点在原点, 焦点在 y 轴的负半轴上, 过其上一点 P( x0 , y 0 )( x0 ? 0) 的切线方程为 y ? y 0 ? 2ax0 ( x ? x0 )( a 为常数). (I)求抛物线方程; (II)斜率为 k 1 的直线 PA 与抛物线的另一交点为 A,斜率为 k 2 的直线 PB 与抛物线 的 另 一 交 点 为 B ( A 、 B 两 点 不 同 ) , 且 满 足 k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0, ? ? ?1), 若BM ? ? MA ,求证线段 PM 的中点在 y 轴上; (III)在(II)的条件下,当 ? ? 1, k1 ? 0 时,若 P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标的取值范围. (解)(I)由题意可设抛物线的方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , ∵过点 p( x0 , y 0 )( x0 ? 0) 的切线方程为 y ? y 0 ? 2ax0 ( x ? x0 ) ,

? y? |x ? x0 ? ?

x0 ? 2ax0 , p

?p?? 1 . 2a
∴抛物线的方程为 y ? ax 2 (a ? 0). (II)直线 PA 的方程为 y ? y 0 ? k1 ( x ? x0 ) ,
2 ? y ? a x, ? x 0 1 ? y ? y ? k( x? 0) .

? ax 2 ? k1 x ? k1 x0 ? y0 ? 0,
同理,可得 xB ?

? xA ? x0 ?

k1 k , xA ? 1 ? x0 . a a

k2 ? x0 . a ?0. x

?k ? k2 ? ? k1 ?0 , ? k2 ? ? k1, B x ? ?1 ? a ???? ? ???? 又 BM ? ? MA (? ? 0, ? ? ?1), ?x ? x ? xM ? xB ? ? ( xA ? xM ), xM ? A B ? ? x0 . 1? ?

∴线段 PM 的中点在 y 轴上. (III)由 ? ? 1, P(1, ?1), 可知a ? ?1.

? ????k1 ? 1, ?(k1 ? 1) 2 ), B(k1?? 1, ?(k1 ? 1) 2 ). A(? ??? ? AP ? (2 ? k1 , k12 ? 2k1 ), AB ? (2k1 , 4k1 ).
∵∠PAB ? ??? ???为钝角,且 P, A, B 不共线, ? ? AP ? AB ? 0. 即 (2 ? k1 ) ? 2k1 ? (k12 ? 2k1 ) ? 4k1 ? 0.

? k1 (2k12 ? 5k1 ? 2) ? 0. ? k1 ? 0, ? 2k12 ? 5k1 ? 2 ? 0.

? k1 ? ?2, 或 ? 1 ? k1 ? 0. 2 又∵点 A 的纵坐标 y A ? ?(k1 ? 1) 2 , 当 ? 1 ? k1 ? 0 时, ?1 ? yA ? ? 1 . 2 4

∴当 k1 ? ?2 时, y A ? ?1;

∴∠PAB 为钝角时点 A 的坐标的取值范围为 (??, ?1) ? (?1, ? 1 ). …

4

40、 如图, 已知椭圆 C:

x 2 y 2 m2 经过椭圆 C 的右焦点 F 且斜率为 k k≠0) ( ? ? (m ? 0) , 5 3 2

的直线 l 交椭圆 G 于 A、B 两点,M 为线段 AB 的中点,设 O 为椭圆的中心,射线 OM 交椭圆于 N 点. (1)是否存在 k,使对任意 m>0,总有 OA ? OB ? ON 成立?若 存在,求出所有 k 的值; (2)若 OA ? OB ? ?

1 3 m ? 4m ,求实数 k 的取值范围. 2

?

?

(1)椭圆 C:

x2 y2 5m 2 3m 2 ? ? 1, c 2 ? ? ? m 2 , c ? m,? F (m,0) 2 2 2 2 5m 3m 2 2
2分

直线 AB:y=k(x-m),

? y ? k ( x ? m), ? 2 ,(10k2+6)x2-20k2mx+10k2m2-15m2=0. ?x y2 m2 ?m ? 0? ? ? ? 3 2 ?5

20 k 2 m 10 k 2 m 2 ? 15m 2 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= 10 k 2 ? 6 10 k 2 ? 6
则 xm=

4

x1 ? x 2 10 k 2 m ? 6km ? , y m ? k ( x m ? m) ? . 2 2 10 k ? 6 10 k 2 ? 6

若存在 k,使 OA ? OB ? ON , M 为 ON 的中点,∴ OA ? OB ? 2OM .

? 20 k 2 m ? 12 k m ? ∴ OA ? OB ? ?2 x m ,2 y m ? ? ? ? 10 k 2 ? 6 , 10 k 2 ? 6 ? , ? ? ?
即 N 点坐标为 ? ?

? 20 k 2 m ? 12 k m ? ?. , 2 2 ? ? 10 k ? 6 10 k ? 6 ?
2 2

1 ? 20 k 2 m ? 1 ? ? 12 k m ? m2 ? ? ?? ? , 由 N 点在椭圆上,则 ? ? ? 5 ? 10 k 2 ? 6 ? 3 ? 10 k 2 ? 6 ? 2 ? ?
即 5k4-2k2-3=0.∴k2=1 或 k2=- (舍). 故存在 k=± 使 OA ? OB ? ON . 1 (2) OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 =x1x2+k2(x1-m)(x2-m) =(1+k2)x1x2-k2m(x1+x2)+k2m2 =(1+k2)·

3 5

10 k 2 m 2 ? 15m 2 20k 2 m k 2 ? 15 ? k 2m· 2 ? k 2m2 ? 10 k 2 ? 6 10k ? 6 10 k 2 ? 6

?

?



k 2 ? 15 1? 4? ? 15 1 ? ? ? m ? ? ? ?2. ? ? (m 3 ? 4m), 得 2 2 2? m? 2 10 k ? 6 10 k ? 6
2

?k

?

即 k2-15≤-20k2-12,k2≤ ,? ?

1 7

7 7 ?k? 且 k≠0. 7 7


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