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2015年高考新课标Ⅱ文科数学试题及答案(精校版


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 A∪B=() A.
<

br />(?1,3)

B. (?1,0)

C. (0,2)

D. (2,3)

2.若 a 为实数,且 A. -4

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? () 1? i
B. -3 C. 3 D. 4

3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以 下结论中不正确的是()

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a +b)· a=( A. -1 B. 0 C. 1 ) D. 2 )

5.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? ( A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

6. 一个正方体被一个平面截取一部分后, 剩余部分的三视图如右图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( A. ) D.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

1 5


7. 已知三点 A(1,0) , B(0, 3) ,C (2, 3) , 则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 (

2015 年高考数学试题(文)第 1 页【共 6 页】

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章 算术》 中 “更相减损术” .执行该程序框图, 若输入的 a、 b 分别为 14、18,则输出的 a=( A. 0 B. 2 C. 4 ) D. 14

9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ?

1 , a3a5 ? 4(a4 ?1) ,则 4
1 2
) D.256π

a2 ? (
A. 2

) B. 1 C. D.

1 8

10.已知 A、B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90?,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A. 36π B. 64π C. 144π

11.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x) 的图像大致为 ( )

A.

B.

C.

D. )

12. 设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A.

1 , 则使得 f ( x) ? f (2 x ?1) 成立的 x 的取值范围是 ( 1 ? x2 1 3
C. (? , )

1 ( ,1) 3

B. ( ??, ) ? (1, ??)

1 1 3 3

D. ( ??, ? ) ? ( , ?? )

1 3

1 3

第Ⅱ卷
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知函数 f (x) = ax3-2x 的图象过点(-1, 4),则 a =.

?x ? y ? 5 ? 0 14.若 x 、 y 满足约束条件 ? ?2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为. ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?

2015 年高考数学试题(文)第 2 页【共 6 页】

1 15.已知双曲线过点 (4, 3) ,且渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的标准方程为. 2
16.已知曲线 y ? x ? ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 1相切,则 a ? .
2

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题 12 分)在 ΔABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (Ⅰ)求

sin ?B ; (Ⅱ)若∠BAC=60° ,求∠B. sin ?C

18. (本小题 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查 了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得分 A 地区用户满意评分的频率分布直 方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表.

B 地区用户满意度评分的频数分布表 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90, 满意度评分分组 100) 2 8 14 10 6 频数 (Ⅰ)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频数分布直方图,并通过直方图比较 两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).

2015 年高考数学试题(文)第 3 页【共 6 页】

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级; 满意度评分 低于 70 分 70 分到 80 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.

19. (本小题 12 分) 如图, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16, BC=10, AA1=8, 点 E, F 分别在 A1B1, D1C1 上, A1E=D1F=4, 过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个 正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (Ⅱ)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值.

2015 年高考数学试题(文)第 4 页【共 6 页】

20. (本小题 12 分)已知椭圆 C: 在 C 上. (Ⅰ)求 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1( a > b >0)的离心率为 2 ,点(2, 2 ) a 2 b2 2

(Ⅱ)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A、B,线段 AB 的中 点为 M,证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

21. (本小题 12 分)已知函数 f(x) =ln x +a(1-x). (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.

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23. (本小题 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ?

? x ? t cos ? (t 为参数,t≠0) ,其中 0 ? ? ? ? ,在以 ? y ? t sin ?

O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

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