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全国高中数学联赛初赛模拟试卷


全国高中数学联赛初赛模拟试卷 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.正数列满足 a 1 ? 1 , a2 ? 10 , an2 an?2 ? 10an3?t ? n ? 3? ,则 lg (a100 ) ? A、98 B、99 C、100 1 x2 D、101 的小数部分为 C、 2 ? 2a 的小数部分 D、以上都不正 2.已知 lg x 的小数部分为 a,则 lg A、 ?2a 的小数部分 确 B、1 ? 2a 的小数部分 3. 过原点 O 引抛物线 y ? x2 ? ax ? 4a2 的切线, a 变化时, 当 两个切点分别在抛物线 ( 上 A、 y ? 1 x2 , y ? 3 x2 2 2 ) B、 y ? 3 x2 , y ? 5 x2 2 2 C、 y ? x2 , y ? 3x2 D、 y ? 3x2 , y ? 5x2 4.已知△ABC 为等腰直角三角形,∠C = 90°,D、E 为 AB 边上的两个点,且点 D 在 AE 之间,∠DCE = 45°,则以 AD、DE、ED 为边长构成的三角形的最大角是 A、锐角 B、钝角 C、直角 D、不能确定 5.将正整数从 1 开始不间断的写成一行,第 2006 个数码是 (旁注:这是希望杯 的培训题) A、0 B、5 C、7 D、以上都不正确 6. 已知圆锥的顶点 V 和底面圆心 O 的连线垂直于底面 (旁注, 这句话实际上是废话) , 一个过 VO 中点 M 的平面与圆 O 相切,与圆锥的交线是一个椭圆, 若圆 O 半径为 1, 则椭圆的短轴的长为 A、 4 2 5 B、 2 3 3 C、 6 2 D、以上结果都不对 二、 (每小题 9 分,共 54 分) 7. 设等差数列的首项和公差均为正整数, 项数为不小于 3 的素数, 且各项之和为 2006, 则这样的数列共有_____个. 8.已知实数 x、y ?? x ? 11?5 ? 15 ? x ? 11? ? 5 满足 ? ,则 x ? y ? _____. ? 5 ?? y ? 4 ? ? 15 ? y ? 4 ? ? ?5 ? (旁注:联赛原题) 9.正八边形所有对角线在其内部交点的个数为_____. 10.若 x、y 为实数,且 x2 ? xy ? y 2 ? 3 ,则 x2 ? xy ? y 2 的最大值和最小值分别为_____. 11.一个正方体的 8 个顶点可以组成_____个非等边三角形. 12.若关于 x 的方程 1 ? x 2 ? kx ? 2 恰有一个实根,则 k 的取值范围是_____. 三、论述题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设有 2006 个互不相同的复数,其中任何两个数的积(包括自乘)是这 2006 个 数之一,求这 2006 个数的和. 14.求 2? k 3Cnk ? 3n? k 2Cnk ? n2 kCnk 的值. k ?1 k ?1 n n 15.已知数列 ?an ? ? n ? 0? 满足 a0 ? 0 ,对于所有 n ? N? ,有 an ?1 ? 2 通项公式. 30an ? an ? 1? ? 11an ? 5 ,求 an 的

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